福建省厦门市高二数学上学期期末试卷 理（含解析）.doc

福建省厦门市2014-2015学年高 二上学期期末数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分48分）1（5分）已知ab，a0，b0，cr，c0则下列不等式成立的是（）aa+cb+cbacbccda2b22（5分）已知数列an满足a1=1，an=an1+3（n2），则a100等于（）a297b298c299d3003（5分）在abc中，若a=30，b=45，bc=，则ac等于（）ab2c1d4（5分）下列命题中，真命题是（）axr，x20bx0r，x02x0+1=0c24是3的倍数且是9的倍数d“若b=0，则函数f（x）=ax2+bx+c为偶函数”的逆否命题5（5分）已知双曲线=1的右焦点到其渐近线的距离等于，则该双曲线的离心率等于（）abc2d6（5分）如图，平行六面体oabcoabc中，设=，=，=，g为bc的中点，用，表示向量，则等于（）a+b+c+d+7（5分）设sn为等比数列an的前n项和，若27a2a5=0，则等于（）a27b10c27d808（3分）已知a0，b0，若不等式+恒成立，则m的最大值等于（）a7b8c9d109（5分）已知函数f（x）=xsinx，当x1，x2（，）时，f（x1）f（x2），则x1，x2的关系是（）ax1x2bx1+x2=0cx1x2dx12x2210（5分）已知抛物线c：y2=8x的焦点为f，点m（1，0），不垂直于x轴的直线于抛物线相交于a，b两点，若x轴平分amb，则fab的面积的取值范围是（）a（2，+）b13（5分）已知空间三点a（0，2，3），b（2，1，6），c（1，1，5），则与的夹角为14（5分）已知a，br，则“a=b”是“=”的条件（充分不必要，必要不充分，充要，既不充分也不必要）15（5分）如图，某观测站c在a城的南偏西20，一条笔直公路ab，其中b在a城南偏东40，b与c相距31千米有一人从b出发沿公路向a城走去，走了20千米后到达d处，此时c，d之间的距离为21千米，则a，c之间的距离是千米16（5分）对各项均为正整数的数列an，若存在正整数m和各项均为整数的数列bn，满足（1）0bnm；（2）m是anbn的约数；（3）存在正整数t，使得bn+t=bn对所有nn*恒成立则称数列an为模周期数列，其中数列bn称为数列an的模数列，t叫做数列bn的周期已知数列an是模周期数列，且满足：a1=1，an+1=2an+1，若m=10，则一个可能的t=三、解答题（共6小题）17（12分）已知abc的内角a，b，c，所对的边分别为a，b，c，且a=4，cosb=（）若b=3，求sina的值；（）若abc的面积为12，求b的值18（12分）某厂生产甲，乙两种产品，生产每吨产品所需的劳动力、钢材以及耗电量如下表：产品品种劳动力（单位：个）钢材（单位：千克）电（单位：千瓦）甲产品394乙产品1045已知生产甲产品的利润是每吨3万元，生产乙产品的利润是每吨5万元，现因条件限制，该厂仅有劳动力300个，钢材360千克，并且供电局只能供电200千瓦，试问该厂如何安排生产，才能获得最大利润19（12分）如图，四棱锥pabcd的底面abcd为矩形，pa底面abcd，bc=4，ab=pa=2，m为线段pc的中点，n在线段bc上，且bn=1（）证明：bman；（）求直线mn与平面pcd所成角的正弦值20（12分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+1，曲线y=f（x）在（1，f（1）处的切线方程为y=4x1（）求函数f（x）的解析式；（）若函数y=f（x）的图象与直线y=kx1有三个公共点，求k的取值范围21（12分）设点a，b的坐标分别为（a，0），（a，0），直线ac，bc相交于点c，且它们的斜率之积是（常数a，b为正实数）（）求点c的轨迹e的方程；（）设o为坐标原点，p，q为轨迹e上的动点，且opoq，求+的值22（12分）下图中的三角形称为谢宾斯基（sierpinski）三角形这些三角形中的着色与未着色的三角形的个数具有一定的规律按图（1）、（2）、（3）、（4）四个三角形的规律继续构建三角形，设第n个三角形中包含f（n）个未着色三角形（）求出f（5）的值；（）写出f（n+1）与f（n）之间的关系式，并由此求出f（n）的表达式；（）设，数列an的前n项和为sn，求证：福建省厦门市2014-2015学年高二上学期期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分48分）1（5分）已知ab，a0，b0，cr，c0则下列不等式成立的是（）aa+cb+cbacbccda2b2考点：不等式的基本性质 专题：不等式分析：利用不等式的基本性质，判定每一个选项中的不等式是否成立即可解答：解：aab，a+cb+c，故a正确；b当c0时，不成立；c取a=2，b=1，满足ab，但是不成立d，取a=1，b=11，满足ab，但a2b2不成立故选：a点评：本题考查了不等式的基本性质，属于基础题2（5分）已知数列an满足a1=1，an=an1+3（n2），则a100等于（）a297b298c299d300考点：等差数列的通项公式 专题：等差数列与等比数列分析：由已知可知数列an是以3为公差的等差数列，由等差数列的通项公式即可求得a100的值解答：解：由an=an1+3（n2），得anan1=3（n2），即数列an是以3为公差的等差数列，又a1=1，a100=1+（1001）3=298故选：b点评：本题考查了等差数列的通项公式，是基础的计算题3（5分）在abc中，若a=30，b=45，bc=，则ac等于（）ab2c1d考点：正弦定理 专题：计算题；解三角形分析：由正弦定理可得ac=，代入已知即可求值解答：解：由正弦定理可得：，从而有：ac=2，故选：b点评：本题主要考察了正弦定理的应用，属于基本知识的考查4（5分）下列命题中，真命题是（）axr，x20bx0r，x02x0+1=0c24是3的倍数且是9的倍数d“若b=0，则函数f（x）=ax2+bx+c为偶函数”的逆否命题考点：命题的真假判断与应用 专题：阅读型；函数的性质及应用；简易逻辑分析：由xr，x20，即可判断a；运用二次方程的判别式，即可判断b；由倍数的概念即可判断c；运用函数的奇偶性的定义和图象以及互为逆否命题的等价性即可判断d解答：解：对于axr，x20，则a错；对于b由于x2x+1=0，判别式为140，方程无实数解，则b错；对于c.24是3的倍数但不是9的倍数，则c错；对于d若b=0，则函数f（x）=ax2+bx+c即为f（x）=ax2+c为偶函数，由原命题和逆否命题互为等价命题，则其逆否命题为真命题则d对故选：d点评：本题考查全称性和存在性命题的真假的判断，以及命题的四种形式和关系，考查函数的奇偶性的判断，属于基础题和易错题5（5分）已知双曲线=1的右焦点到其渐近线的距离等于，则该双曲线的离心率等于（）abc2d考点：双曲线的简单性质 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：求出双曲线的焦点，渐近线方程，再由点到直线的距离公式解方程可得m，再由离心率公式计算即可得到解答：解：设双曲线=1的右焦点为（c，0），且c=，其渐近线方程为y=x，则右焦点到其渐近线的距离=|m|=，则有m2=3，即有c=，又a=2，则e=故选：d点评：本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的运用，考查点到直线的距离公式及离心率的求法，属于基础题6（5分）如图，平行六面体oabcoabc中，设=，=，=，g为bc的中点，用，表示向量，则等于（）a+b+c+d+考点：平面向量的基本定理及其意义 专题：平面向量及应用分析：根据向量的加法运算，向量加法的平行四边形法则，以及平行六面体的边的关系即可用表示出解答：解：=故选c点评：考查向量的加法运算，向量加法的平行四边形法则，以及平行六面体边的关系，相等向量，相反向量的概念7（5分）设sn为等比数列an的前n项和，若27a2a5=0，则等于（）a27b10c27d80考点：等比数列的性质 专题：等差数列与等比数列分析：由题意易得等比数列的公比q，再由求和公式代值计算可得解答：解：设等比数列an的公比为q，则27a2a2q3=0，解得q=3，=1+q2=10故选：b点评：本题考查等比数列的求和公式和性质，求出公比q是解决问题的关键，属基础题8（3分）已知a0，b0，若不等式+恒成立，则m的最大值等于（）a7b8c9d10考点：基本不等式 专题：不等式的解法及应用分析：a0，b0，不等式+恒成立，可得，利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出解答：解：a0，b0，不等式+恒成立，=5+=9，当且仅当a=b=时取等号m的最大值等于9故选：c点评：本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质、恒成立问题的等价转化方法，属于基础题9（5分）已知函数f（x）=xsinx，当x1，x2（，）时，f（x1）f（x2），则x1，x2的关系是（）ax1x2bx1+x2=0cx1x2dx12x22考点：函数单调性的判断与证明 专题：函数的性质及应用分析：先判断函数f（x）的奇偶性与单调性，再由f（x1）f（x2）得出正确的结论解答：解：f（x）=xsin（x）=xsinx=f（x），函数f（x）=xsinx是偶函数，又f（x）=sinx+xcosx，当x时，f（x）0，f（x）是增函数，x时，f（x）0，f（x）是减函数；f（x1）f（x2）f（|x1|）f（|x2|）|x1|x2|x12x22故选：d点评：本题考查了函数的奇偶性与单调性的应用问题，是综合性题目10（5分）已知抛物线c：y2=8x的焦点为f，点m（1，0），不垂直于x轴的直线于抛物线相交于a，b两点，若x轴平分amb，则fab的面积的取值范围是（）a（2，+）b化为t=1|ab|=，f（2，0）到直线ab的距离d=，sfab=（m0）fab的面积的取值范围是故选：a点评：本题考查了抛物线的标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、角平分线的性质、斜率计算公式、弦长公式、三角形的面积计算公式、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）11（5分）已知点a（2，0），b（2，0），p是双曲线y2=1上任意一点，则|pa|pb|=2考点：双曲线的简单性质 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：求出双曲线的a，b，c，则a，b为双曲线的焦点，再由双曲线的定义，即可得到所求值解答：解：双曲线y2=1的a=，b=1，则c=2，则a（2，0），b（2，0）为双曲线的焦点，由双曲线的定义可得，|pa|pb|=2a=2则|pa|pb|=2故答案为：2点评：本题考查双曲线的定义和方程，考查运算能力，属于基础题12（5分）不等式2的解集是x|x2或x3考点：其他不等式的解法；指数函数的单调性与特殊点 专题：计算题；转化思想；不等式的解法及应用分析：直接利用指数函数的单调性，化简不等式，然后求解二次不等式即可解答：解：因为指数函数y=2x是增函数，所以2化为：x25x+51，即x25x+60，解得x2或x3，所以不等式的解集为：x|x2或x3，故答案为：x|x2或x3点评：本题考查指数函数的单调性的应用，二次不等式的解法，考查就算了转化思想的应用13（5分）已知空间三点a（0，2，3），b（2，1，6），c（1，1，5），则与的夹角为考点：空间向量的夹角与距离求解公式 专题：计算题；空间位置关系与距离分析：由a（0，2，3），b（2，1，6），c（1，1，5），先分别求出，再由cos，求出与的夹角的余弦值，由此能求出与的夹角解答：解：a（0，2，3），b（2，1，6），c（1，1，5），=（2，1，3），|=，=（1，3，2），|=，cos=与的夹角为故答案为：点评：本题考查空间向量的夹角公式的应用，是基础题解题时要认真审题，仔细解答14（5分）已知a，br，则“a=b”是“=”的必要不充分条件（充分不必要，必要不充分，充要，既不充分也不必要）考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：简易逻辑分析：根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可解答：解：若a=b0，则0，0，则=不成立，若=，则ab0，0，即a0，b0，则a+b=2，即（）2=0，则=，即a=b0，故“a=b”是“=”的必要不充分条件，故答案为：必要不充分点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据定义结合方程之间的关系是解决本题的关键15（5分）如图，某观测站c在a城的南偏西20，一条笔直公路ab，其中b在a城南偏东40，b与c相距31千米有一人从b出发沿公路向a城走去，走了20千米后到达d处，此时c，d之间的距离为21千米，则a，c之间的距离是24千米考点：解三角形的实际应用 专题：计算题；解三角形分析：先求出cosbdc，进而设adc=，则sin，cos可求，在acd中，由正弦定理即可求得ac解答：解：由已知得cd=21，bc=31，bd=20，在bcd中，由余弦定理得cosbdc=设adc=，则cos=，sin=，在acd中，由正弦定理得ac=24，故答案为：24点评：本题主要考查了解三角新的实际应用，考查余弦定理、正弦定理的运用解题的关键是利用正弦定理，利用边和角的关系求得答案16（5分）对各项均为正整数的数列an，若存在正整数m和各项均为整数的数列bn，满足（1）0bnm；（2）m是anbn的约数；（3）存在正整数t，使得bn+t=bn对所有nn*恒成立则称数列an为模周期数列，其中数列bn称为数列an的模数列，t叫做数列bn的周期已知数列an是模周期数列，且满足：a1=1，an+1=2an+1，若m=10，则一个可能的t=4（或8，12，16）考点：数列的应用 专题：点列、递归数列与数学归纳法分析：直接计算出前几项的值，即可得出结果解答：解：a1=1，an+1=2an+1，a2=3，a3=7，a4=15，a5=31，a6=63，a7=127，a8=255，由题可知b1=1，b2=3，b3=7，b4=5，b5=1，b6=3，b7=7，b8=5，显然t=4k （kn*）点评：本题考查数列知识，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题三、解答题（共6小题）17（12分）已知abc的内角a，b，c，所对的边分别为a，b，c，且a=4，cosb=（）若b=3，求sina的值；（）若abc的面积为12，求b的值考点：正弦定理；余弦定理 专题：计算题；解三角形分析：（）由已知可求得sinb的值，由正弦定理代入已知即可求sina=的值（）由面积公式可得，即解得c的值，从而由余弦定理可求b的值解答：解：（）cosb=，0b，sinb=，由正弦定理可得：，又a=4，b=3，sina=（）由面积公式，得sabc=acsinb，可解得：c=10由余弦定理，b2=a2+c22accosb=52，解得：b=2点评：本题主要考察了正弦定理、余弦定理、三角形面积公式的综合应用，属于基本知识的考查18（12分）某厂生产甲，乙两种产品，生产每吨产品所需的劳动力、钢材以及耗电量如下表：产品品种劳动力（单位：个）钢材（单位：千克）电（单位：千瓦）甲产品394乙产品1045已知生产甲产品的利润是每吨3万元，生产乙产品的利润是每吨5万元，现因条件限制，该厂仅有劳动力300个，钢材360千克，并且供电局只能供电200千瓦，试问该厂如何安排生产，才能获得最大利润考点：简单线性规划 专题：不等式的解法及应用分析：根据条件建立约束条件，利用线性规划的知识进行求解即可解答：解：设安排生产甲乙两种产品分别为x顿，y顿，利润为z万元，则由题意得约束条件为，目标函数为z=3x+5y，由z=3x+5y得y=，平移直线y=，则由图象可知当直线y=经过点m时直线y=的截距最大，此时z=320+524=180万元，答：安排生产甲乙两种产品分别为20顿，24顿，才能获得最大利润最大利润为180万元点评：本题主要考查生活中的优化问题，利用线性规划是解决本题的关键19（12分）如图，四棱锥pabcd的底面abcd为矩形，pa底面abcd，bc=4，ab=pa=2，m为线段pc的中点，n在线段bc上，且bn=1（）证明：bman；（）求直线mn与平面pcd所成角的正弦值考点：直线与平面垂直的性质；直线与平面所成的角 专题：空间位置关系与距离；空间向量及应用分析：（）以a为原点，分别以，的方向为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系axyz，由=0即可证明anbm（）设平面pcd的法向量为=（x，y，z），由，解得：，取y=1得平面mbd的一个法向量为=（0，1，2），设直线mn与平面pcd所成的角为，则由向量的夹角公式即可求得直线mn与平面pcd所成角的正弦值解答：（本题满分12分）解：如图，以a为原点，分别以，的方向为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系axyz，则a（0，0，0），b（2，0，0），c（2，4，0），d（0，4，0），p（0，0，2），m（1，2，1），n（2，1，0），（3分）（）=（2，1，0），=（1，2，1），（4分）=0（5分），即anbm（6分）（）设平面pcd的法向量为=（x，y，z），（7分）=（2，4，2），=（0，4，2），由，可得，（9分）解得：，取y=1得平面mbd的一个法向量为=（0，1，2），（10分）设直线mn与平面pcd所成的角为，则由=（1，1，1），（11分）可得：sin=|cos，|=|=（12分）点评：本题主要考查了直线与平面垂直的性质，直线与平面所成的角的求法，正确利用空间向量的应用是解题的关键，属于基本知识的考查20（12分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+1，曲线y=f（x）在（1，f（1）处的切线方程为y=4x1（）求函数f（x）的解析式；（）若函数y=f（x）的图象与直线y=kx1有三个公共点，求k的取值范围考点：函数解析式的求解及常用方法；利用导数研究曲线上某点切线方程 专题：导数的概念及应用分析：（）由题意可得f（1）=3+2a+b=4，f（1）=2+a+b=3，联立方程组解得ab可得；（）问题转化为g（x）=x2+1与y=k的交点问题，导数法判g（x）的单调性，数形结合可得解答：解：（）f（x）=x3+ax2+bx+1，f（x）=3x2+2ax+b，由题意可得f（1）=3+2a+b=4，f（1）=2+a+b=3，联立解得a=0，b=1，函数f（x）的解析式为f（x）=x3+x+1；（）由（）可得f（x）=x3+x+1，联立y=kx1可得x3+（1k）x+2=0，易得x=0不是方程的解，故k=x2+1，设g（x）=x2+1，则g（x）=2x=，令g（x）=0可得x=1，可得当x（1，+）时，g（x）0，g（x）在（1，+）上单调递增；当x（0，1）时，g（x）0，g（x）在（0，1）上单调递减；当x（，0）时，g（x）0，g（x）在（，0）上单调递减；g（x）的大致图象如图所示，g（1）=4是函数的极小值，结合图象可知当k4时，直线y=k和函数g（x）恰有三个公共点，即函数y=f（x）的图象与直线y=kx1有三个公共点点评：本题考查函数解析式的求解和导数法判函数的单调性，数形结合是解决问题的关键，属中档题21（12分）设点a，b的坐标分别为（a，0），（a，0），直线ac，bc相交于点c，且它们的斜率之积是（常数a，b为正实数）（）求点c的轨迹e的方程；（）设o为坐标原点，p，q为轨迹e上的动点，且opoq，求+的值考点：直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程 专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（）利用直接法求点c的轨迹e的方程；（）设p（1，），q（2，+），利用极坐标方程求：+的值解答：解：（