高考数学二轮复习 第二部分 高考22题各个击破 专题二 函数与导数 2.4.2 导数与不等式及参数范围课件 文.ppt

2 4 2导数与不等式及参数范围 2 求参数的取值范围 多维探究 解题策略一构造函数法角度一从条件关系式中构造函数 例1已知函数f x x 1 lnx a x 1 1 当a 4时 求曲线y f x 在 1 f 1 处的切线方程 2 若当x 1 时 f x 0 求a的取值范围 难点突破一 直接构造函数 求f x 0 x 1 a的范围 因f 1 0 只需f x 在 1 单调递增 f x 0 x 1 f x 在 1 单调递增 3 解 1 f x 的定义域为 0 当a 4时 f x x 1 lnx 4 x 1 f x lnx 3 f 1 2 f 1 0 曲线y f x 在 1 f 1 处的切线方程为2x y 2 0 4 当a 2 x 1 时 x2 2 1 a x 1 x2 2x 1 0 故g x 0 g x 在 1 单调递增 因此g x 0 当a 2时 令g x 0得 由x2 1和x1x2 1得x1 1 故当x 1 x2 时 g x 0 g x 在 1 x2 单调递减 因此g x 0 综上 a的取值范围是 2 5 解题心得用导数解决满足函数不等式条件的参数范围问题 一般都需要构造函数 然后对构造的函数求导 一般导函数中都含有参数 通过对参数讨论确定导函数的正负 由导函数的正负确定构造函数的单调性 再由单调性确定是否满足函数不等式 由此求出参数范围 6 对点训练1 2017辽宁大连一模 文20 已知函数f x ax lnx 1 过原点o作函数f x 图象的切线 求切点的横坐标 2 对 x 1 不等式f x a 2x x2 恒成立 求实数a的取值范围 解 1 设切点为m x0 f x0 直线的切线方程为y f x0 k x x0 又切线过原点o 所以 ax0 lnx0 ax0 1 由lnx0 1 解得x0 e 所以切点的横坐标为e 7 2 不等式ax lnx a 2x x2 对 x 1 恒成立 等价于a x2 x lnx对 x 1 恒成立 设y1 a x2 x y2 lnx 由于x 1 且当a 0时y1 y2 故a 0 设g x ax2 ax lnx 当0 a 1时 g 3 6a ln3 0不恒成立 当a 1 x 1时 g x 0恒成立 综上所述a 1 8 9 由f x 0 得x0 所以f x 的单调增区间为 0 单调减区间为 0 f x max f 0 1 当x 时 y 0 当x 时 y 所以m的取值范围是 0 1 10 2 证明由 1 知 x1 1 0 要证x2 x1 0 只需证f x2 f x1 因为f x1 f x2 m 所以只需证f x1 f x1 令h x x 1 e2x x 1 则h x 2x 1 e2x 1 因为 h x 4xe2xh 0 0 所以h x 在 1 0 上单调递增 所以h x 0 11 解题心得在面对陌生的已知条件一时没有解题思路时 不妨对已知条件进行等价转化 在转化的过程中把问题化归为熟悉的问题或者熟悉的题型 从而得到解决 12 对点训练2 2017贵州贵阳一模 文21 设f x xex g x x2 x 1 令f x f x g x 求f x 的最小值 2 若任意x1 x2 1 且x1 x2有m f x1 f x2 g x1 g x2 恒成立 求实数m的取值范围 解 1 f x f x g x xex x2 x f x x 1 ex 1 令f x 0 解得x 1 令f x 0 解得x 1 故f x 在 1 递减 在 1 递增 13 2 若任意x1 x2 1 且x1 x2有m f x1 f x2 g x1 g x2 恒成立 则任意x1 x2 1 且x1 x2有mf x1 g x1 mf x2 g x2 恒成立 令h x mf x g x mxex x2 x x 1 即只需h x 在 1 递增即可 故h x x 1 mex 1 0在 1 恒成立 14 解题策略二分离参数法 15 当00 当x 1时 f x 0 当x 1时 f x 0 所以函数f x 在 0 1 内单调递增 在 1 内单调递减 所以函数f x 在x 1处取得极大值 16 于是h x 在 1 内递增 则h x h 1 0 则g x 0 于是g x 在 1 内递增 g x g 1 2 则k的取值范围是k 2 解题心得有些函数与导数的综合问题即使构造函数正确 也存在分类讨论相当复杂的情形 难以继续作答 可以利用分离参数法简化构造函数 使得问题简单求解 若求导后不易得到极值点 可二次求导 还不行时 就使用参数讨论法 即以参数为分类标准 看是否符合题意 当最值所在点处函数值是 型时 可使用洛必达法则 可求极限值 17 对点训练3 2017山西第四次五校联考 文21 已知函数 1 若曲线y f x 在点 1 f 1 处的切线斜率为10 求函数f x 的最大值 f 1 1 k 10 k 9 令f x 0 得0e10 故函数f x 在 0 e10 内单调递增 在 e10 内单调递减 18 设h x x3 2x2 x 1 则h x 3x2 4x 1 0 g x 0 g x 在 1 内单调递增 则f x x e2 2 ex 设g x f x x 1 g x 1 ex0 19 当x 2时 g x f x 0 f x 在 1 2 内递增 在 2 内递减 f x max f 2 e2 9 k e2 9 20 证明不等式 多维探究 解题策略构造函数法角度一从条件关系式中构造函数 例4设函数f x lnx x 1 1 讨论f x 的单调性 2 证明当x 1 时 11 证明当x 0 1 时 1 c 1 x cx 难点突破 作差构造 证明当x 0 1 时 1 c 1 x cx 设g x 1 c 1 x cx 证g x 0 通过对g x 求导判断g x 的单调性 再由g x 的单调性和g x 的几个特殊值证出g x 0 21 1 解由题设 f x 的定义域为 0 f x 1 令f x 0解得x 1 当00 f x 单调递增 当x 1时 f x 0 f x 单调递减 2 证明由 1 知f x 在x 1处取得最大值 最大值为f 1 0 所以当x 1时 lnx x 1 22 3 证明由题设c 1 设g x 1 c 1 x cx 则g x c 1 cxlnc 当x0 g x 单调递增 当x x0时 g x 0 g x 单调递减 又g 0 g 1 0 故当00 所以当x 0 1 时 1 c 1 x cx 23 解题心得1 欲证函数不等式f x g x x a 只需证明f x g x 0 x a 设h x f x g x 即证h x 0 若h a 0 h x h a x a 接下来往往用导数证得函数h x 是增函数即可 2 欲证函数不等式f x g x x i i是区间 只需证明f x g x 0 x i 设h x f x g x x i 即证h x 0 也即证h x min 0 x i 若h x min不存在 则须求函数h x 的下确界 而这用导数往往容易解决 3 证明f x g x x i i是区间 只需证明f x min g x max 证明f x g x x i i是区间 只需证明f x min g x max 或证明f x min g x max且两个最值点不相等 24 对点训练4已知f x ex ax2 曲线y f x 在 1 f 1 处的切线方程为y bx 1 1 求a b的值 2 求f x 在 0 1 上的最大值 3 证明当x 0时 ex 1 e x 1 xlnx 0 1 解f x ex 2ax 由题设得f 1 e 2a b f 1 e a b 1 解得a 1 b e 2 2 解由 1 知f x ex x2 f x ex 2x 设h x ex 2x h x ex 2 f x 在 ln2 内单调递减 在 ln2 内单调递增 f x f ln2 2 2ln2 0 f x 在 0 1 上单调递增 f x max f 1 e 1 25 3 证明 f 0 1 由 2 知 f x 过点 1 e 1 且y f x 在x 1处的切线方程为y e 2 x 1 故可猜测当x 0 x 1时 f x 的图象恒在切线y e 2 x 1的上方 下证 当x 0时 f x e 2 x 1 设g x f x e 2 x 1 ex x2 e 2 x 1 则g x ex 2x e 2 设h x ex 2x e 2 h x ex 2 所以g x 在 0 ln2 内单调递减 在 ln2 内单调递增 又g 0 3 e 0 g ln2 2 2ln2 e 2 4 2ln2 e0 当x x0 1 时 g x 0 故g x 在 0 x0 内单调递增 在 x0 1 内单调递减 在 1 内单调递增 又g 0 g 1 0 g x ex x2 e 2 x 1 0 当且仅当x 1时取等号 26 易证不等式ex x 1 故x ln x 1 x 1 lnx 当且仅当x 1时取 所以ex 2 e x 1 xlnx x 即ex 1 e x 1 xlnx 0成立 当x 1时 等号成立 27 角度二从条件中分离指 对函数分别构造例5设函数f x aexlnx 曲线y f x 在点 1 f 1 处的切线方程为y e x 1 2 1 求a b 2 证明f x 1 28 由题意可得f 1 2 f 1 e 故a 1 b 2 所以当x 0 1 时 h x 0 当x 1 时 h x 0 29 故h x 在 0 1 单调递增 在 1 单调递减 从而h x 在 0 的最大值为h 1 综上 当x 0时 g x h x 即f x 1 解题心得证明不等式f x g x 成立 可以构造函数h x f x g x 通过证明函数h x 的最小值大于等于零即可 可是有时候利用导数求函数h x 最小值不易 可以通过