六边形与八边形翻板的探讨.doc

六邊形與八邊形翻板的探討 一、研究動機：上課的時候，老師拿出一個八邊形的翻板，讓我們預測八邊形翻板經過翻轉後，箭頭會指向哪個方向。班上的同學經過思考後，推測箭頭所指的方向，同學之間就已經有許多不同的看法與答案，當老師公佈答案之時，所出現的結果竟是出乎多數人預料之外。小小的一個八邊形翻板，竟然會帶來如此的驚奇，引起我極大的興趣，於是找了幾位同學一起來研究。？上下右左右上右下左上左下上下右左右上右下左上左下上下右左右上右下左上左下上下右左右上右下左上左下 老師上課所提的問題，您也來試試看！圖一：翻轉前正面箭頭指向上方圖二：水平翻轉後，翻板的箭頭指向右方圖三：將圖一的翻板依順時針方向旋轉45後，箭頭指向右上方圖四：將圖三的翻板，經過水平方向翻轉後，請問箭頭會指向哪個方向？二、研究目的：1. 研究正六邊形翻板的兩個箭頭旋轉的規則及公式推導。2. 研究正八邊形翻板的兩個箭頭旋轉的規則及公式推導。三、研究設備器材：電腦、計算機、西卡紙、剪刀、刀片、鉛筆、彩色筆四、研究過程方法、結果與討論：(一).【正六邊形翻板的公式推導】：【研究過程】：1.利用電腦繪製正六邊形（邊長約2.5公分）一個，並以所繪製的圖形為模子，分別裁切出六個正六邊形翻板。3002401801206002.製作兩箭頭透視夾角分為0、60、120、180、240、300的正六邊形翻板各一個。3.水平旋轉翻板並記錄箭頭所指的角度。：翻轉後翻板正面的箭頭所指的方向：翻轉後翻板背面的箭頭所指的方向：翻轉前翻板背面的箭頭所指的方向 以兩箭頭的夾角為120的翻板推導為例：翻轉前翻板正面的箭頭所指的方向1：翻板正面的箭頭與水平的夾角2：箭頭背面的箭頭與水平的夾角(未翻轉)3：箭頭背面的箭頭與水平的夾角(翻轉後)水平翻轉後水平翻轉前水平翻轉後水平翻轉前水平翻轉後水平翻轉前12060120601206012060120024030018012060120024030018012060180018001201800180010 2120 3240300240300240300240160 2180 3180112022403120300240水平翻轉後水平翻轉前水平翻轉後水平翻轉前水平翻轉後水平翻轉前12060120601206012060120601206012018001201800180018001201800180030024030024030024030024030024030024012402360301300260330011802300360123012024060180180120240120180300602403600300603004.整理以上數據，可得右方所列的表格5.重複步驟3，依據實際翻轉的觀察結果，分別記錄當兩箭頭的夾角為0、60、120、180、240、300時，1、2及3的數值為何，並整理出以下的表格。【研究結果】：實際翻轉的觀察結果：（當2360時 22360）123036006060300120120240180180180240240120300300601230300606036001206030018012024024018018030024012012302401206030060120360018060300240120240300180180(1)當2160 (2)當21120 (3)當21180 (4)當21240 (5)當21300 (6)當21123060300601202401201801801802401202403006030036001230180180602401201203006018036002406030030012024012301202406018018012024012018030060240360030060300【公式推導及討論】：正面1反面翻轉後32反面翻轉前透視圖旋轉軸正六邊形翻板的公式推導：1：翻板正面的箭頭與水平的夾角2：箭頭背面的箭頭與水平的夾角(未翻轉)3：箭頭背面的箭頭與水平的夾角(翻轉後)由以上的結果發現六邊形翻板2旋轉軸旋轉軸3旋轉180(1) 觀察上列表格發現，2與3之和皆為360公式推導如下：（如右圖）因為 2 且 3360所以 23360(2) 若1及1與2的夾角為已知，套入以下公式即可求出2及3 21（1與2的夾角） 33602(1) 當2160 (2) 當21120 (3) 當21180 1232-13-1018018018018060240120180601203006018060or 3001803600180180240603001806030012024018060or 3001232-13-1012024012024060180180120120120240120120018030060120120or 2402403600120240or 1203006030012001232-13-106030060300601202406018012018018060601802401206060or 3002403006060180or 180300360060300or 60(4) 當21240 (5) 當21300 (6) 當211232-13-10300603006060360030060or 300120603003001801801202403006024018018030060or 300300240120300 1801232-13-100000606030002401201202400120180180180002402401200120or 240300300600240or 1201232-13-10240120240120603006024001203600240120or 240180603002401202401202402400300180180240120or 240分析綜合以上六個表格發現：(1) 當2與1之角度相差0、120、240時，旋轉後的夾角有0or 120or 240三種。(2) 當2與1之角度相差60、180、300時，旋轉後的夾角有60or 180or 300三種。2-1（旋轉前之夾角）3-1（旋轉後之夾角）旋轉後之夾角可能性0、120、2400or 120or 240三種60、180、30060or 180or 300三種(二).【正八邊形翻板的公式推導】：【研究過程】：1. 利用電腦繪製正八邊形（邊長約2.5公分）一個，並以所繪製的圖形為模子，分別裁切出八個正八邊形翻板。2. 製作兩箭頭透視夾角分為0、45、90、135、180、225、270、315的正八邊形翻板各一個。3. 依據實際翻轉的觀察結果，分別記錄當兩箭頭的夾角為0、45、90、135、180、225、270、315時，1、2及3的數值為何，並整理出以下的表格。【研究結果】：實際翻轉的觀察結果：（當2360時 22360）(1)當21 (2)當2145 (3)當2190 (4)當21135 (5)當21180 (6)當21225123022513545270909031545135036018045315225902702701352253151801801230180180452251359027090135315451800360225453152709027031513522512301352254518018090225135135270901803154522503602704531531590270123090270451352259018018013522513518027090225315452703600315453151230453154590270901352251351801801802251352252709027031545315360012300360454531590902701351352251801801802252251352702709031531545(7) 當21270 (8) 當213151230315454503609045315135902701801352252251801802702251353152709012302709045315459003601354531518090270225135225270180180315225135 312反面翻轉後正面翻轉前反面透視圖1：翻板正面的箭頭與水平的夾角2：箭頭背面的箭頭與水平的夾角(未翻轉)3：箭頭背面的箭頭與水平的夾角(翻轉後)【公式推導及討論】：正八邊形翻板的公式推導：由以上的結果發現正八邊形翻板與正六邊形翻板皆有以下(1).(2).兩點相同的結果2旋轉軸旋轉軸3旋轉180正六邊形翻板(1) 觀察上列表格發現，2與3之和皆為360公式推導如下：（如右圖）因為 2 且 3360所以 23360旋轉180正八邊形翻板2旋轉軸旋轉軸3(2) 若1及1與2的夾角為已知，套入以下公式即可求出2及3 21（1與2的夾角） 33602(1) 當2145 (2) 當2190 (3) 當21135 (4) 當211801232-13-10180180180180452251351809090270901800135315451809018036001801802254531518090270902701800315135225180901232-13-101352251352254518018013513590225135135451352709013545180315451351352253600135225270453151354531590270135451232-13-10902709027045135225901809018018090901352251359001802709090902253154590180270360090270315453159001232-13-10453154531545902704522590135225451351351801804545180225135454522527090451352703154545225315360045315(5) 當21225 (6) 當21270 (7) 當21315 (8) 當211232-13-103600004545315027090902700180135135225090180180180002252251350902702709001803153154502701232-13-103154531545453600315459045315315225135902703151351801352253154522518018031545270225135315135315270903152251232-13-10270902709045315452700903600270901354531527018018090270270902251352252700270180180270903152251352701801232-13-10225135225135452709022545903154522545135360022513518045315225225225902702254527013522522545315180180225135分析綜合以上八個表格發現：(1) 當2與1之角度相差 0、 90、180、270時，旋轉後的夾角有0or 90or 180or 270四種可能。(2) 當2與1之角度相差45、135、225、315時，旋轉後的夾角有45or 135or 225or 315四種可能