2012线代复习指南.doc

线性代数复习1.对全学期课程作一个框架式总结； 2.概述主要的基本概念、理论要点和算法要求；学习要求：“融会贯通”“融会”设法找到不同知识点之间的内在相通之处；“贯通”掌握前后知识点之间的顺承关系。 1 整体框架：五个模块“三大工具、两大问题”。行列式运算矩阵运算加法数乘乘法求逆转置行列式行列式初等变换矩阵的秩线性方程组 向量组线性相关性向量线性表示最大无关组向量组的秩向量空间的解空间特征值与特征向量正交变换化二次型相似对角化二次型化标准形实对称阵对角化实对称阵对角化二次型正定性“三大工具”：行列式（运算工具）、矩阵（运算工具）、向量空间（思维工具）； “两大问题”：多元一次问题（线性方程组）、多元二次问题（二次型）。模块结构图及主要内容关系框图大致如下： n元一次线性方程组行列式 矩 阵基础 提高向量 空间基础 提高n元二次型 第一阶段第二阶段 2.两个阶段，两大理论：一、两个阶段：第一阶段：行列式（Ch.1） 矩阵（一）（运算、初等变换、秩）（Ch.2& Ch.3） 向量空间（）（线性相关性、秩）（Ch.3） 线性方程组（Ch.3&Ch.4）；解决一次问题；第二阶段：向量空间（二）（空间结构（基，维）、基本度量、正交阵）（Ch.4&Ch.5） 矩阵（二（特征值、矩 阵变换、对角化）（Ch.5） 二次型（Ch.5）；解决二次问题。二、两大理论：线性代数的解析理论矩阵理论（行列式、矩阵、线性方程组、二次型）（1）行列式的定义、性质、计算、证明；（2）矩阵的定义、性质、运算、初等变换、秩、特征值、特征向量、相似对角化、正交对角化；（3）方程组的Gauss消元法、初等变换、基础解系、通解、特解；（4）二次型的标准化、规范化、惯性指数、正定负定；线性代数的几何理论空间理论（向量欧氏空间、线性方程组解空间、二次型主轴定理）（1）向量、向量的线性运算；（2）向量间的线性关系（线性相关、无关）；向量组间的关系（线性表示、等价）；（3）向量与向量组的关系（线性表示）；向量空间；（4）内积运算、欧氏空间；（5）向量的长度、夹角、正交、规范正交向量组；（6）规范正交基、Schmidt正交化；（7）线性方程组解空间的结构、二次型的主轴定理（化二次型为标准型）；（8）空间与空间的转换关系：过渡矩阵 3 一条主线：矩阵就期末考试而言，应抓住矩阵作为主线，把握主要的概念、理论和算法；9空间为体，矩阵为用, 几何是脑力劳动，代数是体力劳动。一、 矩阵的基本算法： 1. 代数运算：六种代数运算（加法、数乘、乘法、求逆、转置、行列式）必须熟练掌握（可运算的条件、运算法则、运算律、一些须注意之 点）；2.分块：一些常用分块法、分块形式下的运算；3.初等变换：一定要学会化行阶梯形、最简形；会用来解方程组；4.特征值和特征向量，也应熟练掌握其完整的算法二、矩阵的秩：先用“回溯法”把主要概念串起来：矩阵的秩 向量组的秩 最大无关组 线性相关与线性无关 线性组合与线性表示 向量及其线性运算， 这是一条逻辑主线，然后在各部分挂上主要的定理和方法，整个第四章的内容就基本囊括了，且能使众多概念、定理、算法井然有序；三、矩阵变换：第二阶段，在初等变换的基础上再前进一步：1. 相似变换与对角化：主要性质、可对角化的条件、实施过程（算法）、应用（矩阵的高次幂）；2. 合同变换：要求相对低一些，知道概念和性质即可，算法不要求；3. 正交变换：（1）先用回溯法理顺概念：正交变换 正交阵 正交（规范）基 正交（规范）组 正交、规范 夹角、范数 内积；（2）再回顾正交阵的主要性质，特别是 A1 = A ，便可与相似变换、合同变换挂钩；（3）应用：实对称阵的对角化（ 二次型的标准化）。 注意：比较不同变换的条件、性质、变换过程（算法）、应用范畴、相互关系，在比较中把握。 4 区别与联系：一、行列式和矩阵矩阵是表格，加法、数乘、乘法、求逆、转置、行列式运算用等号连接；矩阵的等价，初等变换化阶梯形、最简形，求秩，解方程组符号为波浪号或箭头；行列式是数值，计算用等号连接。矩阵3种初等变换（互换，倍加，倍乘），表示的符号与行列式相同，运算方式相同（只针对一个行（列）进行运算），但行列式互换时要添负号。矩阵的加法、数乘针对所有元素进行计算，乘法满足左行右列法则，方阵的行列式满足行列式的运算规律。余子式、代数余子式、k阶子式、顺序主子式：如 中2对应的余子式为：，代数余子式为： 中2阶子式： 顺序主子式：二、矩阵与方程组、向量向量与线性方程组是整个线性代数部分的核心内容。相比之下，行列式和矩阵可视作是为了讨论向量和线性方程组部分的问题而做铺垫的基础性章节；后两章特征值、特征向量、二次型的内容则相对独立，可以看作是对核心内容的扩展。向量与线性方程组的内容联系很密切，很多知识点相互之间都有或明或暗的相关性。复习这两部分内容最有效的方法就是彻底理顺诸多知识点之间的内在联系，因为这样做首先能够保证做到真正意义上的理解，同时也是熟练掌握和灵活运用的前提。（1） 矩阵的相似、等价与合同：矩阵与矩阵等价（）的定义式是，其中、为可逆矩阵，此时矩阵可通过初等变换化为矩阵，并有注：向量组与的等价定义式：与相互线性表示则与行向量组等价；则与列向量组等价矩阵行等价：（左乘，可逆）与同解矩阵列等价：（右乘，可逆）；若与行等价，则与的行秩相等；若与行等价，则与同解，且与的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性;若，则：的列向量组能由的列向量组线性表示，为系数矩阵；的行向量组能由的行向量组线性表示，为系数矩阵；（转置）矩阵相似（）的定义式，即有，此时满足、，并且、有相同的特征值。迹相等。矩阵合同的定义是，其中为可逆矩阵。可看出等价、合同、相似三者之间的关系：若与合同或相似则与必等价，反之不成立；合同与相似之间没有必然联系。（2）三个双重定义1.方程组的定义：由个未知数个方程的方程组构成元线性方程：、的两种定义形式，矩阵形式和向量形式：、（向量方程，为矩阵，个方程，个未知数）、，其中 2.秩的定义 .矩阵秩的定义：矩阵中最高阶非零子式的阶数 向量组秩定义：向量组的最大线性无关组中所含的向量个数注：矩阵的行秩等于列秩；矩阵的秩等于其列向量组的秩，也等于行向量组的秩。对于矩阵与：若与行等价，则与的行秩相等；与同解，且与的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性；3.线性相关、无关的定义：对于一组向量，若存在不全为零的数使得成立，则相量组线性相关，否则向量组线性无关，即上述等式当且仅当全为0时才成立。向量组线性相关向量组中至少存在一个向量可由其余n-1个向量线性表出；线性无关向量组中没有一个向量可由其余的向量线性表出。（3）线性方程组与线性表示、相关、无关、最大无关组、秩的联系1）齐次线性方程组与线性相关、无关的联系齐次线性方程组可以直接看出一定有解，因为当时等式一定成立；印证了向量部分的一条性质“零向量可由任何向量线性表示”。齐次线性方程组一定有解又可以分为两种情况：有唯一零解；有非零解。当齐次线性方程组有唯一零解时，是指等式中的只能全为0才能使等式成立，而当齐次线性方程组有非零解时，存在不全为0的使上式成立；但向量部分中判断向量组是否线性相关、无关的定义也正是由这个等式出发的。故向量与线性方程组在此又产生了联系：齐次线性方程组是否有非零解对应于系数矩阵的列向量组是否线性相关。可以设想线性相关、无关的概念就是为了更好地讨论线性方程组问题而提出的。2）齐次线性方程组的解与秩和最大无关组的联系同样可以认为秩是为了更好地讨论线性相关和线性无关而引入的。秩的定义是“最大线性无关组中的向量个数”，向量组组成的矩阵有说明向量组的最大线性无关组中有个向量，即线性无关，也即等式只有零解。所以，经过“秩 线性相关、无关 线性方程组解的判定” 的逻辑链条，由就可以判定齐次方程组只有零解。当时，的列向量组线性相关，此时齐次线性方程组有非零解，且齐次线性方程组的解向量可以通过个线性无关的解向量（基础解系）线性表示。线性相关存在一组不全为0的数，使得成立；（定义）有非零解，即有非零解；，系数矩阵的秩小于未知数(向量)的个数；线性表示。线性无关当且仅当全为0的数，使得成立；（定义）有唯一零解，即有唯一零解；，系数矩阵的秩等于未知数(向量)的个数；3）非齐次线性方程组与线性表示的联系非齐次线性方程组是否有解对应于向量是否可由的列向量组线性表示，即使等式成立的一组数就是非齐次线性方程组的解。当非齐次线性方程组满足时，它有唯一解。这一点也正好印证了一个重要定理：“若线性无关，而线性相关，则向量可由向量组线性表示，且表示方法唯一”。结论：向量组的线性相关、无关有、无非零解；(齐次线性方程组)向量的线性表出 是否有解；（非齐次线性方程组）向量组的线性表示是否有解；（矩阵方程）性质1. 对于方阵有： 方阵可逆的行(列)向量组均线性无关可由克莱姆法则判断有唯一解，而仅有零解 （A与等价）可表示成若干个初等矩阵的乘积的特征值全不为0；是正定矩阵；的行（列）向量组是的一组基是中某两组基的过渡矩阵；对于一般矩阵则有：的列向量组线性无关仅有零解，有唯一解（如果有解）性质2齐次线性方程组是否有非零解对应于系数矩阵的列向量组是否线性相关，而非齐次线性方程组是否有解对应于是否可以由的列向量组线性表出。以上两条性质可视为是将线性相关、行列式、秩、线性方程组几部分知识联系在一起的桥梁。4）线性方程组的解：1） 非齐次线性方程组有唯一解则对应齐次方程组仅有零解；2）若有无穷多解则有非零解；3）若有两个不同的解则有非零解；4）若是矩阵而则一定有解，而且当时有唯一解，当时有无穷多解；5）若则没有解或有唯一解。有非零解有唯一零解 5 5大分支 行列式行列式的核心内容是：求行列式，包括具：体行列式的计算和抽象行列式的计算，其中具体行列式的计算又有低阶和阶两种类型；主要方法是应用行列式的性质及按行列展开定理化为上下三角行列式求解。对于抽象行列式的求值，考点不在求行列式，而在于、等的相关性质：，及性质（其中为矩阵的特征值）。 要求掌握二阶、三阶行列式的计算的对角线法则，克莱姆法则，齐次线性方程组有非零解的条件，逆序数的计算；知道四阶及以上行列式不可用对角线法则。行列式的求法法一利用展开定理计算: 在一行（列）造 0，再展开降阶（若能在降阶中找出高阶与低阶的关系，则可进行递推或数学归纳。）（课本 :P18 例7 ；P21例13; P25例16(参数型)；P15例11（n阶递推）法二化为三角型行列式:（课本 :P12例7，8，9） 法三直接用性质、定义和常用结果（课本 :P14例10， P55 习题14；P135习题12）；代数余子式的性质：、与的大小无关，只与在行列式中所处的位置有关； 、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0；、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为、代数余子式和余子式的关系：行列式的重要公式：主对角行列式：主对角元素的乘积； 副对角行列式：副对角元素的乘积；上下三角行列式（）:主对角元素的乘积 和：副对角元素的乘积； ; 范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积；矩阵矩阵部分出题很灵活，频繁考察知识点:包括矩阵运算的运算规律、，的性质、判定条件及求法、矩阵秩的定义、性质及求法、分块矩阵的计算方法（特别是分块对角阵）、求解矩阵方程、初等矩阵的性质等,所以复习本章的难度主要在于如何保证复习的全面细致。矩阵的运算包括：注意特殊的运算律（课本 :P54习题1，2，4，5）矩阵转置的性质：，伴随矩阵的性质：、 矩阵可逆的性质： ，分块矩阵的重要结论，其中均、可逆：（课本 :P56习题26，27，28）若，则：、；、；矩阵秩的描述及求法：（课本 :P67例5；P69例7）、，中有阶子式不为0，阶子式全部为0；（两句话）、，中有阶子式全部为0；、，中有阶子式不为0；、若，则；矩阵的初等变换不改变矩阵的秩。、若、可逆，则；（可逆矩阵不影响矩阵的秩）、R(A)=化为行阶梯型（最简型）非零行的行数=主元列的列数初等矩阵、初等变换和对角矩阵的性质： 、 初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；对施行一次初等变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵乘；对施行一次初等变换得到的矩阵,等于用相应的初等矩阵乘.、，左乘矩阵，乘的各行元素；右乘，乘的各列元素； 求逆矩阵法一行变换: （课本 :P64例2）法二行列式的方法: ； （课本 :P44例10，11）法三:用已知的结论： （课本 :P50例16，P55习题10（4）利用逆矩阵定义证明:逆矩阵的定义 （课本 :P56习题24） 矩阵初等变换与线性方程组掌握矩阵的初等行变换将方程组的增广矩阵化为阶梯形矩阵并根据简化形阶梯形矩阵判断方程组解的情况；非齐次线性方程组解的判定条件；齐次线性方程组解的判定条件。行阶梯形矩阵 ：可画出一条阶梯线，线的下方全为；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数；行最简形矩阵：只能通过初等行变换获得；每行首个非0元素必须为1；每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）、对矩阵做初等行变化，当变为时，就变成，即：；求解线形方程组：对于个未知数个方程，如果，则可逆，且； （课本 :P45例12； P55习题11；P65例3；）矩阵方程的解法：（）（课本 :P65例3） 方程组解的判定定理及应用：（课本 :P73-76例10，11，12，13）齐次方程组有唯一零解当A是方阵时，可逆行向量或者列向量线性无关有无穷多解（非零解）当A是方阵时，不可逆行向量或者列向量线性相关非齐次方程组有唯一解当A是方阵时，有无穷多解当A是方阵时，无解 向量组的线性相关性：掌握向量组的线性性相关、无关的判定，会求向量组的秩、最大无关组。会判定向量空间，求过渡矩阵。会求非齐次线性方程组的通解、齐次线性方程组的基础解系。应记住的一些性质与结论1向量组线性相关的有关结论：1）向量组线性相关向量组中至少存在一个向量可由其余个向量线性表出;向量组线性无关向量组中没有一个向量可由其余的向量线性表出。2)若线性相关，则必线性相关；若线性无关，则必线性无关 3）若线性无关，而线性相关，则向量可由向量组线性表示，且表示法唯一。2向量组线性表示与等价的有关结论：1） 如果向量组可由向量组线性表示，则有3） 等价的向量组具有相同的秩，但不一定有相同个数的向量；4） 任何一个向量组都与它的最大线性无关组等价，最大无关组不唯一。3常见的最大无关组：1） 齐次线性方程组的一个基础解系；向量空间的基。2） 、这样的单位向量组；3） 不同特征值对应的特征向量。4.方程组的解1)求解算法必须熟练掌握）；(见ppt) （课本 :P97-101例12，16，P75例13）1）变到行阶梯形时，可先审视：有解（相容）吗？若有解（相容），解唯一吗？若不唯一，则 n r = ? （ 即有几个自由变元？），由此即可判定解的“大模样”。2）如果方程组有解（相容），应该“将行变换进行到底”，一直变到行最简形，这意味着消元过程和回消过程全部完成，它所对应的方程组就是原方程组的最简形式，“剥离”出来的基本变量（主元列对应的变量）个数等于独立方程的个数（即方程组的秩），这时再通过确定自由变量（非主元列），（有几个自由变量，就有几个基础解系的解向量，每次将一个自由变量取1，其余的自由变量取0。若自由变量有一个，只取一个1）。移项（自由变量移到等号右边，左边为基本变量）、补齐（没有出现的变量为自由变量），很容易得到方程组的通解（齐次为基础解系的线性组合，构成基础解系的向量，必须写成列向量的形式；非齐次为：特解（令自由变量全为0可得）+齐次的通解（必须先写齐次的最简方程组，即令还原出的非齐次方程组右端常数项为0，然后取出基础解系，有几个自由变量，就有几个基础解系的解向量，每次将一个自由变量取1，其余的自由变量取0。若自由变量有一个，只取一个1）3）解集的结构。齐次方程组的解空间(基础解系) 非齐次方程组的解集判断线性表示，等价（课本 :P84例1，2）线性无关或相关 （课本 :P88-90例4，5，6，7）方法1:利用线性无关和线性相关的定义方法2*:利用秩和行列式判断 （课本 :P50例16，P55习题10（4）方法3:利用定理证明求最大无关组与线性表示（课本 :P93例11）找出最大无关组，包括利用最大无关组进行线性表示方法：利用列向量组成矩阵进行行变换，目标是行最简形矩阵矩阵的相似及二次型相对于前两章来说，本章不是线性代数这门课的理论重点，但却是一个考试重点。其原因是解决相关题目要用到线代中的大量内容既有行列式、矩阵又有线性方程组和线性相关，“牵一发而动全身”。本章知识要点如下：1特征值和特征向量的定义及计算方法 （课本 :P118，例5，6，7）就是记牢一系列公式如、和。常用到下列性质：若阶矩阵有个特征值，则有；若矩阵有特征值，则、分别有特征值、，且对应特征向量等于所对应的特征向量；2相似矩阵及其性质（课本 :P123，例11）定义式为，此时满足、，并且、有相同的特征值。3矩阵可相似对角化的条件包括两个充要条件和两个充分条件。充要条件1是阶矩阵有个线性无关的特征向量；充要条件2是的任意重特征根对应有个线性无关的特征向量；充分条件1是有个互不相同的特征值；充分条件2是为实对称矩阵。4实对称矩阵及其相似对角化（课本 :P125，例12）阶实对称矩阵必可正交相似于对角阵，即有正交矩阵使得，而且正交矩阵由对应的个正交的单位特征向量组成。可以认为讨论矩阵的相似对角化是为了方便求矩阵的幂：直接相乘来求比较困难；但如果有矩阵使得满足（对角矩阵）的话就简单多了，因为此时而对角阵的幂就等于，代入上式即得。引入特征值和特征向量的概念是为了方便讨论矩阵的相似对角化。因