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第七章不等式 7 4基本不等式及不等式的应用 高考数学 浙江专用 考点一基本不等式1 2013山东 12 5分 设正实数x y z满足x2 3xy 4y2 z 0 则当取得最大值时 的最大值为 a 0b 1c d 3 五年高考 答案b由x2 3xy 4y2 z 0 得z x2 3xy 4y2 又x y z为正实数 4 当且仅当x 2y时取等号 此时z 2y2 1 当 1 即y 1时 上式有最大值1 故选b 评析本题考查基本不等式的应用 二次函数求最值等知识 考查学生的运算能力 2 2017山东文 12 5分 若直线 1 a 0 b 0 过点 1 2 则2a b的最小值为 答案8 解析本题考查基本不等式及其应用 由题设可得 1 a 0 b 0 2a b 2a b 2 2 4 2 8 故2a b的最小值为8 3 2017天津文 13 5分 若a b r ab 0 则的最小值为 答案4 解析本题考查基本不等式的应用 a4 4b4 2a2 2b2 4a2b2 当且仅当a2 2b2时 成立 4ab 由于ab 0 4ab 2 4当且仅当4ab 时 成立 故当且仅当时 的最小值为4 规律方法利用基本不等式求最值 若需多次应用基本不等式 则要注意等号成立的条件必须一致 4 2014浙江文 16 4分 已知实数a b c满足a b c 0 a2 b2 c2 1 则a的最大值是 答案 解析 b2 c2 2bc 即2 b2 c2 b2 c2 2bc b c 2 b2 c2 由a b c 0 得b c a 由a2 b2 c2 1 得1 a2 b2 c2 a2 a 故a的最大值为 5 2016江苏 14 5分 在锐角三角形abc中 若sina 2sinbsinc 则tanatanbtanc的最小值是 答案8 解析 sina 2sinbsinc sin b c 2sinbsinc 即sinbcosc cosbsinc 2sinbsinc 亦即tanb tanc 2tanbtanc tana tan b c tan b c 又 abc为锐角三角形 tana 0 tanb tanc 0 tanbtanc 1 tanatanbtanc tanb tanc 令tanbtanc 1 t 则t 0 tanatanbtanc 2 2 2 2 8 当且仅当t 即tanbtanc 2时 取 tanatanbtanc的最小值为8 6 2013天津 14 5分 设a b 2 b 0 则当a 时 取得最小值 答案8 解析 a b 2 2 1 当且仅当 且a 0 即b 2a a 2时 取得最小值 评析本题主要考查均值不等式及其应用 着重考查运算变形能力 考点二不等式的综合应用1 2017天津理 8 5分 已知函数f x 设a r 若关于x的不等式f x 在r上恒成立 则a的取值范围是 a b c 2 2 d 答案a本题考查分段函数的应用及不等式恒成立问题 当x 1时 关于x的不等式f x 在r上恒成立等价于 x2 x 3 a x2 x 3在r上恒成立 即有 x2 x 3 a x2 x 3在r上恒成立 由y x2 x 3图象的对称轴为x 可得在x 处取得最大值 由y x2 x 3图象的对称轴为x 可得在x 处取得最小值 则 a 当x 1时 关于x的不等式f x 在r上恒成立等价于 a x 在r上恒成立 即有 a 在r上恒成立 由于x 1 所以 2 2 当且仅当x 时取得最大值 2 因为x 1 所以x 2 2 当且仅当x 2时取得最小值2 则 2 a 2 由 可得 a 2 故选a 思路分析讨论当x 1时 运用绝对值不等式的解法和分离参数 可得 x2 x 3 a x2 x 3 再由二次函数的最值求法 可得a的取值范围 讨论当x 1时 同样可得 a 再利用基本不等式可得最值 从而可得a的取值范围 求交集即可得到所求范围 2 2014浙江 10 5分 设函数f1 x x2 f2 x 2 x x2 f3 x sin2 x ai i 0 1 2 99 记ik fk a1 fk a0 fk a2 fk a1 fk a99 fk a98 k 1 2 3 则 a i1 i2 i3b i2 i1 i3c i1 i3 i2d i3 i2 i1 答案bai 0 1 且a0f3 a24 f3 a49 sin f3 a50 sin 即有f3 a49 f3 a50 f3 a74 sin f3 a75 sin sin f3 a74 故有f3 a0 f3 a1 f3 a24 f3 a25 f3 a25 f3 a26 f3 a49 f3 a50 f3 a50 f3 a75 f3 a99 从而i3 f3 a1 f3 a0 f3 a25 f3 a24 f3 a25 f3 a26 f3 a49 f3 a50 f3 a51 f3 a50 f3 a74 f3 a73 f3 a74 f3 a75 f3 a98 f3 a99 f3 a25 f3 a0 f3 a25 f3 a50 f3 a74 f3 a50 f3 a74 f3 a99 2f3 a25 2f3 a50 2f3 a74 f3 a0 f3 a99 sin sin sin 而sin sin sin 1 所以i2 i1 i3 3 2013课标全国 11 5分 已知函数f x 若 f x ax 则a的取值范围是 a 0 b 1 c 2 1 d 2 0 答案d由题意作出y f x 的图象 如图 由题意结合图象知 当a 0时 y ax与y ln x 1 在x 0时必有交点 所以a 0 当x 0时 f x ax显然成立 当x 0时 f x x2 2x ax 则a x 2恒成立 又x 2 2 a 2 综上 2 a 0 故选d 评析本题考查了函数的综合应用 考查了数形结合的能力 借助基本初等函数的图象缩小参数范围是解题关键 4 2017江苏 10 5分 某公司一年购买某种货物600吨 每次购买x吨 运费为6万元 次 一年的总存储费用为4x万元 要使一年的总运费与总存储费用之和最小 则x的值是 答案30 解析本题考查基本不等式及其应用 设总费用为y万元 则y 6 4x 4 240 当且仅当x 即x 30时 等号成立 5 2013浙江文 16 4分 设a b r 若x 0时恒有0 x4 x3 ax b x2 1 2 则ab 答案 1 解析令x 0 有0 b 1 令x 1 有a b 0 b a x4 x3 ax b x4 x3 b x 1 x 1 x3 b 由 x 1 x3 b 0对x 0恒成立知b 1 否则b 0 1 当x 1 时 有x 10 从而 x 1 x3 b 0 矛盾 b 1 故a 1 即ab 1 6 2014重庆 16 5分 若不等式 2x 1 x 2 a2 a 2对任意实数x恒成立 则实数a的取值范围是 答案 解析令f x 2x 1 x 2 易求得f x min 依题意得a2 a 2 1 a 7 2016浙江文 20 15分 设函数f x x3 x 0 1 证明 1 f x 1 x x2 2 f x 证明 1 因为1 x x2 x3 由于x 0 1 有 即1 x x2 x3 所以f x 1 x x2 2 由0 x 1得x3 x 故f x x3 x x 所以f x 由 1 得f x 1 x x2 又因为f 所以f x 综上 f x 疑难突破 1 将证明f x 1 x x2转化为证明1 x x2 x3 成立 而左边 右边 从而问题得证 2 运用放缩思想 由0 x 1 x3 x 从而f x x3 x 而x x 由 1 及f 得f x 从而问题得证 8 2015课标 24 10分 设a b c d均为正数 且a b c d 证明 1 若ab cd 则 2 是 a b c d 的充要条件 证明 1 因为 2 a b 2 2 c d 2 由题设a b c d ab cd得 2 2 因此 2 i 若 a b cd 由 1 得 ii 若 则 2 2 即a b 2 c d 2 因为a b c d 所以ab cd 于是 a b 2 a b 2 4ab 是 a b c d 的充要条件 9 2015湖南 16 3 6分 设a 0 b 0 且a b 证明 1 a b 2 2 a2 a 2与b2 b 2不可能同时成立 证明由a b a 0 b 0 得ab 1 1 由基本不等式及ab 1 有a b 2 2 即a b 2 2 假设a2 a0得0 a 1 同理 0 b 1 从而ab 1 这与ab 1矛盾 故a2 a 2与b2 b 2不可能同时成立 评析本题考查基本不等式的应用 一元二次不等式的解法 反证法等知识 难度不大 以下为教师用书 10 2013湖南 20 13分 在平面直角坐标系xoy中 将从点m出发沿纵 横方向到达点n的任一路径称为m到n的一条 l路径 如图所示的路径mm1m2m3n与路径mn1n都是m到n的 l路径 某地有三个新建的居民区 分别位于平面xoy内三点a 3 20 b 10 0 c 14 0 处 现计划在x轴上方区域 包含x轴 内的某一点p处修建一个文化中心 1 写出点p到居民区a的 l路径 长度最小值的表达式 不要求证明 2 若以原点o为圆心 半径为1的圆的内部是保护区 l路径 不能进入保护区 请确定点p的位置 使其到三个居民区的 l路径 长度之和最小 解析设点p的坐标为 x y 1 点p到居民区a的 l路径 长度最小值为 x 3 y 20 x r y 0 2 由题意知 点p到三个居民区的 l路径 长度之和的最小值为点p分别到三个居民区的 l路径 长度最小值之和 记为d 的最小值 当y 1时 d x 10 x 14 x 3 2 y y 20 因为d1 x x 10 x 14 x 3 x 10 x 14 当且仅当x 3时 不等式 中的等号成立 又因为 x 10 x 14 24 当且仅当x 10 14 时 不等式 中的等号成立 所以d1 x 24 当且仅当x 3时 等号成立 d2 y 2y y 20 21 当且仅当y 1时 等号成立 故点p的坐标为 3 1 时 p到三个居民区的 l路径 长度之和最小 且最小值为45 当0 y 1时 由于 l路径 不能进入保护区 所以d x 10 x 14 x 3 1 1 y y y 20 此时 d1 x x 10 x 14 x 3 d2 y 1 1 y y y 20 22 y 21 由 知 d1 x 24 故d1 x d2 y 45 当且仅当x 3 y 1时等号成立 综上所述 在点p 3 1 处修建文化中心 可使该文化中心到三个居民区的 l路径 长度之和最小 1 2017浙江 超级全能生 3月联考 16 已知1 x2 4y2 2xy x 0 y 0 则x 2y的取值范围为 三年模拟 一 填空题 a组2015 2017年高考模拟 基础题组 答案 2 1 解析由1 x2 4y2 2xy知1 6xy x 2y 2 所以 x 2y 2 1 6xy 1 3 所以 x 2y 2 4 故 2 x 2y 2 又x1 故x 2y 1 因此 2 x 2y 1 2 2017浙江镇海中学模拟卷三 15 已知正实数a b c满足a a b c bc 则的最大值是 答案 解析由基本不等式知 a a b c bc 即a2 b c a 0 即 0 所以 所以0 因此的最大值是 3 2017浙江绍兴质量调测 3月 16 已知正实数x y满足xy 2x 3y 42 则xy 5x 4y的最小值为 答案55 解析由题知 xy 5x 4y xy 2x 3y 3x y 42 3x y 而 x 3 y 2 48 因此144 3x 9 y 2 因此3x y 13 当且仅当3x 9 y 2 即时 取等号 故xy 5x 4y 42 3x y 55 则xy 5x 4y的最小值为55 一题多解因为正实数x y满足xy 2x 3y 42 所以y 其中0 x 21 则xy 5x 4y 3x 42 3 31 3 2 31 55 当且仅当即时 取等号 所以xy 5x 4y的最小值为55 4 2017浙江宁波期末 16 若正实数a b满足 2a b 2 1 6ab 则的最大值为 答案 解析 2a b 2 1 6ab 1 3 2a b 2 4 当且仅当2a b 1时 等号成立 又a 0 b 0 0 2a b 2 故的最大值为 5 2017浙江模拟训练冲刺卷五 16 已知4y x 0 且 m恒成立 则m的最小值是 答案2 解析由题意知 当4y x 0时 m 恒成立 2 当且仅当x 2y时等号成立 m 2 故m的最小值为2 6 2016浙江名校协作体测试 13 若存在正实数y 使得 则实数x的最大值为 答案 解析将条件变形为 4y 5x 易知 5x 4y 4 当且仅当y 2时 等号成立 所以 0 解得x 1 故x的最大值为 7 2016浙江镇海中学测试 五 13 已知正实数a b满足log a 1 b 1 则a b 1 3b的最小值是 答案2 解析由题意知b 所以a b 1 3b a a 1 2 当且仅当a 1 即a 1时 取等号 故a b 1 3b的最小值为2 8 2015浙江名校 衢州二中 交流卷二 15 设a b为实数 函数f x ax b 若对任意x 0 1 f x 1 则ab的最大值为 答案 解析由得a f 1 f 0 b f 0 ab f 0 f 1 f 0 f 1 2 f 1 2 当且仅当f 1 2f 0 1时取等号 即当a b 时 ab取到最大值 1 2017浙江镇海中学阶段测试 一 7 已知x2 4xy 3 0 其中x 0 y r 则x y的最小值是 a b 3c 1d 2 一 选择题 b组2015 2017年高考模拟 综合题组 答案a由x2 4xy 3 0 得y 即有x y x x 0 x 2 即x y 当且仅当x 即x 1 y 时 x y取得最小值 故选a 2 2016浙江镇海中学测试 三 4 已知2a b 2ab 3 a 0 b 0 则2a b的 a 最大值为2b 最大值为3 c 最小值为2d 最小值为3 答案c a 0 b 0 3 2a b 2ab 即 2a b 2 4 2a b 12 0 2a b 2 故选c 3 2017浙江五校联考 5月 17 设实数x 0 y 0 且x y k 则使不等式 恒成立的k的最大值为 二 填空题 答案2 解析解法一 设x m t y m t 其中m 0 t m 则原不等式化为 所以t2 恒成立 由 0 解得0 m2 2 所以m2的最大值为2 所以k的最大值为2 解法二 由基本不等式 知k x y 2 所以xy 当且仅当x y 时 等号成立 xy 2 xy 2 因此有 故k4 16k2 16 0 解得k2 4 8 因此k的最小值为2 4 2017浙江镇海中学模拟卷四 16 已知正数x y满足 1 则 的最大值是 答案 解析设u v 则问题转化为 已知正数u v满足u 2v 1 求 的最大值 3 3 u 1 2 v 1 3 3 5 4 当且仅当 即u v 时 取等号 5 2017浙江宁波二模 5月 17 若6x2 4y2 6xy 1 x y r 则x2 y2的最大值为 答案 解析解法一 设m x y n x y 则问题转化为 已知4m2 mn n2 1 求mn的最大值 由基本不等式 知1 mn 4m2 n2 mn 4 mn 所以 mn 当且仅当n 2m 即x 3y时 取到最大值 解法二 齐次化处理 显然要使得目标函数取到最大值 x 0 令z x2 y2 设t 则z 则 4z 1 t2 6zt 6z 1 0对t r有解 当z 时 t 当z 时 36z2 4 4z 1 6z 1 0 解得 z 当t 时取到最大值 解法三

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