王娜-量子体系相干态的Wigner函数6月17日.doc

陕西理工学院毕业论文量子体系相干态的Wigner函数 王 娜（陕理工学院物理系物理学063班，陕西汉中，723001）指导教师：王剑华教授【摘要】：Wigner函数作为相空间中的一个准概率分布函数，它包含了量子态在整个相空间演化过程中的全部信息，具有十分重要的物理意义。本文首先介绍了Wigner函数的定义和性质，其次计算了一维谐振子的相干态,并推广到三维谐振子相干态，将相干态表达式代入三维坐标空间Wigner函数的一般表达形式中，得到了相应的Wigner函数。最后, 介绍了增、减光子奇偶相干态下的Wigner函数及其所表现出的特性。【关键词】：谐振子；量子体系；相干态；Wigner函数 引言Wigner函数最早是由著名的物理学家Wigner于1932年1引进的，Wigner函数的引进是为了对热力学体系做量子修正而引入相空间中的准几率分布函数。在描述量子光学、核物理、量子计算、量子混沌以及量子信息的控制和传递中，Wigner函数也有着非常重要的作用，并且是一个很好的半经典近似。在上世纪70年代以前，Wigner函数并没有引起人们更多的关注。直到1975年，Moyal才从量子力学的内部逻辑出发，发现了这个引人入胜的乘法量子化方法2。在这种量子化方法中，我们不需要选定一个特定的表象空间，比如坐标表象或动量表象，而且在现代量子测量中，量子态Wigner函数的重构3和测量对研究量子体系的演化过程有着重要的意义，这个定义于相空间的实函数具有准概率分布函数的性质。一般说来，Wigner函数既可以取正值，也可以取负值，故不能像经典物理中那样，把Wigner函数看成粒子在同一时刻的坐标、动量的概率密度4。准经典态的Wigner函数始终是非负的，比如一维谐振子的较低的两个能量本征态5的Wigner函数，其中基态波函数相应的Wigner函数为非负6的，具有相空间中的旋转不变形。但对于它的激发态，Wigner函数则可正可负，呈现出明显的非经典特征。例如，从理论上，对行波场，重构方案包括光学零拍层析法6和光子计数法7 ；提出了腔场的原子偏转技术和微脉腔法8的重构方案；对腔肠，重构包括非线性原子零拍探测法9、量子态内窥法和原子偏转技术10等。在实验上，稽英华11通过介观LC电路实现了压缩偶相干态，并讨论了其非经典特性；Kurtsiefer12对He原子束在双缝干涉实验中的Wigner函数进行了很巧妙的测量，得到的结果与理论计算相一致； Nogues13利用原子偏转技术测量了单光子Fock态的Wigner函数。这些重构和测量量子态的Wigner函数方案，极大地激发了研究者的兴趣。在本文中我们首先回顾Wigner函数的定义和性质及其计算方法，其次利用积分法求出了谐振子相干态的Wigner函数，并将其扩展到多粒子体系，也即量子体系中来研究，并且得出多粒子体系的Wigner函数的表达式。最后，介绍了增、减光子奇偶相干态下的Wigner函数及其所具有的特性。1.Wigner函数的定义及性质对量子态的测量，是测量与波函数或密度矩阵等价的Wigner函数。Wigner函数作为相空间中的一个实函数，具有准概率分布函数14的性质，是一个很好的半经典近似。在三维相空间中，定态Wigner函数的形式为， (1.1) (1.2)按照（1.1）式的定义我们可以得到，含时Wigner函数具有如下与经典力学中的Liouville定理相似的动力学演化方程，.(1.3)对于给定的Hamiltonian ，Wigner函数的动力学演化方程（1.3）可改写为如下的Moyal方程，,(1.4)这里的星乘15由下式给出，(1.5)星乘包含指数算符，由于是一个很小的量，因此，作为一个级数展开，乘法可表示为，(1.6)或者，(1.7) 对于能量本征态，Wigner函数满足更具有约束性的本征值方程，(1.8)或者，(1.9) 这里的是能量本征方程的能量本征值。这两个方程完全描述了Wigner函数的性质我们也知道，Wigner函数重要性质之一就是为相空间中的实函数，即 (1.10)重要性质之二为，(1.11)，(1.12)(1.11)和(1.12)式表明Wigner函数对坐标空间（或动量空间）的边缘分布为坐标表象（或动量表象）中的概率密度分布。这一重要性质使得Wigner函数具有更广泛的应用。2.谐振子的相干态粒子在一维谐振子势中，选取自然长度()，初始时刻的状态为 (2.1)从量子力学看，它不可能是一个定态，事实上它既不是基态，也不是任何一个能量本征态，而是无限多个能量本征态按一定的权重的相干叠加16，即 (2.2)其中， (2.3)亦可采用平移算符D(x0)表示为 (2.4)利用谐振子的升降算符a+和a，可表示为 (2.5)那么， (2.6)其中则谐振子的相干态可表示为 (2.7)可证明它为湮灭算符的本征态， (2.8)由于，所以a不是厄米算符，因此a的本征值不是实数而是复数。3.坐标表象中谐振子相干态的波函数首先选取自然单位，三维谐振子的升降算符a+和a表示为， ， (3.1)由(2.7)式三维相干态可表示为 (3.2)那么在坐标表象中，有 (3.3)其中， (3.4)将(3.4)代入(3.3)得， (3.5)利用公式，可得 (3.6)同理可得， (3.7)4.谐振子相干态的Wigner函数下面我们利用Wigner函数的定义式计算三维谐振子相干态的Wigner函数。将(3.6)、(3.7)代入(1.2)中得相应Wigner函数为进一步计算，有 (4.1)利用积分公式，得到 (4.2)此式即为三维谐振子相干态的Wigner函数的表达式。5. 量子体系相干态的Wigner函数的应用 相干态本身是无穷多个光子数本征态的一种特殊的相干叠加，易于展现光子之间的合作行为，在20世纪60年代，相干态的概念被广泛应用于量子光学领域。由于量子态的演化用概率分布来描述，而具有准概率分布的Wigner函数包含了量子态在相空间中演化过程的全部信息。因此，对Wigner函数进行测量即可获得量子态在演化过程中的信息和性质。故对Wigner函数的重构与测量对研究量子态的演化过程有重要的意义。在重构量子态的Wigner函数方面，人们已经做了大量的工作，一些典型的量子态（如相干态、奇偶相干态、真空态、Fock态以及压缩态等）的Wigner函数先后得到重构。在这些量子态之外，人们还利用各种方法来构造新的量子态。最近，有人用Bose湮没算符的逆算符作用到奇偶相干态上得到新的量子态分别为17： （5.1） （5.2）（5.1）和（5.2）分别称为增光子的奇偶相干态。类似地，用Bose产生算符的逆算符作用到奇偶相干态上得到减光子的奇偶相干态为： （5.3） （5.4）下面选择在Fock态表象下Wigner函数的定义，来重构量子体系相干态的Wigner函数。Wigner函数可表示为： （5.5）其中，为连带拉盖尔多项式。于是，（5.1）（5.2）（5.3）（5.4）四式描述的量子态，和的Wigner函数为： （5.6） （5.7） （5.8） （5.9）上面这四个式子即为增、减光子奇偶相干态的Wigner函数的表达式。结果表明：增光子奇偶相干态总呈现非经经典特征，而减光子奇偶相干态分别仅在k为偶数和奇数时呈现出非经典特征。6.结论Wigner函数作为相空间中的一个准概率分布函数，也是密度矩阵的一种特殊的表达形式，它为量子态的测量提供了一个方便的理论形式。在这篇文章中，我们在介绍了一维谐振子的相干态的表示形式，随后得出三维谐振子相干态的表达形式，并将相干态的表达式代入定态下的Wigner函数表达式中，得出三维谐振子相干态下的Wigner函数表达式。最后，介绍了增、减光子奇偶相干态的Wigner函数及其所具有的特性。对Wigner函数的重构仍可应用在许多领域，这有待进一步的研究。参 考 文 献1 Wigner E . 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