高考数学一轮复习 第六章 数列 6.2 等差数列课件.ppt

高考数学 江苏省专用 6 2等差数列 1 2016江苏 8 5分 已知 an 是等差数列 sn是其前n项和 若a1 3 s5 10 则a9的值是 a组自主命题 江苏卷题组 五年高考 答案20 解析设等差数列 an 的公差为d 则由题设可得解得从而a9 a1 8d 20 2 2017江苏 19 16分 对于给定的正整数k 若数列 an 满足 an k an k 1 an 1 an 1 an k 1 an k 2kan对任意正整数n n k 总成立 则称数列 an 是 p k 数列 1 证明 等差数列 an 是 p 3 数列 2 若数列 an 既是 p 2 数列 又是 p 3 数列 证明 an 是等差数列 证明本小题主要考查等差数列的定义 通项公式等基础知识 考查代数推理 转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力 1 因为 an 是等差数列 设其公差为d 则an a1 n 1 d 从而 当n 4时 an k an k a1 n k 1 d a1 n k 1 d 2a1 2 n 1 d 2an k 1 2 3 所以an 3 an 2 an 1 an 1 an 2 an 3 6an 因此等差数列 an 是 p 3 数列 2 数列 an 既是 p 2 数列 又是 p 3 数列 因此 当n 3时 an 2 an 1 an 1 an 2 4an 当n 4时 an 3 an 2 an 1 an 1 an 2 an 3 6an 由 知 an 3 an 2 4an 1 an an 1 an 2 an 3 4an 1 an 1 an 将 代入 得an 1 an 1 2an 其中n 4 所以a3 a4 a5 是等差数列 设其公差为d 在 中 取n 4 则a2 a3 a5 a6 4a4 所以a2 a3 d 在 中 取n 3 则a1 a2 a4 a5 4a3 所以a1 a3 2d 所以数列 an 是等差数列 3 2013江苏 19 16分 0 224 设 an 是首项为a 公差为d的等差数列 d 0 sn是其前n项的和 记bn n n 其中c为实数 1 若c 0 且b1 b2 b4成等比数列 证明 snk n2sk k n n 2 若 bn 是等差数列 证明 c 0 证明由题意得 sn na d 1 由c 0 得bn a d 又因为b1 b2 b4成等比数列 所以 b1b4 即 a 化简得d2 2ad 0 因为d 0 所以d 2a 因此 对于所有的m n 有sm m2a 从而对于所有的k n n 有snk nk 2a n2k2a n2sk 2 设数列 bn 的公差是d1 则bn b1 n 1 d1 即 b1 n 1 d1 n n 代入sn的表达式 整理得 对于所有的n n 有n3 n2 cd1n c d1 b1 令a d1 d b b1 d1 a d d c d1 b1 则对于所有的n n 有an3 bn2 cd1n d 在 式中分别取n 1 2 3 4 得a b cd1 8a 4b 2cd1 27a 9b 3cd1 64a 16b 4cd1 从而有由 得a 0 cd1 5b 代入方程 得b 0 从而cd1 0 即d1 d 0 b1 d1 a d 0 cd1 0 若d1 0 则由d1 d 0 得d 0 与题设矛盾 所以d1 0 又因为cd1 0 所以c 0 4 2014江苏 20 16分 0 17 设数列 an 的前n项和为sn 若对任意的正整数n 总存在正整数m 使得sn am 则称 an 是 h数列 1 若数列 an 的前n项和sn 2n n n 证明 an 是 h数列 2 设 an 是等差数列 其首项a1 1 公差d 0 若 an 是 h数列 求d的值 3 证明 对任意的等差数列 an 总存在两个 h数列 bn 和 cn 使得an bn cn n n 成立 解析 1 证明 由已知得 当n 1时 an 1 sn 1 sn 2n 1 2n 2n 于是对任意的正整数n 总存在正整数m n 1 使得sn 2n am 所以 an 是 h数列 2 由已知 得s2 2a1 d 2 d 因为 an 是 h数列 所以存在正整数m 使得s2 am 即2 d 1 m 1 d 于是 m 2 d 1 因为d 0 所以m 2 0 故m 1 从而d 1 当d 1时 an 2 n sn 是小于2的整数 n n 于是对任意的正整数n 总存在正整数m 2 sn 2 使得sn 2 m am 所以 an 是 h数列 因此d的值为 1 3 证明 设等差数列 an 的公差为d 则an a1 n 1 d na1 n 1 d a1 n n 令bn na1 cn n 1 d a1 则an bn cn n n 下证 bn 是 h数列 设 bn 的前n项和为tn 则tn a1 n n 于是对任意的正整数n 总存在正整数m 使得tn bm 所以 bn 是 h数列 同理可证 cn 也是 h数列 所以 对任意的等差数列 an 总存在两个 h数列 bn 和 cn 使得an bn cn n n 考点一等差数列的定义及运算1 2017课标全国 理改编 9 5分 等差数列 an 的首项为1 公差不为0 若a2 a3 a6成等比数列 则 an 前6项的和为 b组统一命题 省 区 市 卷题组 答案 24 解析本题主要考查等差数列的通项公式及前n项和公式 设等差数列 an 的公差为d 依题意得 a2 a6 即 1 2d 2 1 d 1 5d 解得d 2或d 0 舍去 又a1 1 s6 6 1 2 24 2 2017课标全国 理改编 4 5分 记sn为等差数列 an 的前n项和 若a4 a5 24 s6 48 则 an 的公差为 答案4 解析本题考查等差数列基本量的计算与性质的综合应用 等差数列 an 中 s6 48 则a1 a6 16 a2 a5 又a4 a5 24 所以a4 a2 2d 24 16 8 得d 4 方法总结求解此类题时 常用sn 求出a1 an的值 再结合等差数列中 若m n p q n m n p q 则am an ap aq 的性质求解数列中的基本量 3 2017课标全国 理 15 5分 等差数列 an 的前n项和为sn a3 3 s4 10 则 答案 解析本题主要考查等差数列基本量的计算及裂项相消法求和 设公差为d 则 an n 前n项和sn 1 2 n 2 21 2 2 思路分析求出首项a1和公差d 从而求出sn 2 从而运用裂项相消法求和即可 解后反思裂项相消法求和的常见类型 若 an 是等差数列 则 d 0 4 2013课标全国 理改编 7 5分 0 718 设等差数列 an 的前n项和为sn 若sm 1 2 sm 0 sm 1 3 则m 答案5 解析 sm 1 2 sm 0 sm 1 3 am sm sm 1 2 am 1 sm 1 sm 3 公差d am 1 am 1 由sn na1 d na1 得由 得a1 代入 可得m 5 5 2015重庆改编 2 5分 在等差数列 an 中 若a2 4 a4 2 则a6 答案0 解析设数列 an 的公差为d 由a4 a2 2d a2 4 a4 2 得2 4 2d d 1 a6 a4 2d 0 6 2014福建改编 3 5分 等差数列 an 的前n项和为sn 若a1 2 s3 12 则a6等于 答案12 解析 s3 3a2 12 a2 4 a1 2 d a2 a1 4 2 2 a6 a1 5d 12 7 2017课标全国 文 17 12分 记sn为等比数列 an 的前n项和 已知s2 2 s3 6 1 求 an 的通项公式 2 求sn 并判断sn 1 sn sn 2是否成等差数列 e 解析本题考查等差 等比数列 1 设 an 的公比为q 由题设可得解得q 2 a1 2 故 an 的通项公式为an 2 n 2 由 1 可得sn 1 n 由于sn 2 sn 1 1 n 2 2sn 故sn 1 sn sn 2成等差数列 方法总结等差 等比数列的常用公式 1 等差数列 递推关系式 an 1 an d 常用于等差数列的证明 通项公式 an a1 n 1 d 前n项和公式 sn na1 d 2 等比数列 递推关系式 q q 0 常用于等比数列的证明 通项公式 an a1 qn 1 前n项和公式 sn 3 在证明a b c成等差 等比数列时 还可以利用等差中项 b或等比中项 a c b2来证明 8 2016课标全国 17 12分 等差数列 an 中 a3 a4 4 a5 a7 6 1 求 an 的通项公式 2 设bn an 求数列 bn 的前10项和 其中 x 表示不超过x的最大整数 如 0 9 0 2 6 2 解析 1 设数列 an 的公差为d 由题意有2a1 5d 4 a1 5d 3 解得a1 1 d 3分 所以 an 的通项公式为an 5分 2 由 1 知 bn 6分 当n 1 2 3时 1 2 bn 1 当n 4 5时 2 3 bn 2 当n 6 7 8时 3 4 bn 3 当n 9 10时 4 5 bn 4 10分 所以数列 bn 的前10项和为1 3 2 2 3 3 4 2 24 12分 疑难突破充分挖掘 x 的意义 进而将 bn 的表达式类比分段函数给出 从而求出数列 bn 的前10项和 评析本题考查了等差数列 同时对考生的创新能力进行了考查 充分理解 x 的意义是解题的关键 9 2014大纲全国 18 12分 等差数列 an 的前n项和为sn 已知a1 10 a2为整数 且sn s4 1 求 an 的通项公式 2 设bn 求数列 bn 的前n项和tn 解析 1 由a1 10 a2为整数知 等差数列 an 的公差d为整数 又sn s4 故a4 0 a5 0 于是10 3d 0 10 4d 0 解得 d 因此d 3 数列 an 的通项公式为an 13 3n 2 bn 于是tn b1 b2 bn 评析本题考查了等差数列的定义及其前n项和 裂项相消法求数列前n项和 第 1 问的解题关键在于分析 a2为整数 sn s4 所隐含的条件 在第 2 问中 对通项公式bn进行裂项过程中易漏掉系数而导致错解 考点二等差数列的性质1 2015广东 10 5分 在等差数列 an 中 若a3 a4 a5 a6 a7 25 则a2 a8 答案10 解析利用等差数列的性质可得a3 a7 a4 a6 2a5 从而a3 a4 a5 a6 a7 5a5 25 故a5 5 所以a2 a8 2a5 10 2 2014北京 12 5分 若等差数列 an 满足a7 a8 a9 0 a7 a10 0 则当n 时 an 的前n项和最大 答案8 解析根据题意知a7 a8 a9 3a8 0 即a8 0 又a8 a9 a7 a10 0 a9 0 当n 8时 an 的前n项和最大 3 2017北京理 20 13分 设 an 和 bn 是两个等差数列 记cn max b1 a1n b2 a2n bn ann n 1 2 3 其中max x1 x2 xs 表示x1 x2 xs这s个数中最大的数 1 若an n bn 2n 1 求c1 c2 c3的值 并证明 cn 是等差数列 2 证明 或者对任意正数m 存在正整数m 当n m时 m 或者存在正整数m 使得cm cm 1 cm 2 是等差数列 解析本题考查等差数列 不等式 合情推理等知识 考查综合分析 归纳抽象 推理论证能力 1 c1 b1 a1 1 1 0 c2 max b1 2a1 b2 2a2 max 1 2 1 3 2 2 1 c3 max b1 3a1 b2 3a2 b3 3a3 max 1 3 1 3 3 2 5 3 3 2 当n 3时 bk 1 nak 1 bk nak bk 1 bk n ak 1 ak 2 n0时 取正整数m 则当n m时 nd1 d2 因此cn b1 a1n 此时 cm cm 1 cm 2 是等差数列 当d1 0时 对任意n 1 cn b1 a1n n 1 max d2 0 b1 a1 n 1 max d2 0 a1 此时 c1 c2 c3 cn 是等差数列 当d1时 有nd1max 故当n m时 m 解后反思解决数列的相关题时 可通过对某些项的观察 分析和比较 发现它们的相同性质或变化规律 再利用综合法进行推理论证 4 2016课标全国 17 12分 已知 an 是公差为3的等差数列 数列 bn 满足b1 1 b2 anbn 1 bn 1 nbn 1 求 an 的通项公式 2 求 bn 的前n项和 解析 1 由已知 a1b2 b2 b1 b1 1 b2 得a1 2 3分 所以数列 an 是首项为2 公差为3的等差数列 通项公式为an 3n 1 5分 2 由 1 和anbn 1 bn 1 nbn得bn 1 7分 因此 bn 是首项为1 公比为的等比数列 9分 记 bn 的前n项和为sn 则sn 12分 评析本题主要考查了等差数列及等比数列的定义 能准确写出 an 的表达式是关键 5 2016天津理 18 13分 已知 an 是各项均为正数的等差数列 公差为d 对任意的n n bn是an和an 1的等比中项 1 设cn n n 求证 数列 cn 是等差数列 2 设a1 d tn 1 k n n 求证 证明 1 由题意得 anan 1 有cn an 1 an 2 anan 1 2dan 1 因此cn 1 cn 2d an 2 an 1 2d2 所以 cn 是等差数列 2 tn 2d a2 a4 a2n 2d 2d2n n 1 所以 评析本题主要考查等差数列及其前n项和公式 等比中项等基础知识 考查数列求和的基本方法 推理论证能力和运算求解能力 1 2013辽宁理改编 4 5分 下面是关于公差d 0的等差数列 an 的四个命题 p1 数列 an 是递增数列 p2 数列 nan 是递增数列 p3 数列是递增数列 p4 数列 an 3nd 是递增数列 其中的真命题为 c组教师专用题组 答案p1 p4 解析 an 是等差数列 则an a1 n 1 d dn a1 d 因为d 0 所以 an 是递增数列 故p1是真命题 对p2 举反例 令a1 3 a2 2 d 1 则a1 2a2 故 nan 不是递增数列 p2不是真命题 d 当a1 d 0时 递减 p3不是真命题 an 3nd 4nd a1 d 4d 0 an 3nd 是递增数列 p4是真命题 故p1 p4是真命题 2 2016课标全国 理 17 12分 sn为等差数列 an 的前n项和 且a1 1 s7 28 记bn lgan 其中 x 表示不超过x的最大整数 如 0 9 0 lg99 1 1 求b1 b11 b101 2 求数列 bn 的前1000项和 解析 1 设 an 的公差为d 据已知有7 21d 28 解得d 1 所以 an 的通项公式为an n b1 lg1 0 b11 lg11 1 b101 lg101 2 6分 2 因为bn 9分 所以数列 bn 的前1000项和为1 90 2 900 3 1 1893 12分 疑难突破充分理解 x 的意义 求出bn的表达式 从而求出 bn 的前1000项和 评析本题主要考查了数列的综合运用 同时对考生创新能力进行了考查 充分理解 x 的意义是解题关键 3 2014四川 19 12分 设等差数列 an 的公差为d 点 an bn 在函数f x 2x的图象上 n n 1 若a1 2 点 a8 4b7 在函数f x 的图象上 求数列 an 的前n项和sn 2 若a1 1 函数f x 的图象在点 a2 b2 处的切线在x轴上的截距为2 求数列的前n项和tn 解析 1 由已知得 b7 b8 4b7 有 4 解得d a8 a7 2 所以 sn na1 d 2n n n 1 n2 3n 2 函数f x 2x在 a2 b2 处的切线方程为y ln2 x a2 它在x轴上的截距为a2 由题意得 a2 2 解得a2 2 所以d a2 a1 1 从而an n bn 2n 所以tn 2tn 因此 2tn tn 1 2 所以 tn 评析本题考查等差数列与等比数列的概念 等差数列与等比数列通项公式与前n项和 导数的几何意义等基础知识 考查运算求解能力 一 填空题 每题5分 共35分 1 2017江苏苏州期末 8 设sn是等差数列 an 的前n项和 若a2 7 s7 7 则a7的值为 三年模拟 a组2015 2017年高考模拟 基础题组 时间 40分钟分值 60分 答案 13 解析设等差数列 an 的公差为d 由已知可得解得所以a7 a1 6d 13 2 2017江苏南京 盐城一模 8 设 an 是等差数列 若a4 a5 a6 21 则s9 答案63 解析 an 是等差数列 a4 a5 a6 21 a4 a5 a6 3a5 21 解得a5 7 s9 a1 a9 9a5 63 3 2017江苏淮阴中学第一学期期中 6 已知sn是等差数列 an 的前n项和 且s11 35 s6 则s17的值为 答案119 解析由s11 35 s6得s11 s6 35 故a11 a10 a9 a8 a7 35 从而5a9 35 所以a9 7 所以s17 17 a9 17 7 17 119 4 2016江苏南京 盐城二模 6 设公差不为0的等差数列 an 的前n项和为sn 若s3 且s1 s2 s4成等比数列 则a10等于 答案19 解析设公差为d 由题设可得解得a1 1 d 2 从而a10 a1 9d 1 9 2 19 5 2016江苏扬州中学四模 9 各项均为实数的等差数列的公差为2 其首项的平方与其余各项之和不超过33 则这样的数列至多有项 答案7 解析记这个数列为 an 则由题意可得 a2 a3 an n 1 a1 n n 1 a1 n n 1 n n 1 33 为了使n尽量大 故 0 33 n 1 3n 1 132 当n 6时 5 19 132 当n 7时 6 22 132 故nmax 7 6 2015南京 盐城二模 10 设等差数列 an 的前n项和为sn 已知a1 2 且数列 为等差数列 则a13的值为 答案50 解析设公差为d 则sn na1 n2 n 因为数列 为等差数列 所以2 0 所以d 4 因此a13 a1 13 1 d 50 7 2015江苏南通二模 9 已知等差数列 an 的首项为4 公差d为2 前n项和为sn 若sk ak 5 44 k n 则k的值为 答案7 解析因为a1 4 d 2 所以an a1 n 1 d 2n 2 sn na1 n2 3n 因为sk ak 5 44 所以 k2 3k 2k 12 44 即k2 k 56 0 解得k 7或k 8 舍去 所以k 7 二 解答题 共25分 8 2017南京第三次模拟 19 已知常数p 0 数列 an 满足an 1 p an 2an p n n 1 若a1 1 p 1 求a4的值 求数列 an 的前n项和sn 2 若数列 an 中存在三项ar as at r s t n r s t 依次成等差数列 求的取值范围 解析 1 因为p 1 所以an 1 1 an 2an 1 因为a1 1 所以a2 1 a1 2a1 1 1 a3 1 a2 2a2 1 3 a4 1 a3 2a3 1 9 因为a2 1 an 1 1 an 2an 1 所以当n 2时 an 1 从而an 1 1 an 2an 1 an 1 2an 1 3an 于是有an 3n 2 n 2 当n 1时 s1 1 当n 2时 sn a1 a2 a3 an 1 经检验n 1时 符合该式 所以sn n n 2 因为an 1 an p an an p p an an p 2p 0 所以an 1 an 即 an 为单调递增数列 i 当 1时 有a1 p 于是an a1 p 所以an 1 p an 2an p an p 2an p 3an 所以an 3n 1a1 若 an 中存在三项ar as at r s t n rp 于是当n 2时 an a2 p 从而an 1 p an 2an p an p 2an p 3an 所以an 3n 2a2 3n 2 a1 2p n 2 若 an 中存在三项ar as at r s t n r s t 依次成等差数列 同 i 可知 r 1 于是有2 3s 2 a1 2p a1 3t 2 a1 2p 因为2 s t 1 所以 2 3s 2 3t 2 3s 3t 1 0 因为2 3s 2 3t 2是整数 所以 1 于是a1 a1 2p 即a1 p 与 p a1 p相矛盾 故此时数列 an 中不存在三项依次成等差数列 iii 当 1时 则有a1 p p a1 p 0 于是a2 p a1 2a1 p p a1 2a1 p a1 2p a3 p a2 2a2 p p a1 2a1 5p p a1 2a1 5p a1 4p 此时有a1 a2 a3成等差数列 综上可知 1 9 2016江苏扬州中学质检 20 已知数列 an 满足a1 x a2 3x sn 1 sn sn 1 3n2 2 n 2 n n sn是数列 an 的前n项和 1 若数列 an 为等差数列 i 求数列的通项an ii 若数列 bn 满足bn 数列 cn 满足cn t2bn 2 tbn 1 bn 试比较数列 bn 的前n项和bn与 cn 的前n项和cn的大小 2 若对任意n n an an 1恒成立 求实数x的取值范围 解析 1 i 因为sn 1 sn sn 1 3n2 2 n 2 n n 所以s3 s2 s1 14 即a3 2a2 3a1 14 又a1 x a2 3x 所以a3 14 9x 又数列 an 为等差数列 所以2a2 a1 a3 即6x x 14 9x 解得x 1 即a1 1 a2 3 所以公差d a2 a1 2 所以an a1 n 1 d 1 n 1 2 2n 1 n n ii 因为an 2n 1 n n 所以bn 22n 1 0 其前n项和bn 0 又cn t2bn 2 tbn 1 bn 16t2 4t 1 bn 所以其前n项和cn 16t2 4t 1 bn 所以cn bn 2 8t2 2t 1 bn 当t时 cn bn 当t 或t 时 cn bn 当 t 时 cn bn 2 由sn 1 sn sn 1 3n2 2 n 2 n n 知sn 2 sn 1 sn 3 n 1 2 2 n n 两式作差 得an 2 an 1 an 6n 3 n 2 n n 所以an 3 an 2 an 1 6 n 1 3 n n 再作差得an 3 an 6 n 2 n n 所以 当n 1 k n 时 an a1 x 当n 3k 1 k n 时 an a3k 1 a2 k 1 6 3x 6k 6 2n 3x 4 当n 3k k n 时 an a3k a3 k 1 6 14 9x 6k 6 2n 9x 8 当n 3k 1 k n 时 an a3k 1 a4 k 1 6 1 6x 6k 6 2n 6x 7 因为对任意的n n an an 1恒成立 所以a1 a2 且a3k 1 a3k a3k 1 a3k 2 所以解得 x 故实数x的取值范围为 一 填空题 每题5分 共20分 1 2017江苏扬州 泰州 南通 淮安 宿迁 徐州六市联考 9 已知 an 是公差不为0的等差数列 sn是其前n项和 若a2a3 a4a5 s9 27 则a1的值是 b组2015 2017年高考模拟 综合题组 时间 40分钟分值 55分 答案 5 解析设等差数列 an 的公差为d 由题设可得即解得a1 5 2 2016江苏姜堰联考 8 等差数列 an 的前n项和记为sn 且满足2n 则数列 an 的公差d 答案8 解析2n sn 4n2 n 所以an sn sn 1 8n 5 n 2 又 a1 4 12 1 3 8 1 5 an 8n 5 从而d an an 1 8 n 2 3 2016江苏泰州一模 12 已知公差为2的等差数列 an 及公比为2的等比数列 bn 满足a1 b1 0 a2 b2 0 则a3 b3的取值范围是 答案 2 解析由题意知a2 b2 a1 2 2b10 所以0 a1 b1 2 b1 b1 2 b2 2b1 4 a3 b3 a2 2 2b2 a2 b2 2 b2 0 2 4 2 故a3 b3的取值范围是 2 4 2015南京三模 10 设等差数列 an 的前n项和为sn 已知当k 2且k n 时 sk 1 8 sk 0 sk 1 10 则k 答案9 解析由等差数列的性质知 数列是等差数列 于是 2 解得k 9 二 解答题 共35分 5 2017南京 盐城第二次模拟考试 20 已知数列 an 的前n项和为sn 数列 bn cn 满足 n 1 bn an 1 n 2 cn 其中n n 1 若数列 an 是公差为2的等差数列 求数列 cn 的通项公式 2 若存在实数 使得对一切n n 有bn cn 求证 数列 an 是等差数列 解析 1 因为 an 是公差为2的等差数列 所以an a1 2 n 1 a1 n 1 从而 n 2 cn a1 n 1 n 2 即cn 1 2 证明 由 n 1 bn an 1 得n n 1 bn nan 1 sn 所以 n 1 n 2 bn 1 n 1 an 2 sn 1 两式相减 并化简得an 2 an 1 n 2 bn 1 nbn 从而 n 2 cn an 1 n 1 bn n 1 bn n 1 bn n 2 bn bn 1 因此cn bn bn 1 因为对一切n n 有bn cn 所以 cn bn bn 1 故bn cn 所以 n 1 an 1 n 2 an 1 an 2 得 an 2 an 1 即an 2 an 1 2 故an 1 an 2 n 2 又2 a2 a2 a1 则an 1 an 2 n 1 所以数列 an 是等差数列 思路分析 1 利用等差数列定义及相关求和公式求出cn即可 2 由 n 1 bn an 1 递推化简 得到cn bn bn 1 因为 n n 都有bn cn 得到 bn cn 从而有 n 1 an 1 再利用等差数列的性质 即可得到 an 为等差数列 6 2015江苏连云港 徐州一模 19 在数列 an 中 已知a1 a2 1 an an 2 2an 1 n n 为常数 1 证明 a1 a4 a5成等差数列 2 设cn 求数列 cn 的前n项和sn 3 当 0时 数列 an 1 中是否存在三项as 1 1 at 1 1 ap 1 1成等比数列 且s t p也成等比数列 若存在 求出s t p的值 若不存在 说明理由 解析 1 证明 因为an an 2 2an 1 a1 a2 1 所以a3 2a2 a1 1 同理 a4 2a3 a2 3 1 a5 2a4 a3 6 1 显然a4 a1 3 a5 a4 3 所以a4 a1 a5 a4 故a1 a4 a5成等差数列 2 由an an 2 2an 1 得an 2 an 1 an 1 an 令bn an 1 an 则bn 1 bn b1 a2 a1 0 所以 bn 是以0为首项 为公差的等差数列 所以bn b1 n 1 n 1 即an 1 an n 1 所以an 2 an 2 an 1 an 2n 1 所以cn 2 2n 1 sn c1 c2 cn 2 23 25 2 2n 1 当 0时 sn n 当 0时 sn 2 23 25 2 2n 1 3 由 2 知an 1 an n 1 用累加法可求得an 1 n 2 当n 1时也适合上式 所以an 1 n n 假设存在三项as 1 1 at 1 1 ap 1 1成等比数列 且s t p也成等比数列 则 at 1 1 2 as 1 1 ap 1 1 即 且t2 sp 所以 t 1 2 s 1 p 1 化简得s p 2t 与t2 sp联立 得s t p 这与题设矛盾 故不存在三项as 1 1 at 1 1 ap 1 1成等比数列 且s t p也成等比数列 7 2015江苏南京期末 20 已知数列 an 中 a1 1 且点p an an 1 n n 在直线x y 1 0上 1 求数列 an 的通项公式 2 若f n n n 且n 2 求f n 的最小值 解析 1 点p an an 1 在直线x y 1 0上 an 1 an 1 又a1 1 数列 an 是以1为首项 1为公差的等差数列 an 1 n 1 1 n 2 由 1 知 f n 则f n 1 f n 1 f n 0 当n 2 n n 时 f n 是递增数列 f n 的最小值是f 2 一 填空题1 2017江苏六校联考 11 已知函数f x x3 x 等差数列 an 满足 f a2 1 2 f a2016 3 2 sn是其前n项和