第五、六章 部分相干光理论 傅里叶光学.pdf

224 第五章第五章 部分相干光理论部分相干光理论 5 1 光场的复数表示 在第一章中我们介绍过对于一个实值光信号来说常常选择一个复值信号来表示它 方 法是使该复值信号的实部等于所要表示的实值信号 在 4 5 节中已经证明了复指数函数 exp jf xf y xy 2 是空间不变线性系统的本征函数 类似地 复指数函数exp jt2 是 时间不变线性系统的本征函数 因此 如果对信号只进行若干线性运算 则在运算过程中 的任何一步只要取复值信号的实部就可以得到实际所使用信号的表达式 在光信号的数学 处理中引入复数表示方法往往可以使运算得到简化 一 单色光的复数表示 有一频率为 0的单色光 用一个实值函数来表示它 其形式为 2cos 0 tAtu r 5 1 1 式中 A 分别表示该信号的振幅和相位 相应的复数表达式是 u exp tAjt 2 0 5 1 2 其复振幅 exp Aj U 5 1 3 显而易见 ut r Re u 5 1 4 由 5 1 1 式 ut A jjt A jjt r exp exp exp exp 2 2 2 2 00 5 1 5 实值函数ut r 的傅里叶频谱为 F ut A j A j r exp exp 22 00 5 1 6 而复值函数u t的傅里叶频谱为 FtAj exp u 0 5 1 7 ut r 和u t 的傅里叶频谱分别示于图 5 1 a 和 b 中 比较ut r 和u t的傅里叶频谱 发现为了得到一个单色光信号的复数表达式的傅里 叶频谱 可以使用这样的方法 去掉ut r 频谱中的负频分量 而将其正频分量保留并加 倍 结果所构造的函数就是u t的频谱 这里也看到 在运算中若使用ut r 则当实值 信号通过时间不变线性系统时 需要对正频和负频的复指数函数都进行运算 因而使计算 量变大 顺便指出 由 5 1 7 式 看到 5 1 2 式采用了正频分量来构成一个复指数函数 如果 换 一 个 定 义 方 法 用 负 频 分 量 同 样 也 可以 定 义 单 色 光 的 复 数 表 示 这 时 应为 225 u exp tAj 2 0 相 当 于 去 掉 正 频 分 量 将 负 频 分 量 加 倍 同 样 有 utu t r Re 可以说 实函数ut r 的频谱中正频分量或负频分量均携带了单色光 的全部信息 图 5 1 a 一个单色实值信号的傅里叶谱 b 它的复数表示的傅里叶谱 二 非单色光的解析信号表示 1 用解析函数u t来表示一个非单色光 若是用一个实值函数ut r 来表示非单色光 则它的傅里叶频谱 exp 2 d rr utjtt U 5 1 8a 而 utjt rr exp U 2d 5 1 8b 对于实函数ut r 来说 有关系式utut rr 因此由 5 1 8a 式 它们的频谱函 数相等 即 UU rr 5 1 9 由 5 1 8 式及 5 1 9 式 得到 utjtjt rrr exp exp UU 22 0 0 dd 0 0 d 2exp d 2exp tjtj rr UU 0 0 d 2exp d 2exp tjtj rr UU UU exp exp rr jtjt 22 0 d 22 0 Re exp U r jt d 5 1 10 用同样的方法 也可以证明 utjt rr Re exp 22 0 U d 5 1 11 比较 5 1 10 和 5 1 11 式发现 ut r 傅里叶谱的正频分量和负频分量均携带了实函数 226 ut r 的全部信息 因此 仅使用正频分量或仅使用负频分量均可以得到ut r 的表达式 这一点与单色光的情形类似 所不同的是对于非单色光来说ut r 具有一定的频谱分布 在上面讨论的基础上 现在我们来构造复平面上的解析函数u t 并用它来表示非单 色光信号 解析函数u t的实部 utt r Re u 5 1 12 比较 5 1 10 和 5 1 12 式 可见 uU exp tjt r 22 0 d 5 1 13 由积分限看出上式中 0 这正是去掉了实函数 tu r 频谱中的负频分量 将正频分 量加倍而得到的结果 这一点可以和以前介绍过的单色光的情况相类比 解析函数u t的 虚部由下式给出 uttjt ir Im Im exp uU22 0 d 5 1 14 设 U exp r j 5 1 15 式中 和 均为实函数 将上式代入 5 1 9 式 得到 可见 为偶函数 为奇函数 将 5 1 15 式代入 5 1 10 和 5 1 14 式 得到 utt r cos 22 0 d 5 1 16 utt i sin 22 0 d 5 1 17 解析函数u t 的实部ut r 和虚部ut i 之间有 2的相位差 以上两个积分叫做同源的 傅里叶积分或者相缔合的函数 又称为共轭函数 2 表示非单色光的解析函数u t的性质 引入符号函数 sgn 10 00 10 5 1 18 5 1 13 式与下式等价 dUu 2exp sgn1 tjt r 5 1 19 又因为 dUu 2exp tjt 比较以上两式 则有 UU sgn 1 r 5 1 20 可见 当 0时 UU r 2 当 0时 U 0 5 1 19 式所表示的U 中不含负频分量 U 的正频分量等于ut r 的正频分量的两倍 需要说明的是当 0 时 若ut r 的频谱中不含有 函数分量的话 在单个点上的谱值即使改变一个有限数值 227 并不会影响解析函数u t的值 若ut r 在 0处含有 函数分量 我们则约定该 函数 分量保持不变 根据这一约定 理解为积分时有限 对 5 1 20 式两边取傅里叶逆变换 得到 uU tF 1 FF rr11 sgn UU utFFU rr sgn 11 5 1 21 上式中 F j t 1 sgn 再利用卷积的定义 得到 d P V t uj tut r r u 5 1 22 式中符号 P V 表示积分在被积函数奇点 t处取柯西积分的主值 即 t r t rr t u t u t u d d lim 1 d P V 1 0 5 1 23 上面的积分变换式就叫做函数ut r 的希尔伯特 Hilbert 变换 它就是 5 1 22 式所表示 的解析函数u t的虚部 用符号H 表示希尔伯特变换 则有 d t uVP tuHtu r ri 5 1 24 综上所述 解析信号 tu有以下性质 1 utt r Re u utt i Im u 5 1 25a 2 ut r 和ut i 互为希尔伯特变换 它们之间有下面的关系 d P V 1 t u tu i r d P V 1 t u tu r i 5 1 25b 3 UU sgn sgn iirr F utjF utj 5 1 25c 5 1 25c 式所表示的关系式能够用一个相应的过程加以描述 式中所表示的解析函数u t虚 部可以看成是将实部ut r 通过一个时间不变线性滤波器而得到 滤波器的传递函数为 Hj sgn 5 1 26 这个滤波器叫做希尔伯特滤波器 图5 2就是从一个已知的实信号ut r 建造解析信号u t 过程的示意图 228 图 5 2 从一个实信号建造一个解析信号 三 准单色光的解析信号表示 一个非单色光信号 当其频谱宽度 与中心频率 0相比满足关系式 0时 就 是在第二章中讨论过的准单色光 准单色光的振幅A t 和相位 t是时间的慢变函数 若 用实函数ut r 表示 其形式为 utA ttt r cos 2 0 5 1 27 图 5 3 所示的就是一个准单色光实信号及其包络的示意图 图 5 3 窄带信号及其包络 图 5 4 a 所示为包络A t 的频谱 图 5 4 b 为ut r 的频谱 将ut r 的负频分量去掉 正频分量加倍就得到解析信号u t的频谱 图 5 4 c 描述这一准单色光的解析信号 u exp exp tA tjtjt 2 0 5 1 28 其复振幅 即复包络 U exp tA tjt 5 1 29 因此 uU exp ttjt 2 0 5 1 30 这就是在第一章中介绍过的准单色光的复数表达式 在这一节中我们介绍了用解析函数来表示非单色光信号 它是单色光复数表示方法在 非单色光情况下的推广 是现代文献中普遍采用的方法 然而 在一些不牵涉到复杂数学 运算的问题中常常仍采用实数场来表示非单色光信号 它的好处是形式上简单直观 若u1 t和u2 t分别是与实信号ut r 1 和ut r 2 相缔合的解析信号 一般来说下面的 关系式成立 ututtt rr 1212 Re uu 5 1 31 ut uttt rr 1212 Re uu 5 1 32 229 图 5 4 A t ut r u t 的频谱 5 2 光束的相干函数 一 互相干函数 图 5 5 所示为杨氏干涉实验的示意图 与第二章图 2 17 不同的是这里 表示一个扩展 的多色光源 P1 P2是屏 1上的两个针孔 Q为观察屏 2上的一点 下面就讨论来自P1 P2两点的场在Q点迭加后所得到的光场分布 为使问题简化 不计光的偏振效应 或者假 定在Q点相遇的两束光偏振方向相同 t时刻通过针孔P1和P2的光扰动分别用解析函数 u1 t和u2 t来表示 若是在t时刻计算Q点的光场扰动 则参与迭加的两束光中来自P1孔 的光用解析函数K u 1 11 tr c 表示 来自P2孔的光用解析函数K u 222 trc 表示 式中 rPQ 11 rP Q 22 图5 5 使用一个扩展多色光源 的杨氏干涉实验 上面表达式中的K1和K2均为纯虚数 它表示了单个针孔处单位振幅的子波源产生的 衍射光在考察点Q处的贡献大小 对于平均波长为 的准单色光 并且针孔P1 P2均不 太大的情形中 由从惠更斯 菲涅耳原理出发推导而得到的 4 4 12 式 可将被积函数中的 场量在积分域中视为不变 因而将它拿到积分号外 于是有 K k 1 1 1 1 1 j r s P d 针孔 K k 2 2 2 2 2 j r s P d 针孔 5 2 1 230 式中 1 2已示于图 5 5 中 两式的积分分别在针孔所在平面处进行 k 1 k 2分 别为倾斜因子 对于宽带光的情形K1 K2为纯虚数的结论同样成立 见习题 5 2 对于 直径为 的圆形针孔和最大线度为p的光源来说 为了能将针孔所在的空间区域中准单色 光的入射场视为常数 所应满足的充分条件是 z p 5 2 2 式中 z是从光源到针孔所在平面的垂直距离 设解析函数u Q t表示t时刻Q点的光场 则 uK uK u Q tt r c t r c 1 1 1 22 2 5 2 3 光源所发出来的光是由组成光源的不同独立辐射振子所产生的 因此实际的光场在本 质上是某种涨落现象 可见光的振动周期为10 14 秒量级 目前光探测器的时间分辨率约为 10 10 秒 所以实标量函数utt r Re u随时间的瞬时变化在实验上不能用现有的探测 器测量出来 实际能测量到的量是一个时间平均值 所以只能用统计方法来描述Q点的场 根据随机过程的理论 我们将实标量函数ut r 看成是表征过程统计性质的函数系综中的 一个典型成员 在本章中所讨论的问题中假定光场是一个平稳的和各态历经的随机过程 对于一个平稳随机过程来讲统计量与时间原点的选取无关 各态历经意味着系综平均等于 时间平均 对足够长的时间取统计平均 Q点的光强度为 I QQ tQ t uu 将 5 2 3 式代入上式 得到 I Qt r c t r c KuKu 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 K KuuK Kuu 121 1 2 2 121 1 2 2 t r c t r c t r c t r c 5 2 4 根据场的平稳性的假设 在取平均值时改变时间坐标的原点 并以I1 I2分别表示P1 和P2点处的光强 于是有 uu 1 1 2 1 2 1 t r c tI 5 2 5 uu 2 2 2 2 2 2 t r c tI 5 2 6 如果每次遮去P1 P2两孔之一 那么由 5 2 4 式得到在Q点所观察到的光强度分别是 来自针孔P1和P2的光在Q处单独产生的光强度 分别用IQ 1 和IQ 2 表示它们 231 IQtK I 1 1 2 1 2 1 2 1 Ku 5 2 7 IQtK I 2 2 2 2 2 2 2 2 Ku 5 2 8 式中 1 K 2 K分别是 1 K 2 K的模 同样 由于场的平稳性 5 2 4 式等号右边第三项和第四项可以表示为 uuuuuu 1 1 2 2 1 21 212 t r c t r c t rr c ttt uuuuuu 1 1 2 2 1 21 212 t r c t r c t rr c ttt 式中 rrc 21 以上两项反映了在Q点处相迭加的光场的干涉效应 定义函数 12 1212 1 2 lim uuuutt T ttt TT T d 5 2 9 12 就是光束的互相干函数 它表示了由针孔P1 P2处发出的时间间隔为 的两个光场 之间的相关性 这个函数是由 E wolf 首先引入光学中的 它是部分相干性理论中的一个基 本的物理量 从数学上看它 也就是平稳随机过程的一般理论中所说的交叉相关函数 借 助于互相干函数 12 及 5 2 7 5 2 8 式 5 2 4 式化为 I QIQIQ 12 12121221 K KK K 5 2 10 由 5 2 9 式 可以看出 2112 由于K1 K2都是纯虚数 因此 K KK K 121212 K K Q点的光强 I QIQIQK K Re 12 1212 2 5 2 11 当 1 tu和 2 tu相等时 5 2 9 式所表示的互相干函数形式变为 11 11 uutt 5 2 12 或 22 22 uutt 5 2 13 叫做自相干函数 特别地 在以上两式中若 0 则有 11 1 0 I 22 2 0 I 5 2 14 它们分别表示针孔P1和P2处的光强 二 复相干度及用复相干度来表示的干涉光强公式 定义归一化形式的互相干函数 12 12 1122 1 2 00 5 2 15 12 称为复相干度 在有些场合中为了区别于 11 和 22 将 12 称为复互相干 度 而将 11 22 称为复自相干度 如果在讨论的问题中 只有一个光场 不用区 232 别不同场的复自相干度 常以不加下标的记号 来表示复自相干度 容易证明 0 12 1 5 2 16 利用 5 2 7 5 2 8 及 5 2 15 式 5 2 11 式简化为 I QIQIQIQ IQ Re 1212 12 2 5 2 17 设光源光谱的中心频率为 复相干度总可以写成下面的形式 12 12 exp j 12 2 5 2 18 式中 12 2 arg 12 5 2 19 因此 5 2 17 式变成 I QIQIQIQ IQ 1212 12 2 cos 12 2 5 2 20 式中 为平均波长 rr c 21 2 2 21 rr 5 2 20 式中 当 12 1时 Q点的光强分布与一个波长为 且在针孔P1 P2 处的振动相位差为 12 的两个次级严格单色光源于Q点处产生的干涉光强分布相同 光 分别由P1 P2到达Q点时具有时间延迟 这时P1 P2处的振动可称为相干的 当 12 0时 5 2 20 式中的干涉项为 0 则有I QIQIQ 12 这两个光束之 间不产生干涉效应 因此P1 P2处的振动可称为不相干的 当0 12 1时 则P1和 P2处的振动称为是部分相干的 12 表示由P1 P2处发出的光束的相干度 5 3 干涉条纹可见度和光波场相干性的一般描述 一 多色扩展光源条件下杨氏干涉实验的进一步讨论 1 杨氏干涉实验中条纹的可见度 仍然以图 5 5 所示的杨氏干涉实验为例 Q点处光强的表达式 5 2 20 式与第二章中给 出的单色光照明情况下双光束干涉公式 2 2 6 式相比较多出了一个因子 12 对于有 限尺寸的针孔 5 2 20 式中的IQ 1 IQ 2 就是按针孔孔径而产生的衍射图样在Q点 处的光强分布 若针孔尺寸足够小 满足条件 5 2 2 式 则在以Q为中心的一个小观察区 域内将该强度视为常数 由 5 2 20 式看出 等式右端的前两项之和就是Q点附近光强的恒 定偏置 结果得到的干涉条纹分布其周期由 及其它几何因素决定 条纹伴随有缓变的振 幅和相位调制 考虑到 为光频的量级 由 5 2 20 式得到观察点Q及其邻近区域干涉条纹 的可见度为 V IQ IQ IQIQ 2 12 12 12 5 3 1 在得到上述结果时 已近似地认为Q点及其附近各点的 12 是相同的 若 233 IQIQ 12 则 5 3 1 式简化为 V 12 5 3 2 这时 复相干度的模就等于干涉条纹的可见度 12 的大小表征了在Q点处来自P1 P2两点的光的相干性 2 杨氏干涉实验中复相干度 12 的模和幅角所表示的物理意义 由 5 2 20 式还可以看到复相干度的模 12 就是干涉条纹强度分布的包络的幅度 由 5 2 18 和 5 2 20 式 条纹的中心位置由复相干度的相位 12 确定 当 0即rr 12 时 120 随P1 P2之间分开的距离而改变 它反映了由光源投射到针孔平面的光的空间 相干性 随着光程差的加大 条纹包络 12 逐渐减小到最终消失则是光场时间相干性的 反映 在我们所讨论过的杨氏干涉实验的一般情况中时间相干性和空间相干性都在起作用 由 5 2 18 5 2 19 式所定义的复相干度的幅角arg 12 12 2 也具有明 显的物理意义 式中的2 表示因光程差而产生的相位差 它相应于周期性干涉条纹 而 12 则是两个异地信号之间的初始相位差 它导致了零级条纹位置在P P1 2方向上的位移 由经典的杨氏干涉条纹分布公式得到 D d2 12 5 3 3 式中 dP P 1 2 表示针孔间距 D表示针孔所在平面到观察平面的距离 图5 6 杨氏干涉实验的几何因子 3 杨氏干涉条纹的几何结构 干涉条纹的可见度与 12 有关 而 rrc 21 又与各种几何因素有关 参考图 5 6 这里所说的各种几何因素包括针孔P1 11 和P2 22 的间距 针孔所在平面与观 察平面的距离D 观察点Q的坐标 x y 为了使结果简化 以下的讨论中采用了近轴近 似 即假定P1 P2 Q均在图 5 6 中所示的z轴的附近 因此有 D 2 1 2 11 D 2 2 2 22 Dyx Q 22 5 3 4 由以上假设得到r1的近轴近似表达式为 234 2 2 1 2 2 12 1 2 1 2 1 1 D y D x DyxDr D y D x D 2 2 2 1 2 1 5 3 5a 同样方法得到 D y D x Dr 2 2 2 2 2 2 2 5 3 5b 由以上两式得到光程差的表达式 22 2 1 2 1 2 212 yx D rr 5 3 6 式中 21 21 将以上表达式代入 5 2 20 式 得到杨氏干涉实验的光强分布 I QIQIQ 12 2 cos 2 2 1 2 21212 2 1 yx DD QIQI 5 3 7 在上式余弦函数的相位部分中共有三项 当针孔P1 P2离开坐标原点的距离 1 2及 屏间距离D给定时第二项是一个常数 在Q点改变位置时 若 rrc 21 变化不大 则 将 12看作常数 由第三项xy 常数作出xy平面上所观察到的条纹如图 5 7 a 所 示 由简单的几何关系可以证明条纹的最强处和零点的走向垂直于P1和P2的连线 条纹的 空间周期为 d D L 5 3 8 式中 d 22 为针孔P1 P2之间的距离 以P1 P2的连线在xy平面上的投影 作为 x 轴 I Q 沿 x 轴的分布如图 5 7 b 所示 沿 x 轴的条纹包络的单宽度为 d Dc l 5 3 9 在图中逐渐减弱的包络下条纹的总数为 N l L 22 5 3 10 由上面的讨论再一次地看到多色扩展光源条件下 杨氏干涉实验的结果既取决于时间 相干性 又取决于空间相干性 235 图5 7 干涉条纹的几何性质 二 使用多色光源的迈克耳逊干涉仪 图 5 8 所示为一经典的迈克耳逊干涉仪 光源 S 是谱宽为 的多色光源 到达探测器 的两束光的时间差 2h c 式中2h为两束光的光程差 探测器所探测到的光强分布与 的 函数关系示于图 5 9 中 这个问题在第二章中曾经讨论过 当 由 0 增大到 c时干涉条纹 的可见度下降到 0 如果用波列模型来解释就意味着这时由光源发出的两列光波错开的距 离正好等于光波的相干长度 也即波列的长度 然而在图 5 9 中看到当 继续增大时 干 涉条纹又出现了 虽然可见度不大 这一现象不能用上述模型加以说明 显示了波列模型 的局限性 下面我们用在上节中所介绍的随机过程的统计方法对实验现象加以讨论并对干 涉条纹的分布给出合理的解释 图5 8 迈克尔逊干涉仪 包括点光源S 图5 9 入射到探测器D上的光强度 透镜 1 L和 2 L 反射镜 1 M和 2 M 与 的关系 式中 是平均波长 分束器BS 补偿板C和探测器D 条纹图样的包络以虚线绘出 236 设u t是光源所发出的光的解析信号表示 经过不同路径后 在探测器 D 处相遇的两 束光信号以Kt 1u 和K t 2u 表示 这里K1 K2是由分束比及两条光路上的损耗所确 定的实数 探测器探测到的干涉光强度为 IKtKt h c D 12 2 2 uu 5 3 11 用 代替2h c 并将式子展开得到 IKtKtK KttK Ktt D 1 2 2 2 2 2 1212 uuuuuu 5 3 12 设光源的强度为I0 对于一个平稳随机过程有 Itt 0 22 uu 5 3 13 令 uutt 5 3 14 表示解析信号u t的自相干函数 于是光强 IKKIK KK K D 1 2 2 2 01212 Re KKIK K 1 2 2 2 012 2 5 3 15 用 0 0 I对自相干函数 进行归一化 得到复自相干度 0 5 3 16 与 5 2 16 式比较 复自相干度 0 1 5 3 17 当 0时 01 5 3 15 式也可以表示为 IKKI K K KK D Re 1 2 2 2 0 12 1 2 2 2 1 2 5 3 18 式中 exp j 2 5 3 19 arg 2 5 3 20 由 5 3 18 式 干涉条纹的可见度为 V K K KK 2 12 1 2 2 2 5 3 21 如果到达探测器的两束光的强度相等 即KKK 12 则 5 3 18 式化为 IK I D 21 2 0 cos 2 0 5 3 22 由上式作出的函数图形如图 5 9 所示 图中的横坐标是 2h c 在坐标原点附近处 h 0 0 由 5 3 17 和 5 3 20 式得到 1 0 因而在坐标原点附近干 涉光强度随 2h c的分布是一个受到完全调制的余弦函数 光强的平均值为2 2 0 K I 变 237 化范围从4 2 0 K I到 0 由 5 3 22 式 这时干涉条纹的可见度为 V 5 3 23 干涉条纹的可见度反映了上述迈克耳逊干涉仪的探测器中相迭加的两个不同时刻的光 扰动之间的相关性 这也就是光场的时间相干性 具体来说它可以用自相干函数 和复 自相干度 来描述 三 准单色条件下的杨氏干涉实验 在前面讨论的问题中 多色光光源有一定的谱度 通常也称之为限带光 准单色光 是限带光中光谱宽度满足条件 的一类 下面我们要讨论在准单色光条件下的杨氏 干涉实验 参考图 5 10 所谓准单色条件是指下面两个条件同时得到满足的情况 a 光源频带宽度远小于中心频率 即 b 对于光源上所有的点和观察区域内的所有点均有 rrrr c c 2211 5 3 24 式中 c为光源的相干时间 这一条件也称为是小程差条件 准单色条件下互相干函数和复相干度在形式上可以简化 小程差条件保证了在感兴趣 的观察区域中干涉条纹的对比度变化很小 可以近似地将有些物理量看成与 0时的值一 样 例如 1212 0 12 120 1212 0 由此定义如下三个量 互强度J12 复相干因子 12和 12 Juu 121212 0 tt 5 3 25 1212 12 1122 12 1122 12 12 0 0 00 J JJ J II 5 3 26 1212 0 arg 1212 0 arg 5 3 27 由以上三式和 12 12 exp j 12 2 得到 exp 0 exp 0 1212121212 jjJJ 5 3 28 1212 exp j 12 5 3 29 12 12 2 exp Jj 5 3 30 12 12 0 exp j2 12exp j2 12exp j 12 2 5 3 31 238 图5 10 杨氏干涉实验 在准单色条件下 观察屏上Q点处所探测到的光强度为 I QIIII 1212 2 12cos 12 2 5 3 32 式中 12和 12均与 无关 而 是由Q点位置确定的 Q点附近光强度分布的极大值 和极小值分别为 IIIII max 1212 12 2 IIIII min 1212 12 2 由此得到干涉条纹的可见度为 V II II 2 12 12 12 5 3 33 当II 12 时 V 12 5 3 34 测量出干涉条纹的可见度就可以确定复相干因子 12的模 12 干涉条纹的最大值由 下列条件确定 mrr2 2 2 121212 m 0 1 2 5 3 35 因此可以确定复相干因子 12的相位 12 由方程 5 3 32 准单色条件下干涉条纹形式上与频率为 的单色光相似 但实质上这两 者是不同的 准单色条件下得到的干涉条纹的对比度和位置分别决定于复相干因子的模 12和相位 12 2 复相干因子的模满足关系式 01 12 结合图 5 6 a 和 5 3 7 式 令 0 2 1 2 21212 D 在y 0和 0 2 1 0 0 IxIxI 的情况下 由 5 3 7 式得到观察平面上的光强分布 239 120 12 0 IxI x D 2 cos 12 对于不同的 12 作出x轴上光强分布I x 0与x的函数图形 如图 5 11 所示 图中我 们已经假定了相干涉的两束光的强度之和为 1 由图中看出 当1 12 时 干涉条纹的对 比度最大 两束光相干叠加 当10 12 时 两束光部分相干 当0 12 时 干涉条 纹消失 两束光非相干叠加 图5 11 复相干因子取不同值时的干涉条纹图样 2 1 II 四 小结 本节中为了描述一般限带光和准单色条件下的干涉问题 我们定义了一系列的参量和 函数 借助于这些量去描述干涉条纹的可见度 它们也反映了光场的时间或空间相干性 现将它们总结于表 5 1 之中 表表 5 1 各种相干性量度的名称和定义各种相干性量度的名称和定义 符 号 名 称 定 义 所描述的光场 的相干性质 示意图 240 12 12 互相干函数 复相干度 2112 ttuu 12 12 1122 1 2 00 空间相干性 时间相干性 1 P t 2 P Q t 11 11 自相干函数 复 自 相干度 11 11 uutt 11 11 11 0 时间相干性 t 1 P Q t J12 12 互强度 复相干因子 Juu 121212 0 tt 1212 12 11 22 1 2 0 J J J 准单色条件下 空间相干性 1 P t 2 P Q t c 5 4 光场的功率谱和互谱 上一节中以一般限带光及准单色光为例在时域和空域中讨论了光场的相干性 这一节 中将从频域的角度出发讨论光场的相干性 为此需要定义能谱密度 功率谱密度 互谱密 度等函数 借助于这些量来描述光的相干现象及其应用 一 用实函数表示的光场的谱密度函数和 Wiener Khinchin 定理 1 用实函数 tu r 表示的光场能谱密度和功率谱密度的定义 设 tu r 是一个时间实函数信号 t 如果它满足 Dirichlet 条件且绝对可积 即 ttu r d 则信号 tu r 是可以作傅里叶变换的 设对应的频谱函数为 r U 那么 ttjtu rr d 2exp U 5 4 1a ttjtu rr d 2exp U 5 4 1b 如果 tu r 是能量有限的函数 即 ttu r d 2 5 4 2 241 根据帕色伐 parseval 定理 见附录 A 频域中函数 2 r U曲线下包围的总面积 等于时域中函数 2 tu r 曲线下包围的总面积 即 d d 2 2 rr ttuU 5 4 3 它的物理意义是时域内的总能量等于频域内的总能量 量 2 r U 5 4 4 称它为 tu r 的能量谱密度或能谱密度 表示单位频率间隔上波的能量 它是一个非负实 量 如果 tu r 不满足作傅里叶变换的条件 但在有限时间区间 TtT内绝对可积 且存在有限平均功率 T T r T ttu T d 2 1 lim 2 5 4 5 这时一般来说积分 5 4 1a 式不存在 但我们可以按照下面的方法定义功率谱密度 先作函数 tu r t 在此基础上定义截断函数ut T 如下 其它0 TtTtu tu r T 5 4 6 因此 ut T 满足傅里叶变换的条件 设其频谱为UT 根据帕色伐定理 得到 d d d 2 2 2 T T T r T ttuttuU 5 4 7 d 2 1 limd 2 1 lim 2 2 T T T T r TT ttu T U 5 4 8 与能谱的定义 5 4 4 相对应 将上式右方的被积函数称作为 tu r 的平均功率谱密度 简 称为功率谱密度 并记为 2 2 1 lim T T r T GU 5 4 9 它表示了 tu r 的平均功率随频率的分布 例如 设1 tu r t 虽然对于函数ut r 来说 积分 5 4 2 式并不存在 但用截断函数的方法 就能够得到一个用 函数来表示的能谱密度函数 242 图5 12 截断函数 2 用实函数 tu描述的随机光场的能谱密度和功率谱密度 上面介绍的用截断函数引入功率谱密度的方法只适用于单个实函数 tu r 描述的光 场 实际上的光扰动信号是一个表示随机过程的函数 这一随机过程包括不同函数的整个 系综 针对这一过程光场的能谱密度和功率谱密度应从整个集合的统计平均意义上去定义 通常在光学中遇到的系综是广义平稳和各态历经的 广义平稳意味着系综平均与时间的原 点无关 而各态历经意味着系综平均等于相应系统的时间平均 用加下标U的量EU 和 GU 分别表示随机光场的能谱密度和功率谱密度 参照对实函数信号 tu r 能谱密度所 作的定义 5 4 4 式和功率谱密度的定义 5 4 9 式 定义用实函数 tu描述的随机光场的能谱 密度和功率谱密度如下 2 UEEEU 5 4 10 G T E U T T lim 1 2 2 U 5 4 11 式中 记号E 表示期望值或平均值 U是光场振幅的频谱 T U是截断函数的频谱 由上述定义可以得到能谱密度函数及功率谱密度函数的性质如下 1 能谱密度或功率谱密度都是非负的实函数 即EU 0 GU 0 2 对于一个实数值随机过程 tu来说能谱密度或功率谱密度都是偶函数 即 EE UU GG UU 5 4 12 3 下面关系式成立 ttuEUd d 2 5 4 13 非平稳 平稳 d 2 2 tutu tuu GU 5 4 14 上式中加横杠的表示统计平均 加的表示时间平均 3 Wiener Khinchin 定理 对于一个广义平稳随机过程而言 统计自相关函数 U 与功率谱密度 U G 之间构成 傅里叶变换对偶 即 exp 2 d UU Gj 5 4 15a exp 2 d UU Gj 5 4 15b 在光学中 也称为统计自相干函数 以上两式所表示的就是 Wiener Khinchin 定理 这 个定理的证明如下 由 5 4 11 式 随机过程的功率谱密度 243 G E T U T TT lim UU 2 5 4 16 式中 UT 是由 5 4 6 式所定义的截断函数 tuT的频谱 对于实函数 tuT来说 由 5 1 9 式 TT UU 于是有 d 2exp 2 rect ju T T U 5 4 17a d 2exp 2 rect ju T T U 5 4 17b 将 5 4 17 式代入 5 4 16 式 交换求系综平均和求积分的次序 得到功率谱密度的表达 式如下 dd 2exp 2 rect 2 rect 2 1 lim juuE TTT G T U 5 4 18 式中 均为时间变量 截取宽度为2T 期望值 U uuE 5 4 19 就是 tu的统计自相关函数 作变量代换 将 换成t 换成t 得到 G T t T t T ttjt U T U lim exp 1 222 2rectrectd d 5 4 20 Gj T t T t T ttt U T U exp lim 2 1 222 rectrectdd Uttj exp 2d 5 4 21 上式表明 任何一个随机过程其功率谱密度与自相干函数的时间平均构成傅里叶变换关系 若该随机过程是一个广义平稳随机过程 则相干函数与时间原点的选择无关 则有 UU tt 5 4 22 及 Gj UU exp 2d 5 4 23 若这个变换存在 则它的逆变换为 d 2exp jGU U 5 4 24 以上两式表明了 U 和GU 是一个傅里叶变换对 简记为 1 F UU F G 5 4 25 二 用解析函数 tu表示的光场谱密度函数和 Wiener Khinchin 定理 前面第一小节中关于实值信号ut r 的谱密度函数和用函数 tu描述的随机过程 244 Wiener Khinchin 定理的讨论可以推广到用解析函数u t表示的复值过程中来 下面的叙述 中不再加下标U去强调过程的性质 根据 5 1 19 式 u t表示为 uU sgn exp tjt r 12 d 5 4 26 式中 U r 是实信号ut r 的傅里叶谱 同样由 5 1 19 式 0时 u t的频谱 UU 2 r 由功率谱的定义出发得到复信号的功率谱G 与实信号的功率谱G r 的关系为 G G r 40 00 5 4 27 对于复信号来说 Wiener Khinchin 定理有下面的形式 exp exp GjGj r 242 0 dd 5 4 28a Gj exp 2d 5 4 28b 式中 为复函数 与光信号为实函数的情况相类似 当光信号用解析函数u t表示时 和G 构成一个傅里叶变换对 即 1 F F G 5 4 29 具有厄米性 因此 它的厄米性保证了功率谱G 为实数 将 用 0归一化 得到相应的复 自 相干度 exp exp 42 4 2 0 0 0 Gj G Gj r r d d d 5 4 30 式中 G 表示归一化的功率谱密度 它反映了光源的光谱特性 当 0时 G G G r r d 0 而且 G d 0 1 5 4 31 而且 G d 0 1 5 4 31 根据以上关系式 如果知道了光源的光谱分布函数 G 就可以求出 从而就可 以推断出光场的相干性和它所产生的干涉图的分布 将 5 4 28b 式两边用 0归一化得到 245 dG 2 jexp 5 4 32 因此 知道了 由上式就能求出归一化的功率谱密度 三 互谱密度函数及其与互相干函数的关系 1 互谱密度函数的定义 设实值随机过程ut r 和vt r 都是有限的功率过程 又设W tutvt rr 根据定义得到W t 的功率谱为 1 lim 2 WTT T GE T WW 5 4 33 式中 T W是由函数W t 得到的截断函数Wt T 的频谱 所用矩形函数的截断区间为 T T 由傅里叶变换的线性性质得到 TTT WUV 因此 WUVUVVU GGG GG 5 4 34 式中 1 lim 2 UVTT T E T GUV 5 4 35a 1 lim 2 VUTT T E T GVU 5 4 35b 称GUV 和GVU 为随机过程ut r 和vt r 的互谱密度 它们是随机过程在每一频率 上相似性的量度 互谱密度函数具有下列性质 1 对于任意实值随机过程ut r 和vt r VUUV GG 5 4 36a UVUV GG 5 4 36b 2 互相干函数和互谱密度函数构成傅里叶变换对 更确切地说 对于一般的随机过程 互相干函数的时间平均和互谱密度函数构成傅里叶变换对 即 1 F UVUV F t t G 5 4 37a 1 F VUVU F t t G 5 4 37b 只有当过程ut r 和vt r 联合广义平稳时 互相干函数才与时间坐标原点的选取无关 这 时互相干函数与互谱密度函数构成如下的傅里叶变换对 1 F UVUV F G 5 4 38a 1 F VUVU F G 5 4 38b 这个性质也叫做 Wiener Khinchin 定理 2 光场互谱密度函数与相干性的关系 246 在上面的互谱密度函数的讨论中 我们假定了随机过程用实函数ut r 和vt r 来表 示 现在将上面讨论所得到的结果加以推广 假设表示光扰动的是解析函数u t和v t 由此可以得到复函数表示的互相干函数 12 和复 互 相干度 12 其中 12 12 2 exp Gjd 5 4 39 将 12 用 120 进行归一化 就得到复相干度 12 12 12 12 12 exp 2 d 0 d j G G exp G122 jd 5 4 40 式中 G12 为归一化的互谱密度函数 5 5 干涉图与光源功率谱密度的关系 应用举例 根据 Wiener Khinchin 定理 光源的功率谱密度 G 和自相干函数 构成一个傅里 叶变换对 G 和 都是在实验上可以测量的量 我们只要测量出其中的一个就可以 用上述关系推算出另一个 等价地 也可以用归一化功率谱密度 G 和复自相干度 之 间的傅里叶变换关系进行计算 本节中介绍已经得到重要实际应用的两个例子 一 由光源的功率谱密度确定干涉图的形式 由 5 3 18 5 3 19 式 迈克耳逊干涉仪中探测器所探测到的光强为 IKK D 1 2 2 2 I K K KK 0 12 1 2 2 2 1 2 Re 5 5 1 式中 exp j 2 5 5 2 为简化讨论 设KK 12 1 于是得到 II D Re 21 0 5 5 3 或 II D 21 0 cos 2 5 5 4 式中的复自相干度与归一化的功率谱密度的关系由 5 4 30 式给出 0 exp 2 dGj 5 5 5 由上面几个关系式可以看出 如果已知光源归一化的功率谱密度 G 则根据上式就 能够计算出相应的复自相干度 再由 和 5 5 4 式就可以预测干涉图结构 因此 根据以上结果就可以研究不同光源的时间相干性 下面列举三个典型的例子来介绍应用这 一方法所得到的结论 1 高斯线型光源 247 低压气体放电灯的一条单谱线其功率谱的形状主要是由运动辐射体所发出的光的多普 勒频移所决定的 这些运动辐射体之间只是偶尔发生碰撞 光谱分布函数近似地具有高斯 线型 它的归一化功率谱密度为 2 2 ln2 exp2 ln2G 5 5 6 式中 是半功率带宽 将 G 代入 5 5 5 式 得到复 自 相干度为 exp ln exp 22 2 2 j 5 5 7 将上式与 5 5 2 式相比较得知式中 0 可见度随着 的模的减小而减小 干涉图 的包络为 2 2ln2 exp 5 5 8 2 洛伦兹线型光源 高压气体放电灯的光谱的谱型主要由辐射原子或分子相对频繁的碰撞而决定 由于碰 撞加宽效应使得光源的谱密度函数具有洛伦兹线型 其归一化的谱密度函数为 1 2 2 12 G 5 5 9 式中 为谱线的中心频率 为半功率带宽 将上式代入 5 5 5 式得到相应的复相干度 为 exp exp j2 5 5 10 在洛伦兹线型光源的情形中同样有 0 干涉图的包络为 exp 5 5 11 3 矩形谱密度光源 有时在理论计算中假定光源的归一化谱密度函数用下面的矩形函数来表示 即 G 1 rect 5 5 12 由 5 5 5 式 得到复 自 相干度为 2exp sinc j 5 5 13 干涉图的包络线为 sinc 5 5 14 5 5 4 式中的相位函数 对所有的 都不为零 具体来说当sinc函数从一瓣到另一 瓣时 在 0 到 弧度之间跳变 248 0221 2122 nn nn n 012 5 5 15 以上三种线型光源的归一化功率谱密度及复 自 相干度的包络曲线同示于图 5 13 中 图5 13 三种线型的 a 归一化功率谱密度 G b 复相干度的包络 为了定量地描述时间相干性在第二章 2 1 节中曾经定义过相干时间 相干时间的定义 具有人为性 Mandel 提出了一种方法 通过复 自 相干度来定义光扰动u t的相干时间 c 具体来说 2 0 c d 5 5 16 根据这一定义 上面所列举的三种谱密度函数分布光源的相干时间如下 高斯线型 c 22 10664ln 5 5 17a 洛伦兹线型 c 10318 5 5 17b 矩形线型 c 1 5 5 17c 二 傅里叶变换光谱学 用迈克耳逊干涉仪测量由同一光源分得的两束光的干涉图 并由此确定干涉条纹的可 见度函数和复 自 相干度 再根据 计算出光源的光谱分布 这就是傅里叶变 换光谱学所依据的基本原理 目前这种傅里叶光谱技术已经获得了广泛的应用 已有多种 型号的傅里叶变换光谱仪的产品出售 在测量干涉图时固定迈克耳逊干涉仪中的一个反射镜 由零程差开始 连续或步进移 动另一个反射镜 这时两臂上光到达探测器的时间差也随之变化 由 5 5 3 式探测器测得 的光强 II D Re 21 0 5 5 18 249 因此 Re II I D 2 2 0 0 5 5 19 对上式两边作傅里叶变换 并注意到等式左边的符号Re 求出的功率谱密度 G应 为非负实函数 对 5 5 19 式作傅里叶变换时 取它的实部或者说只取其余弦变换部分 于 是就得到了光源归一化的功率谱密度函数 cosG I I D 2 12 0 d 5 5 20 在实际测量中测得 5 5 18 式所表示的 的函数ID 以后 将得到的干涉图数字化 再作一次数字傅里叶变换 通常使用快速傅里叶变换方法 图 5 14 a 表示了一个典型的中 远红外干涉图 由这幅干涉图得到的功率谱密度分布示于图 5 14 b 中 图5 14 a 用两种不同的水平标尺画出的 b 图a的傅里叶变换式 表示光源的光谱 纵 典型的中远红外干涉图 纵轴代表检测强度 轴表示功率谱密度 而横轴表示光波波数 2 横轴代表光程差 最大光程差为0 125cm 单位为 1 cm 所达到的分辨率为8 1 cm 传统的直接测量光谱的仪器有棱镜光谱仪 法布里 珀罗干涉仪 光栅光谱仪等 与 它们相比较 傅里叶变换光谱技术有着明显的优点 一般光谱仪采用狭缝光源 光能量较 弱 而傅里叶变换光谱仪中可以使用扩展光源 因而能够获得很大的辐射通量 一般的光谱仪在某一瞬时只能记录一种光谱线 傅里叶变换光谱仪每次检测到的信号 包含了全部光谱成份 且输出光能量比传统的光谱仪器大得多 与传统的光谱仪相比它具 有更高的灵敏度和信噪比 特别适用于研究极弱的光源 傅里叶变换光谱仪的分辨率取决 于可动反射镜的最大移动距离 因此可以获得很高的分辨率 正由于这些优点使得傅里叶 变换光谱技术从 20 世纪 60