陕西省长安一中 高新一中 交大附中 师大附中 西安中学（五校）高三数学第三次模拟考试试题 理（含解析）.doc

陕西省长安一中 高新一中 交大附中 师大附中 西安中学（五校）2013届高三数学第三次模拟考试试题 理（含解析）第卷 （选择题 共50分）一、选择题(本大题共10题,每小题5分,共50分)1.若集合,则【 】.a. b. c. d.【答案】a【解析】集合,所以.2.若复数满足:,则复数的共轭复数【 】.a. b. c. d.【答案】b【解析】因为，所以设，则，所以，所以复数的共轭复数。3.若三棱锥的三视图如右图所示,则该三棱锥的体积为【 】. a. b. c. d.【答案】d【解析】由三视图知：三棱锥的底面为直角三角形，两直角边分别为5和4，三棱锥的高为4，所以三棱锥的体积为。4.若的三个内角满足,则【 】. a.一定是锐角三角形 b.一定是直角三角形 c.一定是钝角三角形 d.可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形【答案】c【解析】因为，所以，不妨设，由余弦定理得：，所以角c为钝角，所以一定是钝角三角形。i5?否开始s=0,i=1t=3i1s=s+ti= i+1是输出s结束5.函数是【 】. a.最小正周期为的奇函数 b.最小正周期为的奇函数 c.最小正周期为的偶函数 d.最小正周期为的偶函数【答案】c【解析】易知函数的定义域为r，又，所以f(x)是偶函数，又函数的周期为，所以函数是最小正周期为的偶函数。6.按右面的程序框图运行后,输出的应为【 】. a. b. c. d.【答案】c【解析】第一次循环：，不满足条件，再次循环；第二次循环：，不满足条件，再次循环；第三次循环：，不满足条件，再次循环；第四次循环：，不满足条件，再次循环；第五次循环：，满足条件，输出s的值为40。7.若数列满足,且,则使的值为【 】. a. b. c. d.【答案】d【解析】因为，所以，所以数列是首项为15，公差为的等差数列，所以，由，所以使的值为23.8.“”是“直线:与:平行”的【 】. a.充分不必要条件 b.必要不充分条件 c.充分必要条件 d.既不充分也不必要条件【答案】a【解析】由直线:与:平行，得，所以“”是“直线:与:平行”的充分不必要条件。9.设,分别为双曲线的左,右焦点.若在双曲线右支上存在一点,满足,且到直线的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的离心率为【 】.a. b. c. d.【答案】b【解析】易知=2c，所以由双曲线的定义知：，因为到直线的距离等于双曲线的实轴长,所以，即，两边同除以，得。10.一个赛跑机器人有如下特性：(1)步长可以人为地设置成米,米,米,米或米；(2)发令后,机器人第一步立刻迈出设置的步长,且每一步的行走过程都在瞬时完成；(3)当设置的步长为米时,机器人每相邻两个迈步动作恰需间隔秒则这个机器人跑米(允许超出米)所需的最少时间是【 】.a.秒 b.秒 c.秒 d.秒【答案】a【解析】易知：当设置的步长为米时，所需时间最少，此时迈步动作间隔27次，所以所需时间为秒。第卷 （共100分）二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分)11.在的展开式中,常数项为 .【答案】【解析】 ，由，得r=4，所以，所以常数项为15.12.若向量,则的最大值为 . 【答案】【解析】 因为向量,所以，所以 ，所以的最大值为16，因此的最大值为4.13.若实数满足,且,则的取值范围是_. 【答案】【解析】画出条件,且的可行域,由可行域知的取值范围是。14.若曲线在点处的切线与两坐标轴围成三角形的面积为,则_. 【答案】【解析】由题意知，因为，所以，所以，所以切线方程为，即，令x=0得；令y=0得，因为切线与两坐标轴围成三角形的面积为,，所以。15.请考生从以下三个小题中任选一个作答,若多选,则按所选的第一题计分.a.(不等式选讲)若实数满足,则的最大值为_.【答案】【解析】由柯西不等式得： ，所以，所以的最大值为。b.(几何证明选讲)以的直角边为直径的圆交边于点,点在上,且与圆相切.若,则_.【答案】【解析】连接oe，因为，所以，又因为,与圆相切,所以o、b、c、e四点共线，所以。c.(坐标系与参数方程)在极坐标系中,曲线与直线的两个交点之间的距离为_.【答案】【解析】把曲线方程化为直角坐标方程为：，把直线方程转化为直角坐标方程为，圆心到直线的距离为：，所以弦长为，即两个交点之间的距离为。三、解答题(本大题共6小题,共75分) 16.(本题12分)某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数. ； ； ； ； . (1)从上述五个式子中选择一个,求出常数； (2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为一个三角恒等式,并证明你的结论.17.(本题12分)如图,在长方体中,点在棱上. (1)求异面直线与所成的角； (2)若二面角的大小为,求点到面的距离.18.(本题12分) 某校设计了一个实验考查方案:考生从道备选题中一次性随机抽取道题,按照题目要求独立完成全部实验操作.规定:至少正确完成其中道题的便可通过.已知道备选题中考生甲有道题能正确完成,道题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是,且每题正确完成与否互不影响. (1)求甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列,并计算其数学期望； (2)请分析比较甲、乙两考生的实验操作能力.19.(本题12分)在数列中,且对任意的都有. (1)求证:是等比数列； (2)若对任意的都有,求实数的取值范围.20.(本题13分) 已知椭圆:的离心率为,过右焦点且斜率为的直线交椭圆于两点,为弦的中点,为坐标原点. (1)求直线的斜率； (2)求证:对于椭圆上的任意一点,都存在,使得成立.21.(本题14分)设函数有两个极值点,且. (1)求实数的取值范围； (2)讨论函数的单调性； (3)若对任意的,都有成立,求实数的取值范围.高2013届第三次五校联考数学(理)参考答案一、选择题(本大题共10题,每小题5分,共50分)题号12345678910答案abdcccdaba二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分)11. 12. 13. 14. 15. a. b. c.三、解答题(本大题共6小题,共75分) 16.(本题12分)某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数. ； ； ； ； . (1)试从上述五个式子中选择一个,求出常数； (2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为一个三角恒等式,并证明你的结论.解:(1)选择式计算:.4分(2)猜想的三角恒等式为:.6分 证明: .12分17.(本题12分)如图,在长方体中,点在棱上. (1)求异面直线与所成的角； (2)若二面角的大小为,求点到平面的距离.解法一:(1)连结.由是正方形知. 平面, 是在平面内的射影.根据三垂线定理得,则异面直线与所成的角为.5分(2)作,垂足为,连结,则. 所以为二面角的平面角,.于是, 易得,所以,又,所以. 设点到平面的距离为,则由于即, 因此有,即,.12分解法二:如图,分别以为轴,轴,轴,建立空间直角坐标系. (1)由,得, 设,又,则. ,则异面直线与所成的角为.5分 (2)为面的法向量,设为面的法向量,则,. 由,得,则,即, 由、,可取,又,所以点到平面的距离.12分18.(本题12分) 某校设计了一个实验考查方案:考生从道备选题中一次性随机抽取道题,按照题目要求独立完成全部实验操作.规定:至少正确完成其中道题的便可通过.已知道备选题中考生甲有道题能正确完成,道题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是,且每题正确完成与否互不影响. (1)求甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列,并计算其数学期望； (2)请分析比较甲、乙两考生的实验操作能力.解:(1)设甲、乙正确完成实验操作的题数分别为,则取值分别为；取值分别为. ,. 考生甲正确完成题数的概率分布列为123 .3分 ,同理:,. 考生乙正确完成题数的概率分布列为:0123 .7分(2), .（或）. . , .10分从做对题数的数学期望考察,两人水平相当；从做对题数的方差考察,甲较稳定；从至少完成道题的概率考察,甲获得通过的可能性大.因此可以判断甲的实验操作能力较强.12分 说明:只根据数学期望与方差得出结论,也给分.19.(本题12分)在数列中,且对任意的都有. (1)求证:是等比数列； (2)若对任意的都有,求实数的取值范围.证:(1)由,得. 又由,得. 因此,是以为首项,以为公比的等比数列.5分 解:(2)由(1)可得,即, 于是所求的问题:“对任意的都有成立”可以等价于问题:“对任意的都有成立”. 若记,则显然是单调递减的,故. 所以,实数的取值范围为.12分20.(本题13分) 已知椭圆:的离心率为,过右焦点且斜率为的直线交椭圆于两点,为弦的中点. (1)求直线(为坐标原点)的斜率； (2)求证:对于椭圆上的任意一点,都存在,使得成立.解:(1)设椭圆的焦距为,因为,所以有,故有. 从而椭圆的方程可化为: 易知右焦点的坐标为(),据题意有所在的直线方程为:. 由,有:. 设,弦的中点,由及韦达定理有: 所以,即为所求. 5分(2)显然与可作为平面向量的一组基底,由平面向量基本定理,对于这一平面内的向量,有且只有一对实数,使得等式成立.设,由(1)中各点的坐标有:,故. 7分又因为点在椭圆上,所以有整理可得: . 由有:.所以 又点在椭圆上,故有 . 将,代入可得:. 11分所以,对于椭圆上的每一个点,总存在一对实数,使等式成立,且.所以存在,使得.也就是:对于椭圆上任意一点 ,总存在,使得等式成立. 13分21.(本题14分)设函数有两个极值点,且. (1)求实数的取值范围； (2)讨论函数的单调性； (3)若对任意的,都有成立,求实数的取值范围.解:(1)由可得.