高考数学一轮复习 第五章 平面向量与解三角形 5.2 平面向量的数量积及其应用课件.ppt

5 2平面向量的数量积及其应用 高考数学 考点一平面向量的数量积1 向量的数量积的定义 1 向量a与b的夹角已知两个非零向量a和b 过o点作 a b 则 aob 0 180 叫做向量a与b的夹角 当 90 时 a与b垂直 记作a b 当 0 时 a与b同向 当 180 时 a与b反向 2 a与b的数量积已知两个非零向量a和b 它们的夹角为 则把 a b cos 叫做a和b的数量积 或内积 记作a b a b cos 知识清单 3 规定 0 a 0 4 a b的几何意义a 一个向量在另一个向量方向上的投影设 是非零向量a与b的夹角 则 a cos 叫做a在b的方向上的投影 b cos 叫做b在a的方向上的投影 b在a的方向上的投影是一个实数 而不是向量 当0 90 时 它是正值 当90 180 时 它是负值 当 90 时 它是0 b a b等于a的长度 a 与b在a的方向上的投影 b cos 的乘积 2 向量的数量积的性质设a b都是非零向量 e是与b方向相同的单位向量 是a与e的夹角 则 1 e a a e a cos 2 a b a b 0 3 当a与b同向时 a b a b 当a与b反向时 a b a b 特别地 a a a 2 4 亦为a b的夹角 且cos 5 a b a b 3 向量的数量积的运算律 1 a b b a 2 a b a b a b r 3 a b c a c b c 1 若a x1 y1 b x2 y2 则a b x1x2 y1y2 2 若a x y 则a a a2 a 2 x2 y2 a 3 若a x1 y1 b x2 y2 则 这就是平面内两点间的距离公式 4 若a x1 y1 b x2 y2 则a b x1x2 y1y2 0 5 向量中的重要不等式a x1 y1 b x2 y2 则 a b a b a b x1x2 y1y2 4 平面向量的数量积的坐标表示 考点二向量的综合应用1 向量的坐标表示与运算可以大大简化向量数量积的运算 由于有关长度 角度和垂直的问题可以利用向量的数量积来解决 因此我们可以利用表示向量的直角坐标求出向量的长度 平面内两点间的距离 两个向量的夹角 判断两向量是否垂直 2 用向量法证明几何问题的基本思想 将问题中有关几何量表示为向量 然后根据图形的性质和特点 应用向量的运算法则 推出所要求证的结论 要注意挖掘题目中 特别是几何图形中的隐含条件 3 证明直线平行 垂直 线段相等等问题的基本方法 1 要证ab cd 可转化为证明 或 2 要证ab cd 只要证存在一实数 0 使等式 成立即可 3 要证ab cd 只需证 0 平面向量数量积 向量长度与夹角的解题策略1 求平面向量夹角的方法 1 向量是坐标形式时 若a x1 y1 b x2 y2 则cos 其中 为向量a b的夹角 0 2 向量不是坐标形式时 cos 其中 为向量a b的夹角 0 2 利用向量数量积求长度问题是数量积的重要应用 此类问题的处理方法为 1 a 2 a b 2 a b 2 a2 2a b b2 3 若a x y 则 a 方法技巧 例1 2017浙江镇海中学模拟卷三 13 已知向量a b满足 a b 1且 a 2 b 则a b的最小值为 此时a与b的夹角是 解题导引设 b x 把a b表示成关于x的函数 利用余弦函数的有界性得x的取值范围 得结论 解析设 b x 向量a与b的夹角为 则有a b 2x2cos 由1 a b 2 4x2 x2 2a b 得a b 从而有 2x2cos 即cos 则 1 1 解得 x2 1 从而a b 故a b的最小值为 此时cos 1 又 0 所以 答案 平面向量应用的解题策略1 平面几何中三角形的四 心 即三角形的内心 重心 垂心 外心 在引入向量这个工具后 三角形abc 内角a b c所对的边分别为a b c 的四 心 的向量表示为 1 o为内心 a b c 0 2 o为重心 0 3 o为垂心 4 o为外心 2 向量在平面几何中的应用向量集数与形于一身 既有代数的抽象性又有几何的直观性 因而向量是研究几何问题的一个有力工具 向量在几何中的应用 证明平行 证明 垂直 求夹角 求线段长度 例2已知o是 abc的外心 有ab 6 ac 10 若 x y 且2x 10y 5 则cos bac 解题导引导引一 利用外心的性质得到关于x y和cos bac的等式 分x 0和x 0讨论 得结论导引二 将向量等式 x y进行变形 当x 0时 利用三点共线得结论 当x 0时 由几何性质得结论 解析解法一 设ac的中点为d 则有 故 2 50 x y x y 2 60 x cos bac 100y 50 即有6x cos bac 10y 5 故有6x cos bac 2x 当x 0时 解得cos bac 当x 0时 则y 从而点o为ac的中点 此时 abc是以角b为直角的三角形 得cos bac