第一篇 弹性力学.pdf

化机专化机专业业需要掌握的固体力学知识需要掌握的固体力学知识 弹性力学基础弹性力学基础 化机专需要掌握的固体力学知识化机专需要掌握的固体力学知识 摘自余国琮 化工机械手册 上卷 摘自余国琮 化工机械手册 上卷 弹性力学基础弹性力学基础 空间问题 平面应力和平面应变问题 薄板的弯曲问题 旋 转壳的轴对称问题 空间问题 平面应力和平面应变问题 薄板的弯曲问题 旋 转壳的轴对称问题 塑性力学基础塑性力学基础 屈服条件和屈服面屈服条件和屈服面 加载条件加载条件加载和卸载准则加载和卸载准则 理想弹塑理想弹塑屈服条件和屈服面屈服条件和屈服面 加载条件加载条件 加载和卸载准则加载和卸载准则 理想弹塑理想弹塑 性厚壁圆筒的弹塑性分析 性厚壁圆筒的弹塑性分析 结构的极限分析结构的极限分析 理想弹塑性结 理想弹塑性结 构的安定性定理构的安定性定理 构的安定性定理构的安定性定理 断裂力学基础断裂力学基础 线弹性断裂力学线弹性断裂力学弹塑性断裂力学弹塑性断裂力学断裂韧度测试原和方断裂韧度测试原和方线弹性断裂力学线弹性断裂力学 弹塑性断裂力学弹塑性断裂力学 断裂韧度测试原断裂韧度测试原理理和方和方 法 疲劳裂纹扩展 应力腐蚀开裂和腐蚀疲劳 法 疲劳裂纹扩展 应力腐蚀开裂和腐蚀疲劳 损伤力学基础损伤力学基础 弹性力学与有限元弹性力学与有限元弹性力学与有限元弹性力学与有限元 第一篇第一篇弹性力学基础弹性力学基础第一篇第一篇 弹性力学基础弹性力学基础 第第1 1章章弹性力学内容弹性力学内容 基本假设和基本方法基本假设和基本方法第第1 1章章弹性力学内容弹性力学内容 基本假设和基本方法基本假设和基本方法 主要内容主要内容 主要内容主要内容 1 1 弹性力学内容1 1 弹性力学内容 1 2 弹性力学的基本假设1 2 弹性力学的基本假设 1 3 弹性力学的基本方法1 3 弹性力学的基本方法 1 41 4弹性力学的发展史弹性力学的发展史1 1 4 4 弹性力学的发展史弹性力学的发展史 1 1 1 1 弹性力学内容弹性力学内容弹性力学内容弹性力学内容 1 1 理论力学理论力学材料力学材料力学弹性力学区别弹性力学区别 理论力学理论力学 1 1 理论力学理论力学 材料力学材料力学 弹性力学区别弹性力学区别 材料力学材料力学弹性力学弹性力学 理论力学理论力学 材料力学材料力学弹性力学弹性力学 研究对象 研究对象 刚体 刚体 研究内容研究内容 研究对象 研究对象 杆状构杆状构 件件 研究对象 研究对象 弹性体 弹性体 研究内容研究内容 研究内容研究内容 刚体刚体 的静的静 动力动力 件件 研究内容 研究内容 梁梁 研究内容研究内容 梁 柱 梁 柱 壳壳体等受力体等受力 的静的静 动力动力 学 约束力 速度 加速 学 约束力 速度 加速 梁梁 柱等杆件在 拉 压 弯 柱等杆件在 拉 压 弯 壳壳 体等受力体等受力 构件的应力 应变和位移的 构件的应力 应变和位移的 度 分析 度 分析 扭 剪状态 下的应力和 扭 剪状态 下的应力和 位移位移 精确分析 精确分析 2 2 弹性力学弹性力学主要任务是什么 主要任务是什么 弹性力学的任务 与材料力学任务一样 是分析各种结构弹性力学的任务 与材料力学任务一样 是分析各种结构 物或其构件在弹性阶段的物或其构件在弹性阶段的应力和位移应力和位移 校核它们是否具有校核它们是否具有物或其构件在弹性阶段的物或其构件在弹性阶段的应力和位移应力和位移 校核它们是否具有校核它们是否具有 所需要的所需要的强度和刚度强度和刚度 并寻求或改进它们的 并寻求或改进它们的计算方法计算方法 如 如 变分法变分法差分法差分法有限单元法有限单元法 变分法变分法 差分法差分法 有限单元法有限单元法 因为因为弹性力学是固体力学学科的理论基础弹性力学是固体力学学科的理论基础 是学习有限单是学习有限单 3 弹性力学主要学习目的是什么 3 弹性力学主要学习目的是什么 因为因为弹性力学是固体力学学科的理论基础弹性力学是固体力学学科的理论基础 是学习有限单是学习有限单 元法 塑性力学 断裂力学和疲劳等的基础课程 元法 塑性力学 断裂力学和疲劳等的基础课程 学习的学习的 目的是目的是使学生掌握使学生掌握分析弹性体应力和变形的基本方法分析弹性体应力和变形的基本方法为为目的是目的是使学生掌握使学生掌握分析弹性体应力和变形的基本方法分析弹性体应力和变形的基本方法 为为 今后进一步的研究实际工程构件和结构的强度 刚度 可今后进一步的研究实际工程构件和结构的强度 刚度 可 靠性靠性裂疲劳等体力学建立的论基裂疲劳等体力学建立的论基靠性靠性 断 断裂裂和和疲劳等疲劳等固固体力学体力学问题问题建立建立必要必要的的理理论基论基础 础 4 弹性力学基本问题是什么 4 弹性力学基本问题是什么 外力 内力 应力 应变 位移概念与基本方程的建立外力 内力 应力 应变 位移概念与基本方程的建立 1 2 1 2 弹性力学的基本假设弹性力学的基本假设弹性力学的基本假设弹性力学的基本假设 1 1 为什么要建立基本假设为什么要建立基本假设 有哪些基本假设有哪些基本假设 1 1 为什么要建立基本假设为什么要建立基本假设 有哪些基本假设有哪些基本假设 提炼模型的需要提炼模型的需要 提炼模型的需要提炼模型的需要 任何学科的研究 都要略去影响很小的次要因素 抓任何学科的研究 都要略去影响很小的次要因素 抓 住主要因素 建立计算模型 归纳为学科的基本假定 住主要因素 建立计算模型 归纳为学科的基本假定 连续性假设连续性假设各物理量可用连续函数表示各物理量可用连续函数表示 a a 连续性假设连续性假设 各物理量可用连续函数表示各物理量可用连续函数表示 b b 各项同性假设各项同性假设 E E 等与方向无关等与方向无关 b b 各项同性假设各项同性假设 E E 等与方向无关等与方向无关 c 均匀性假设 c 均匀性假设 E E 等与坐标无关 等与坐标无关 d d 完全弹性完全弹性 应力与应变关系可用胡克定律表示应力与应变关系可用胡克定律表示 d d 完全弹性完全弹性 应力与应变关系可用胡克定律表示应力与应变关系可用胡克定律表示 e 小变形假设 e 小变形假设 假定位移和形变很小 其作用为 假定位移和形变很小 其作用为 简化平衡条件 考虑微分体的平衡条件时 可以 简化平衡条件 考虑微分体的平衡条件时 可以 用变形前的尺寸代替变形后的尺寸 用变形前的尺寸代替变形后的尺寸 简化几何方程简化几何方程在几何方程中在几何方程中由于由于 简化几何方程简化几何方程 在几何方程中在几何方程中 由于由于 32 可略去等项 使几何方程成为线性方程 可略去等项 使几何方程成为线性方程 2 1 3 1 3 弹性力学的基本方法弹性力学的基本方法弹性力学的基本方法弹性力学的基本方法 1 1 材料力学与弹性力学问题求解方法异同材料力学与弹性力学问题求解方法异同 1 1 材料力学与弹性力学问题求解方法异同材料力学与弹性力学问题求解方法异同 材料力学 材料力学 常微分边值问题 截面法 平面假设 近似解 常微分边值问题 截面法 平面假设 近似解 弹性力学 弹性力学 偏微分边值问题 从微分单元体入手 分析单偏微分边值问题 从微分单元体入手 分析单 元体平衡元体平衡变形和应力应变关系变形和应力应变关系 元体平衡元体平衡 变形和应力应变关系变形和应力应变关系 2 2 如何求解复杂的偏微分方程如何求解复杂的偏微分方程 2 2 如何求解复杂的偏微分方程如何求解复杂的偏微分方程 难以求得通解难以求得通解 一一般采用般采用 逆解逆解 半逆解半逆解 难以求得通解难以求得通解 般采用般采用 逆解逆解 半逆解半逆解 求解方法有 解析法 变分法 差分法 有限单元法等 求解方法有 解析法 变分法 差分法 有限单元法等 3 一般求解过程 3 一般求解过程 在弹性体区域 在弹性体区域V V内 根据微分体上力的平衡条件 内 根据微分体上力的平衡条件 建立建立平衡微分方程平衡微分方程 根据微分线段上应变和位移的 根据微分线段上应变和位移的 几何条件几何条件 建立建立几何方程几何方程 根据应力和应变之间的根据应力和应变之间的几何条件几何条件 建立建立几何方程几何方程 根据应力和应变之间的根据应力和应变之间的 物理条件 建立物理条件 建立物理方程物理方程 在弹性体边界 在弹性体边界s s上 根据面力条件 建立上 根据面力条件 建立应力边应力边 界条件界条件 根据约束条件根据约束条件 建立建立位移边界条件位移边界条件 界条件界条件 根据约束条件根据约束条件 建立建立位移边界条件位移边界条件 然后在边界条件下 寻求合适的求解方法求解区 然后在边界条件下 寻求合适的求解方法求解区 域内的偏微分方程 得出域内的偏微分方程 得出应力 形变和位移应力 形变和位移 4 主要解法 4 主要解法 解析法解析法 根据弹性体的静力学 几何学 物理学等条件 根据弹性体的静力学 几何学 物理学等条件 建立区域内的微分方程组和边界条件建立区域内的微分方程组和边界条件并应用数学分析并应用数学分析建立区域内的微分方程组和边界条件建立区域内的微分方程组和边界条件 并应用数学分析并应用数学分析 方法求解这类微分方程的边值问题 得出的解答是精确方法求解这类微分方程的边值问题 得出的解答是精确 的函数解 的函数解 变分法变分法 能量法能量法 根据变形体的能量极值原理根据变形体的能量极值原理 导出弹导出弹变分法变分法 能量法能量法 根据变形体的能量极值原理根据变形体的能量极值原理 导出弹导出弹 性力学的变分方程 并进行求解 这也是一种独立的弹性性力学的变分方程 并进行求解 这也是一种独立的弹性 力学问题的解法力学问题的解法由于得出的解答大多是近似的由于得出的解答大多是近似的所以常所以常力学问题的解法力学问题的解法 由于得出的解答大多是近似的由于得出的解答大多是近似的 所以常所以常 将变分法归入近似的解法 将变分法归入近似的解法 差分法 差分法 是微分方程的近似数值解法 它将弹力中导出的是微分方程的近似数值解法 它将弹力中导出的 微分方程及边界条件化为差分方程微分方程及边界条件化为差分方程 代数方程代数方程 进行求解进行求解微分方程及边界条件化为差分方程微分方程及边界条件化为差分方程 代数方程代数方程 进行求解进行求解 有限单元法有限单元法是近半个世纪发展起来的非常有效是近半个世纪发展起来的非常有效应用应用有限单元法有限单元法 是近半个世纪发展起来的非常有效是近半个世纪发展起来的非常有效 应用应用 非常广泛的数值解法 它首先将连续体变换为离散化结非常广泛的数值解法 它首先将连续体变换为离散化结 构 再将变分原理应用于离散化结构 并使用计算机进 行求解的方法 构 再将变分原理应用于离散化结构 并使用计算机进 行求解的方法 实实验方法 验方法 实实验力学 验力学 模型模型试试验和现场验和现场试试验的各种验的各种实实实实试试试试 方法 方法 对于许多工程实际问题 由于边界条件 外荷载及约对于许多工程实际问题 由于边界条件 外荷载及约 束等较为复杂束等较为复杂 所以常常应用近似解法所以常常应用近似解法 变分法变分法 差差束等较为复杂束等较为复杂 所以常常应用近似解法所以常常应用近似解法变分法变分法 差差 分法 有限单元法等求解 分法 有限单元法等求解 1 4 1 4 弹性力学的发展史弹性力学的发展史弹性力学的发展史弹性力学的发展史 1 1 发展时期发展时期 16601660 18201820 1 1 发展时期发展时期 16601660 18201820 1678年 胡克 Robert Hooker 1635 1703 胡克定律1678年 胡克 Robert Hooker 1635 1703 胡克定律 18071807年年杨杨 Thomas YoungThomas Young17731773 18291829 弹性模量弹性模量18071807年年 杨杨 ThomasThomas YoungYoung 17731773 18291829 弹性模量弹性模量 2 理论基础的建立时期 1821 1854 2 理论基础的建立时期 1821 1854 1821年 纳维 Navier 1785 1836 提出平衡微分方程 1821年 纳维 Navier 1785 1836 提出平衡微分方程 18221822年年柯西柯西 CauchyCauchy17891789 18571857 提出广义胡克定律提出广义胡克定律 18221822年年 柯西柯西 CauchyCauchy 17891789 18571857 提出广义胡克定律提出广义胡克定律 格林提出各向异性体只有21个独立的弹性常数 拉梅再次格林提出各向异性体只有21个独立的弹性常数 拉梅再次 肯定了各向同性体只有肯定了各向同性体只有2 2独立弹性常数独立弹性常数肯定了各向同性体只有肯定了各向同性体只有2 2独立弹性常数独立弹性常数 至此 弹性力学建立了完整的线弹性理论 至此 弹性力学建立了完整的线弹性理论 弹性力学问弹性力学问 题转化为指定边界条件下求解微分方程的数学问题题转化为指定边界条件下求解微分方程的数学问题 3 线弹性理论的发展时期 1854 1907 3 线弹性理论的发展时期 1854 1907 科学家和工程师主要应用线弹性理论去解决大量实际工 程问题 并推动了 科学家和工程师主要应用线弹性理论去解决大量实际工 程问题 并推动了数学分析数学分析的进展 的进展 1856年 1856年 圣维南圣维南 Saint Venant 1797 1886 提出圣维 南原理 Saint Venant 1797 1886 提出圣维 南原理 1862年 1862年 艾里艾里提出了应力函数 解决平面问题 1882 提出了应力函数 解决平面问题 1882年年 赫兹赫兹求解了线弹性接触问题求解了线弹性接触问题 4 弹性力学更深入的发展时期 1907 至今 4 弹性力学更深入的发展时期 1907 至今 年年赫兹赫兹求解了线弹性接触问题求解了线弹性接触问题 年年卡门卡门提出了薄板的大挠度问题提出了薄板的大挠度问题19071907年年 卡门卡门提出了薄板的大挠度问题提出了薄板的大挠度问题 随后 卡门和 随后 卡门和钱学森钱学森提出了薄壳的提出了薄壳的非线性稳定非线性稳定问题 问题 黄克智 黄克智 薄壳理论和断裂力学研究与发展的推动者 许多分支学科 薄壁构件力学 薄壳力学 薄壳理论和断裂力学研究与发展的推动者 许多分支学科 薄壁构件力学 薄壳力学 粘弹性力学粘弹性力学 热弹性力学热弹性力学 各向异性弹性力学 各向异性弹性力学 固体力学问题的研究主线 固体力学问题的研究主线 均匀均匀应力应力力学力学 工程主线工程主线 固固 体体 均匀均匀 介质介质 应力应力 应变应变 力学力学 分析分析 体体 力力 含缺 陷体 含缺 陷体 破 坏 破 坏 模模 破 坏 破 坏 判判 s s e e关系关系物理物理力力 学学 复合复合 模模 式式 判判 据据 材料材料 s s e e关系关系物理物理 模型模型 度度 材料材料 设计设计 材料材料 性能性能 强强度度 指标指标 准则准则 研究主线研究主线 本本 章章 小小 结结 本本 章章 小小 结结 理论力学 材料力学 弹性力学区别理论力学 材料力学 弹性力学区别 弹性力学研究内容 学习目的弹性力学研究内容 学习目的 弹性力学基本假设和基本方法弹性力学基本假设和基本方法弹性力学基本假设和基本方法弹性力学基本假设和基本方法 有限元基础与有限元基础与ANSYSANSYS入门入门有限元基础与有限元基础与入门入门 第第一一篇篇 弹性力学基础弹性力学基础第篇第篇 弹性力学基础弹性力学基础 第2章第2章应力分析与平衡方程应力分析与平衡方程 主要内容 主要内容 2 1 一点的应力状态 应力张量2 1 一点的应力状态 应力张量 2 22 2主应力主应力主剪应力和应力张量不变量主剪应力和应力张量不变量2 2 2 2 主应力主应力 主剪应力和应力张量不变量主剪应力和应力张量不变量 2 3 八面体应力 应力强度2 3 八面体应力 应力强度 2 4 应力球张量和应力偏张量2 4 应力球张量和应力偏张量 衡方程衡方程应力外力的关系应力外力的关系2 5 平2 5 平衡方程衡方程 应力应力和和外力的关系外力的关系 2 1 一2 1 一点点的应的应力状力状态 应态 应力力张量张量点力状点力状力力 1 1 几个基本概念几个基本概念 1 1 几个基本概念几个基本概念 外力 外力 分为体积力和表面力 分为体积力和表面力 O 体力 体力 分布在物体体积内的力 分布在物体体积内的力 F x zO 0 0 lim V V F f xyz fff yf xf yf xf 面力 面力 分布在物体表面上的力 分布在物体表面上的力 lim F f fff yf y 符号规则符号规则 与坐标同向为正与坐标同向为正 方向为负方向为负 0 lim S S f xyz fff y 符号规则符号规则 与坐标同向为正与坐标同向为正 方向为负方向为负 内力 内力 物体本身不同部分之间的相互作用力 物体本身不同部分之间的相互作用力 平均应力平均应力内力的平均集度内力的平均集度 F 平均应力平均应力 内力的平均集度内力的平均集度 应力应力 内力的集度内力的集度 A F lim F p F F A A p p z z 应力应力 内力的集度内力的集度 应力分量 应力分量 正应力 切应力 正应力 切应力 0A A p A A O O x y x y C C z 正应力正应力用 表示 用 表示 剪应力剪应力 用用 表示表示如果某如果某一一个截面个截面 yz C C zx zy 用用 表示表示 如果某个截面如果某个截面 上的外法线是沿着坐标轴的上的外法线是沿着坐标轴的 正方向正方向这个截面上的应力这个截面上的应力 y y xz yx 正方向正方向 这个截面上的应力这个截面上的应力 分量就以沿坐标轴正方向为分量就以沿坐标轴正方向为 正正沿坐标轴负方向为负沿坐标轴负方向为负 P B P B xy y x z z O O 正正 沿坐标轴负方向为负沿坐标轴负方向为负 A A x y x y O O 2 一点斜面上的应力 2 一点斜面上的应力 对对P点取如图所示的四面体 微元体 平面 点取如图所示的四面体 微元体 平面PBC PAC 分别与分别与坐标平坐标平 C C x N N S SN N Z ZN N PAB分别与分别与x y z 坐标平坐标平 面平行 斜截面面平行 斜截面ABC的外的外 法线方向为法线方向为N其方向余弦其方向余弦 z z yx x xy Y Y Z ZN N 法线方向为法线方向为N 其方向余弦其方向余弦 分别为 分别为 Nl yOyO P B P B zx yz y xz X XN N Y YN N cos xNl cos yNm N x x A A zy cos zNn P P点的应力点的应力 斜截面的应力在坐标方向的斜截面的应力在坐标方向的 z P P点的应力点的应力 xyzyzzxxy 斜截面的应力在坐标方向的斜截面的应力在坐标方向的 分量 分量 NNN XYZ 设斜截面设斜截面ABC的面积为的面积为设斜截面设斜截面ABC的面积为的面积为 S 四面体的体积为 四面体的体积为 V 的面积的面积为 C C x N N S SN N Z ZN N PBC 的面积的面积为l S PAC 的面积为的面积为m S z z yx x xy Y YN N Z ZN N 的面积为的面积为 PAB 的面积为的面积为n S yOyO P B P B zx yz y xz X XN N Y YN N 由微元体的平衡 得由微元体的平衡 得 0 F x x A A z zy 0 x F 0 xyxzxN l Sm Sn SX VXS z xyxzxN 等式两边同除以等式两边同除以 S S 有 有 Nzxyxx X S V Xnml S 因为因为 S V 为高阶无穷小 可略去 得 为高阶无穷小 可略去 得 S zxyxxN nmlX y 同理 可得 同理 可得 zyyxyN nmlY nmlZ zyzxzN nmlZ 斜截面的正应力斜截面的正应力 N N 斜截面的正应力斜截面的正应力 N N NNNN nZmYlX zyxN nml 222 xyzxyz lmnlmn 222 用矩阵表示用矩阵表示 xxyxz l xxyxz Nyxyyz lmnm n zxzyz n 斜截面上的剪应力斜截面上的剪应力 N N 222 NNN S 22222 NNNNN ZYX 结论 结论 在物体内任一点 如果已知其六个应力分量 在物体内任一点 如果已知其六个应力分量 则可确定过该点任意斜截面上的则可确定过该点任意斜截面上的正应力正应力和剪应力和剪应力 xyzyzzxxy 则可确定过该点任意斜截面上的则可确定过该点任意斜截面上的正应力正应力 N N和剪应力和剪应力 N N 表明 表明 六个应力分量完全确定了一点的应力状态 六个应力分量完全确定了一点的应力状态 2 22 2主应力主应力 主剪应力和应力张量不变量主剪应力和应力张量不变量2 22 2 主应力主应力 主剪应力和应力张量不变量主剪应力和应力张量不变量 主应力主应力 主剪应力主剪应力 主方向主方向主应力主应力 主剪应力主剪应力 主方向主方向 设经过任一点P的某一斜面上的剪应力等于零 则设经过任一点P的某一斜面上的剪应力等于零 则 该斜面上的正应力称为在该斜面上的正应力称为在P P点的一个点的一个主应力主应力该斜面称为在该斜面称为在该斜面上的正应力称为在该斜面上的正应力称为在P P点的一个点的一个主应力主应力 该斜面称为在该斜面称为在 P点的一个应力主面 而该斜面的法线方向称为在P点的一P点的一个应力主面 而该斜面的法线方向称为在P点的一 个应力个应力主方向主方向个应力个应力主方向主方向 在物体内的任意一点 一定存在三个互相垂直的 在物体内的任意一点 一定存在三个互相垂直的 应力主面以对应的应力主面以对应的个主应力个主应力应力主面以应力主面以及及对应的对应的三三个主应力个主应力 在一定的应力状态下 物体内任一点的主应力不 在一定的应力状态下 物体内任一点的主应力不 会随坐标系的改变而改变 尽管应力分量随着坐标系改 变 会随坐标系的改变而改变 尽管应力分量随着坐标系改 变 另外另外通过通过一一个主方向与另外个主方向与另外两个主方向成两个主方向成4545 角角另外另外 通过个主方向与另外通过个主方向与另外两个主方向成两个主方向成4545角角 的平面上的剪应力称为的平面上的剪应力称为主剪应力主剪应力 三个主应力分别记为 三个主应力分别记为 123 为了满足平衡方程式中三个主应力为非零解 需满足下式 为了满足平衡方程式中三个主应力为非零解 需满足下式 1 2 00 000 xyxzx xyyzy 3 00 xzyzz 展开后展开后得得展开后展开后 得得 32 123 0III I 三个应力状态不变量三个应力状态不变量 不随坐标系的改变而改变 不随坐标系的改变而改变 为 为 123 222 122313 1 2 xyz xyyzzxxyyzzx I I 222 1323 2 yyyy xyzxyzy zxz xyxyyz zx I 三个主剪应力分别记为 三个主剪应力分别记为 123 主应力与主剪应力数值关系 主应力与主剪应力数值关系 123 1 123 2 1 231 2 1 312 2 如果如果 123 1 如果如果 max13 2 最大剪应力理论最大剪应力理论 也称为 也称为第三强度理论第三强度理论 2 3 2 3 八面体应力 应力强度八面体应力 应力强度 C C 任意斜面上三个方向余弦为 任意斜面上三个方向余弦为 C C N N cos xNl cos yNm z z P P cos yNm cos zNn 若现取一特殊的斜面若现取一特殊的斜面 x yO x yO A B A B 若现取一特殊的斜面若现取一特殊的斜面 nml 3 z 1 222 nml 1 又因为又因为 则则 1 3 lmn 则则 1 x 2 y 1 x 2 符合上述条件的面有八个 这八个 面构成一八面体 如右图所示 符合上述条件的面有八个 这八个 面构成一八面体 如右图所示 3 z 八面体斜面上的应力 称为八面体斜面上的应力 称为八面八面 体应力体应力体应力体应力 1 八面体斜面上的正应力 1 八面体斜面上的正应力 1 x 2 y 222 8123 1 lmn 123m 1 3 八面体斜面上的正应力八面体斜面上的正应力 等于平均应力等于平均应力 八面体斜面上的正应力八面体斜面上的正应力 等于平均应力等于平均应力 m m 2 八面体斜面上的剪应力 2 八面体斜面上的剪应力 2 222222 88123123 11 39 N S 222 NNNN SXYZ 1 lX N 2 mYN 3 nZ N 1 2 13 2 32 2 218 3 1 3 应力强度 3 应力强度 2 13 2 32 2 218 3 1 八面体剪应力在塑性力学和强度理论中非常有用 为了八面体剪应力在塑性力学和强度理论中非常有用 为了 22231 方便起见 将它乘上3 并称为方便起见 将它乘上3 并称为应力强度 即 应力强度 即 2 222 48122331 31 22 r 材料力学中第四强度理论的当量应力 材料力学中第四强度理论的当量应力 或者写成或者写成应力分量应力分量的形式的形式 22 2 222 4 1 6 2 rxyyzzxxyyzzx 或者写成或者写成应力分量应力分量的形式的形式 4 2 rxyyzzxxyyzzx 2 4 应2 4 应力球力球张量和应张量和应力偏力偏张量张量力球力偏力球力偏 00 xxyxzmxxxyxz SSS 00 00 xxyxzmxxxyxz ijyxyyzmyxyyyz ZZ SSS SSS 00 zxzyzmzxzyZZ SSS 81 11 33 mxyz I 其中 其中 应力偏张应力偏张 33 y xxxyxzxmxyxz SSS SSSS 应力偏张应力偏张 量 引起 形状改变 量 引起 形状改变 ijyxyyyzyxymyz zxzyZZzxzyzm SSSS SSS 和塑性变 形 和塑性变 形 m 00 00 应力球张量 引应力球张量 引 起体积改变和弹起体积改变和弹 m mii 00 00 起体积改变和弹起体积改变和弹 性变形 性变形 2 5 平2 5 平衡方程衡方程 应 应力力 外力关外力关系 系 衡方程衡方程力力外力关外力关 zy zy dz z z z dz 在点在点P P 附近取一微附近取一微 C C z zx dz z z yz yz dy y 元体 如右图所示元体 如右图所示 dxPA y yx x zx dz z y y dy y dyPB dzPC z z P B P B yz xy xz xz dx y A A zx zy xz dx x yx yx dy O Oij k z xy dx x x dx x yx y x y x yO Oij xy dx x 体力分量为 体力分量为 ZYX 由微元体的平衡条件建立平衡微分方程 由微元体的平衡条件建立平衡微分方程 C C zx dz 0 F C C x zx dz z 0 x F dydzdx x dydz y yx xy xz X dydzdx x x dydz x yx d d P B P B yz xz zx zy X dzdxdy y yx yx dzdx yx A A z x dx yx dy dxdydz z zx zx dxdy zx x dx x yx dy y 0 Xdxdydz 将上式同除以将上式同除以 yx 将上式同除以将上式同除以 dxdydzdxdydz 化简得 化简得 0 X zyx zx yx x 同理 由 同理 由 0 y F0 z F 得到y 得到y z z 方向平衡微分方程 方向平衡微分方程 0 X zx yx x 综合以上 得到空间问题的平衡微分方程为 综合以上 得到空间问题的平衡微分方程为 0 X zyx zx yx x 纳维纳维 0 Y zyx zyyxy 纳维纳维 方程方程 0 Z z yz xz zyx 另外由三个方向轴的力矩平衡 另外由三个方向轴的力矩平衡 0 0 0 xyz MMM 可得到可得到 剪应力互等定理剪应力互等定理 yzzyxzzxxyyx 可得到可得到 本本 章章 小小 结结 本本 章章 小小 结结 外力 内力及应力概念外力 内力及应力概念 任意斜面上的应力分量 主应力 主剪应力任意斜面上的应力分量 主应力 主剪应力 第三应力强度理论第三应力强度理论八面体应力及应力强度八面体应力及应力强度第三应力强度理论第三应力强度理论 八面体应力及应力强度八面体应力及应力强度 应力球张量 应力偏张量及平衡方程应力球张量 应力偏张量及平衡方程 弹性力学与有限元弹性力学与有限元 第第一一篇篇 弹性力学基础弹性力学基础 弹性力学与有限元弹性力学与有限元 第篇第篇 弹性力学基础弹性力学基础 第3章第3章应变分析与几何方程应变分析与几何方程 主要内容 主要内容 3 1 位移和位移分量3 1 位移和位移分量 3 23 2一一点的应变状态点的应变状态 应变张量应变张量3 23 2 点的应变状态点的应变状态 应变张量应变张量 3 3 主应变 应变张量的不变量3 3 主应变 应变张量的不变量 剪变剪变变度变度3 4 八面体3 4 八面体剪剪应应变变 应 应变变强强度度 3 5 应变球张量和应变偏张量3 5 应变球张量和应变偏张量 3 6 几何方程 应变与位移的关系3 6 几何方程 应变与位移的关系 3 1 位移和位移分量位移和位移分量位移和位移分量位移和位移分量 变形变形指物体形状的改变 即物体内各点之间距离的变化 指物体形状的改变 即物体内各点之间距离的变化 位移位移是指变形前后是指变形前后物体某质点在空间位置的绝对移动量物体某质点在空间位置的绝对移动量位移位移是指变形前后是指变形前后 物体某质点在空间位置的绝对移动量物体某质点在空间位置的绝对移动量 一一点的位移点的位移 矢量矢量Sz点的位移点的位移矢量矢量S 位移分量 位移分量 z M1 x u y v z w S u x方向的位移 分量 方向的位移 分量 方向的位移方向的位移 分量分量 M x y z S v y方向的位移方向的位移 分量分量 w z方向的位移方向的位移 分量分量 x yO z方向的位移方向的位移 分量分量 x 3 23 2一一点的应变状态点的应变状态 应变张量应变张量3 23 2 点的应变状态点的应变状态 应变张量应变张量 应变应变是指某质点变形前后是指某质点变形前后 某质点附近微小线段长度的相某质点附近微小线段长度的相应变应变是指某质点变形前后是指某质点变形前后某质点附近微小线段长度的相某质点附近微小线段长度的相 对变化量 对变化量 线应变线应变 或两个微小线段间所夹直角的变 或两个微小线段间所夹直角的变 化量化量 角应变或剪应变角应变或剪应变 应变是应变是无量纲的量无量纲的量 化量化量 角应变或剪应变角应变或剪应变 应变是应变是无量纲的量无量纲的量 一点的一点的应变分量应变分量为 为 xyzyzzxxy 采用一点的应力状态计算方法 可以得到一点的采用一点的应力状态计算方法 可以得到一点的应变张量应变张量为 为 2 2 xxyxz xyyx 其中其中 剪应变互等剪应变互等 2 2 2 2 xxyxz ijyxyyz zxzyz xyyx yzzy zxzyz zxxz 一点沿一点沿r方向方向线应变线应变为 为 222 rx xy yz zxy x yyz y zzx z x llll ll ll l 3 33 3主应变主应变 应变张量的不变量应变张量的不变量3 33 3 主应变主应变 应变张量的不变量应变张量的不变量 同样同样 按照按照应力应力理论坐理论坐标转换方法标转换方法 可以找出可以找出这这样样同样同样按照按照应力标转换方法应力标转换方法可以找出样可以找出样 的方向 沿此方向该点的方向 沿此方向该点只有线应变而无角应变只有线应变而无角应变 这样的方 这样的方 向有向有3 3个个 它们互相垂直它们互相垂直 这这3 3个线应变是极值个线应变是极值 称为主应称为主应向有向有3 3个个 它们互相垂直它们互相垂直 这这3 3个线应变是极值个线应变是极值 称为主应称为主应 变变 相应的方向为 相应的方向为应变主轴应变主轴 在一定的应力状态下 物体 在一定的应力状态下 物体 内任内任一一点的主应变不会随坐标系的改变而改变点的主应变不会随坐标系的改变而改变内任点的主应变不会随坐标系的改变而改变内任点的主应变不会随坐标系的改变而改变 222222 rx xy yz zxy x yyz y zzx zNNxxyz llll lllll ll l 2 0lll 0 rNxyz lll 令对 的导数等于 则得到如下线性方程组 2 0 2 0 xNxxy yzx z yx xyNyyz z lll lll 2 0 zx xzy yzN ll 为了满足3个方向余弦不能同时为零 需满足下列为了满足3个方向余弦不能同时为零 需满足下列特征行特征行 列式为零列式为零 2 2 0 xNxyxz 列式为零列式为零 2 0 2 yxyNyz zxzyzN 展开后 得展开后 得 32 0III 式中式中 三个应变张量不变量三个应变张量不变量 不随坐标系的改变而改变不随坐标系的改变而改变 为为 123 0 NNN III 1xyz I 式中式中 三个应变张量不变量三个应变张量不变量 不随坐标系的改变而改变不随坐标系的改变而改变 为为 222 22 2 2 1 4 xyz xyyzzxxyyzzx I 22 3 2 4 4 xyzxyyzzxzxyxyzyzx I 总结 总结 通过以上分析可知 只要一点的应变分量和通过以上分析可知 只要一点的应变分量和r方向余弦方向余弦 已知 便可以求得其已知 便可以求得其r向线应变以及主应变和主应变方向 一 向线应变以及主应变和主应变方向 一点的应变分量为点的应变分量为例例已知已知 点的应变分量为点的应变分量为 例例已知已知 一点的一点的r向方向余弦为 向方向余弦为 xyzyzzxxy xyz lll求 求 解 解 222 x xy yz zxy x yyz y zx zrzx llll ll ll l 222 1 22 2 2 4 xyzxyyzzxxyyzzx II 222 3 4 4 xyzxyyzzxzxyxyzyzx I 32 0III 可以解得三个主应变可以解得三个主应变 123 0 NNN III 2 0 xNxyzxxyz lll lll 可以解得三个主可以解得三个主 可以解得三个主应变可以解得三个主应变 2 0 2 0 yx xyNyyz z zx xzy yzN lll ll 可以解得三个主可以解得三个主 应变方向余弦应变方向余弦 C C 3 4 3 4 八面体剪应变八面体剪应变 应变强度应变强度 任意斜面上三个方向余弦为 任意斜面上三个方向余弦为 C C r r 八面体剪应变八面体剪应变应变强度应变强度 cos lr x cos mr y z z M M cos mr y cos nr z 若现取一特殊的斜面若现取一特殊的斜面 x yO x yO A B A B 若现取一特殊的斜面若现取一特殊的斜面 nml 3 z 1 222 nml 1 又因为又因为 则则 1 3 lmn 则则 1 x 2 y 1 x 2 y 符合上述条件的面有八个 这八个 面构成一八面体 如右图所示 符合上述条件的面有八个 这八个 面构成一八面体 如右图所示 八面体剪应变八面体剪应变 222 8122331 2 3 22 2 222 23 32 xyyzzxxyyzzx 应变强度应变强度 222 122331 2 2 1 i 22 2 222 3 2 2 21 xyyzzxxyyzzx 备注 备注 之所以乘以系数后定义为应变强度 是为了对应单向之所以乘以系数后定义为应变强度 是为了对应单向 拉伸时应变量 故应变强度又称为拉伸时应变量 故应变强度又称为有效应变或当量应变 有效应变或当量应变 3 5 应变球张量和应变偏张量应变球张量和应变偏张量3 5 应变球张量和应变偏张量应变球张量和应变偏张量 2 200 xxyxzmxxxyxz SSS 2 200 2 200 xxyxzmxxxyxz ijyxyyzmyxyyyz ZZ SSS SSS 2 200 zxzyzmzxzyZZ SSS 2 2SSS 应变偏张应变偏张 量量引起引起 2 2 2 2 2 2 xxxyxzxmxyxz ijyxyyyzyxymyz SSS SSSS SSS 量量 引起引起 形状改变形状改变 和塑性变和塑性变 2 2 zxzyZZzxzyzm SSS 和塑性变和塑性变 形 形 00 00 m 应变球张量 引应变球张量 引 起体积改变和弹起体积改变和弹00 00 iim m 起体积改变和弹起体积改变和弹 性变形 性变形 3 63 6 几何方程几何方程 应变与位移的关系应变与位移的关系3 63 6 几何方程几何方程应变与位移的关系应变与位移的关系 几何方程几何方程 应变分量与位移分量的关系式应变分量与位移分量的关系式 几何方程几何方程 应变分量与位移分量的关系式应变分量与位移分量的关系式 y u d 如右图所示 如右图所示 微小单元体的形变微小单元体的形变 y C D v dy y u dy y 微小单元体的形变微小单元体的形变 过程可以这样来看 过程可以这样来看 第第1 1步步平移而平移而 C D x y dy y 第第1 1步步 平移而平移而 没有发生形变 没有发生形变 第2第2 步步发生形变发生形变 A x u y v B v dx x 步步 发生形变发生形变 线应变线应变用微小用微小 直线段的变化量与直线段的变化量与 A x y B x dx y A x u y v u dx x 直线段的变化量与直线段的变化量与 原长之比 来表示 原长之比 来表示 角应变角应变用角度产生用角度产生 x O 角应变角应变用角度产生用角度产生 的改变量 来表示 的改变量 来表示 线应变线应变 yx a x A BAB AB B yx u dxdxdx x dx B dx u x x 角应变角应变 vv tan 1 yx vv vdxv B Bv xx a uu A Bx udxdxudx 1udxdxudx xx 同理 同理 y v x xyyxxyyx uv aa yx 平面问题的几何方程为 平面问题的几何方程为 x u y v y xy uv yx x y yx 三维问题的几何方程三维问题的几何方程 柯西关系式柯西关系式 三维问题的几何方程三维问题的几何方程 柯西关系式柯西关系式 u v w x x y y z z xy uv yx yz vw zy yx zy uw zx zx 弹性力学与有限元弹性力学与有限元弹性力学与有限元弹性力学与有限元 第一篇 第一篇 弹性力学基础弹性力学基础 第4章应力与应变关系 物理方程第4章应力与应变关系 物理方程 主要内容 主要内容 4 1 一维应力与应变关系4 1 一维应力与应变关系 4 2 广义胡克定律4 2 广义胡克定律 4 14 1 一一维应力与应变关系维应力与应变关系4 14 1 维应力与应变关系维应力与应变关系 物理方程物理方程 本构方程本构方程 应力与应变的关系应力与应变的关系 物理方程物理方程 本构方程本构方程 应力与应变的关系应力与应变的关系 1 单轴拉伸 1 单轴拉伸 FF A b1 b l l F A l1 轴向应变轴向应变横向应变横向应变松松 A 轴向应变轴向应变 1 ll 横向应变横向应变 1 bb 泊泊松松比比 1 l 1 b 胡克第一定律胡克第二定律常数胡克第一定律胡克第二定律常数E G 之间关系之间关系 E G 2 1 E G 4 24 2 广义胡克定律广义胡克定律4 24 2 广义胡克定律广义胡克定律 对于各向同性的弹性体对于各向同性的弹性体 各个方向的 各个方向的G E 都都 相同 由虎克定律可知 相同 由虎克定律可知 当当 x单独作用时 单独作用时 会引起正应变会引起正应变 和横向正应变和横向正应变和横向正应变和横向正应变 1111 xx xyzx EE 当当 y单独作用时 有单独作用时 有 y EE 当当单独作用时单独作用时有有 2222 yy yxzy EE 当当 z z单独作用时单独作用时 有有 zz 3333zxyz EE 当当 x y z同时作用时 对同时作用时 对x方向有方向有 123 1 xxxxxyz E 同理得同理得 E 1 yyxz yyxz E 1 zzxy E 在同一时刻 分别有在同一时刻 分别有剪应力剪应力同时作用时 则分别产生同时作用时 则分别产生剪应变剪应变 2 12 12 1 xyxyyzyzzxzx EEE EEE 把应力和应变关系的六个式子写成矩阵方程 就是应力和应把应力和应变关系的六个式子写成矩阵方程 就是应力和应 变关系的变关系的物理方程 也称为广义虎克定律物理方程 也称为广义虎克定律 1000 1000 1000 1000 0002 100 1 xx yx x z S 0002 100 00002 10 000002 1 xyxy yzyz zxzx S E zx 1000 1000 1000 00000 12 2 112 12 xx yx x z xyxy E D 00000 00000 112 12 2 12 2 xyxy yzyz zxzx 矩阵矩阵 D 称为三维应力状态下的弹性矩阵 称为三维应力状态下的弹性矩阵 S 为柔度矩阵 为柔度矩阵 2 本构方程本构方程补充知识点 补充知识点 1000 1000 xx 1000 00000 12 2 112 12 xx yx x z xyxy D E 00000 00000 112 12 2 12 2 yy yzyz zxzx 2 D D 为弹性矩阵 对于各为弹性矩阵 对于各 向同性材料向同性材料只有两个参只有两个参向同性材料向同性材料 只有两个参只有两个参 数数E E和和 但是对于各向 但是对于各向 异性材料异性材料其参数为其参数为2121个个异性材料异性材料 其参数为其参数为2121个个 对于正交各向异性为 对于正交各向异性为9 9个 个 对于正交横观各向同性材对于正交横观各向同性材对于正交横观各向同性材对于正交横观各向同性材 料 其参数为料 其参数为5 5个 个 几种情况下广义虎克 Hooke 形式几种情况下广义虎克 Hooke 形式 1 1 极端各向异性情况极端各向异性情况 xyzxyzzyxx cccccc 161514131211 cccccc 1 1 极端各向异性情况极端各向异性情况 xyzxyzzyxy cccccc 262524232221 xyzxyzzyxz cccccc 363534333231 xyzxyzzyxyz cccccc 464544434241 xyzxyzzyxzx cccccc 565554535251 xyzxyzzyxxy cccccc 666564