陕西省西安市第六十六中学高三数学总复习 5.4 不等式的应用教学案 新人教版必修1.doc

5.4不等式的应用一、基础知识导学1.利用均值不等式求最值：如果a1，a2r+，那么.2.求函数定义域、值域、方程的有解性、判断函数单调性及单调区间，确定参数的取值范围等.这些问题一般转化为解不等式或不等式组，或证明不等式.3.涉及不等式知识解决的实际应用问题，这些问题大体分为两类：一是建立不等式解不等式；二是建立函数式求最大值或最小值.二、疑难知识导析不等式既属数学的基础知识，又是解决数学问题的重要工具，在解决函数定义域、值域、单调性、恒成立问题、方程根的分布、参数范围的确定、曲线位置关系的讨论、解析几何、立体几何中的最值等问题中有广泛的应用，特别是近几年来，高考试题带动了一大批实际应用题问世，其特点是：1问题的背景是人们关心的社会热点问题，如“物价、税收、销售收入、市场信息”等，题目往往篇幅较长.2函数模型除了常见的“正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数”等标准形式外，又出现了以“函数”为模型的新的形式.三经典例题导讲例1求y=的最小值.错解： y=2y的最小值为2.错因：等号取不到，利用均值定理求最值时“正、定、等”这三个条件缺一不可.正解：令t=,则t,于是y=由于当t时，y=是递增的，故当t2即x=0时，y取最小值.例2m为何值时，方程x2+(2m+1)x+m23=0有两个正根.错解：由根与系数的关系得，因此当时，原方程有两个正根.错因：忽视了一元二次方程有实根的条件，即判别式大于等于0.正解：由题意：因此当时，原方程有两个正根. 例3若正数x，y满足，求xy的最大值解：由于x，y为正数，则6x，5y也是正数，所以当且仅当6x=5y时，取“=”号因，则，即，所以的最大值为.例4已知：长方体的全面积为定值s，试问这个长方体的长、宽、高各是多少时，它的体积最大，求出这个最大值分析：经过审题可以看出，长方体的全面积s是定值因此最大值一定要用s来表示首要问题是列出函数关系式设长方体体积为y，其长、宽、高分别为a，b，c，则y=abc由于a+b+c不是定值，所以肯定要对函数式进行变形可以利用平均值定理先求出y2的最大值，这样y的最大值也就可以求出来了解：设长方体的体积为y，长、宽、高分别是为a，b，c，则y=abc，2ab+2bc+2ac=s而y2=（abc）2=（ab）（bc）（ac）当且仅当ab=bc=ac，即a=b=c时，上式取“=”号，y2有最小值答：长方体的长、宽、高都等于时体积的最大值为.说明：对应用问题的处理，要把实际问题转化成数学问题，列好函数关系式是求解问题的关健.四、典型习题导练1.某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3,深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？2.证明：通过水管放水，当流速相同时，如果水管截面的周长相等，那么截面是圆的水管比截面是正方形的水管流量大.3.在四面体p-abc中，apb=bpc=cpa=90，各棱长的和为m，求这个四面体体积的最大值4. 设函数f(x)=ax2+bx+c的图象与两直线y=x，y=-x，均不相交，试证明对一切r都有.5青工小李需制作一批容积为v的圆锥形漏斗，欲使其用料最省，问漏斗高与漏斗底面半径应具有怎样的比例？6轮船每小时使用燃料费用(单位：元)和轮船速度(单位：海里时)的立方成正比已知某轮船的最大船速是18海里时，当速度是10海里时时，它的燃料费用是每小时30元，其余费用