高考数学一轮复习 第六章 数列 6.1 数列的概念和表示法课件.ppt

第六章数列 6 1数列的概念和表示法 高考数学 浙江专用 考点数列的概念和表示方法1 2016浙江 13 6分 设数列 an 的前n项和为sn 若s2 4 an 1 2sn 1 n n 则a1 s5 五年高考 答案1 121 解析解法一 an 1 2sn 1 a2 2s1 1 即s2 a1 2a1 1 又 s2 4 4 a1 2a1 1 解得a1 1 又an 1 sn 1 sn sn 1 sn 2sn 1 即sn 1 3sn 1 由s2 4 可求出s3 13 s4 40 s5 121 解法二 由an 1 2sn 1 得a2 2s1 1 即s2 a1 2a1 1 又s2 4 4 a1 2a1 1 解得a1 1 又an 1 sn 1 sn sn 1 sn 2sn 1 即sn 1 3sn 1 则sn 1 3 又s1 是首项为 公比为3的等比数列 sn 3n 1 即sn s5 121 评析本题考查了数列的前n项和sn与an的关系 利用an 1 sn 1 sn得出sn 1 3sn 1是解题的关键 2 2015课标 16 5分 设sn是数列 an 的前n项和 且a1 1 an 1 snsn 1 则sn 答案 解析 an 1 sn 1 sn sn 1 sn sn 1sn 又由a1 1 知sn 0 1 是等差数列 且公差为 1 而 1 1 n 1 1 n sn 3 2013课标全国 14 5分 若数列 an 的前n项和sn an 则 an 的通项公式是an 答案 2 n 1 解析由sn an 得 当n 2时 sn 1 an 1 当n 2时 an 2an 1 又n 1时 s1 a1 a1 a1 1 an 2 n 1 4 2013安徽 14 5分 如图 互不相同的点a1 a2 an 和b1 b2 bn 分别在角o的两条边上 所有anbn相互平行 且所有梯形anbnbn 1an 1的面积均相等 设oan an 若a1 1 a2 2 则数列 an 的通项公式是 答案an 解析记 oa1b1的面积为s 则 oa2b2的面积为4s 从而四边形anbnbn 1an 1的面积均为3s 即得 oanbn的面积为s 3 n 1 s 3n 2 s 3n 2 即an 评析 oanbn的面积构成一个等差数列 而 oanbn与 oa1b1的面积比为 从而得到 an 的通项公式 本题综合考查了平面几何 数列的知识 5 2017课标全国 文 17 12分 记sn为等比数列 an 的前n项和 已知s2 2 s3 6 1 求 an 的通项公式 2 求sn 并判断sn 1 sn sn 2是否成等差数列 解析本题考查等差 等比数列 1 设 an 的公比为q 由题设可得解得q 2 a1 2 故 an 的通项公式为an 2 n 2 由 1 可得sn 1 n 由于sn 2 sn 1 1 n 2 2sn 故sn 1 sn sn 2成等差数列 方法总结等差 等比数列的常用公式 1 等差数列 递推关系式 an 1 an d 常用于等差数列的证明 通项公式 an a1 n 1 d 前n项和公式 sn na1 d 2 等比数列 递推关系式 q q 0 常用于等比数列的证明 通项公式 an a1 qn 1 前n项和公式 sn 3 在证明a b c成等差 等比数列时 还可以利用等差中项 b或等比中项 a c b2来证明 6 2015课标 17 12分 sn为数列 an 的前n项和 已知an 0 2an 4sn 3 1 求 an 的通项公式 2 设bn 求数列 bn 的前n项和 解析 1 由 2an 4sn 3 可知 2an 1 4sn 1 3 可得 2 an 1 an 4an 1 即2 an 1 an an 1 an an 1 an 由于an 0 可得an 1 an 2 又 2a1 4a1 3 解得a1 1 舍去 或a1 3 所以 an 是首项为3 公差为2的等差数列 通项公式为an 2n 1 6分 2 由an 2n 1可知bn 设数列 bn 的前n项和为tn 则tn b1 b2 bn 12分 以下为教师用书 7 2014广东 19 14分 设数列 an 的前n项和为sn 满足sn 2nan 1 3n2 4n n n 且s3 15 1 求a1 a2 a3的值 2 求数列 an 的通项公式 解析 1 依题有解得a1 3 a2 5 a3 7 2 sn 2nan 1 3n2 4n 当n 2时 sn 1 2 n 1 an 3 n 1 2 4 n 1 并整理得an 1 n 2 由 1 猜想an 2n 1 下面用数学归纳法证明 当n 1时 a1 2 1 3 命题成立 当n 2时 a2 2 2 1 5 命题成立 假设当n k时 ak 2k 1命题成立 则当n k 1时 ak 1 2k 3 2 k 1 1 即当n k 1时 结论成立 综上 n n an 2n 1 1 2017浙江名校杭州二中 已知数列 an 满足a1 2 an 1 n n 设tn a1a2 an 则t2017的值是 a 4b 2c 3d 1 三年模拟 一 选择题 a组2015 2017年高考模拟 基础题组 答案b因为a1 2 an 1 所以a2 3 a3 a4 a5 2 易知 数列 an 是周期数列 且a1a2a3a4 1 所以t2017 t4 504 1 a1 2 2 2016浙江模拟训练卷 三 4 已知数列 an 满足a1 a2 1 1 则a6 a5的值为 a 0b 18c 96d 600 答案c由 1 知数列是等差数列 其首项为 1 公差为1 则 1 n 1 1 n 则a3 2a2 2 a4 3a3 6 a5 4a4 24 a6 5a5 120 故a6 a5 96 3 2015浙江新高考研究卷一 镇海中学 5 数列 an 的通项公式为an kn2 n 满足a1an 1对n 8恒成立 则实数k的取值范围是 a b c d 答案b an 1 an 2kn k 1 n 4时 2kn k 1 0恒成立 n 8时 2kn k 1 0恒成立 解得 k 4 2017浙江镇海中学阶段测试 一 14 已知数列 an 满足a1 15 且an 1 an 2n 则数列 an 的通项公式an 的最小值为 二 填空题 答案n2 n 15 解析当n 2时 an a1 a2 a1 a3 a2 an an 1 15 2 4 6 2 n 1 n2 n 15 又a1 15满足上式 所以an n2 n 15 则 n 1 又3 4 且当n 3时 7 当n 4时 所以的最小值为 5 2017浙江台州4月调研 一模 13 已知数列 an 的前m m 4 项是公差为2的等差数列 从第m 1项起 am 1 am am 1 是公比为2的等比数列 若a1 2 则m an 的前6项和s6 答案4 28 解析由题可知 因此所以4 2 m 1 2 因此m 4 易知a1 2 a2 0 a3 2 a4 4 a5 8 a6 16 因此s6 28 6 2017浙江衢州质量检测 1月 15 在数列 an 中 a1 1 n2 2n an 1 an 1 n n 则通项公式an 答案 解析由题可知 an 1 an 所以当n 2 n n 时 an an an 1 an 1 an 2 an 2 an 3 a4 a3 a3 a2 a2 a1 a1 1 1 7 2017浙江镇海中学第一学期期中 11 设数列 an 的前n项和为sn 且a1 1 对一切n n 都成立 则a2 答案2 2 解析当n 1时 有 即a2 a1 所以a2 2 由 得 则数列是常数列 故 2 8 2016浙江名校 诸暨中学 交流卷一 12 已知数列 an 满足an n n 则a2015 s2015 答案5 15 解析由题意知 当n 4时 an 3 an 所以an 6 an 3 an 因此从第四项起 an 是以6项为一个周期的周期数列 因为该数列的前9项依次为1 2 3 4 5 6 4 5 6 所以a2015 a335 6 5 a5 5 因为在一个周期内各项的和为0 所以s2015 a1 a2 a3 a4 a5 15 10 2017浙江温州三模 4月 22 数列 an 的各项均为正数 且an 1 an 1 n n an 的前n项和是sn 1 若 an 是递增数列 求a1的取值范围 2 若a1 2 且对任意n n 都有sn na1 n 1 证明 sn 2n 1 解析 1 由a2 a1 a1 1 a1 得0a2 a2 1 a2 00 即 an 是递增数列 所以a1的取值范围是12 所以可用数学归纳法证得an 2对任意n n 恒成立 于是an 1 an 1 0 即 an 是递减数列 在sn na1 n 1 中 令n 2 得2a1 1 s2 2a1 解得a1 3 故2不合题意 12分 事实上 当3 a1 时 设an bn 2 则由an 1 an 1可得bn 1 bn 1 所以 于是数列 bn 的前n项和tn b1 3b1 3 故sn 2n tn 2n 3 na1 2 a1 n 3 令a1 t t 0 则由 式得sn不合题意 综合 i ii 有2 a1 14分 于是 故数列 bn 的前n项和tn b1 b1 1 所以sn 2n tn 2n 1 15分 11 2016浙江杭州一模 18 设数列 an 满足a1 且 an 1 n n 1 证明 3 n n 2 设数列的前n项和为sn 证明 sn 3 证明 1 因为a1 且an 1 an 1 0 所以an 1 an 故数列 an 为递增数列 所以an 0 所以 an 1 2 1 3当且仅当an 0 即an 1时 等号成立 命题得证 7分 2 由 1 得 即 所以sn 3 3 命题得证 15分 1 2015浙江名校 绍兴一中 交流卷五 5 记数列 an 的前n项和为sn 若不等式 m对任意等差数列 an 及任意正整数n都成立 则实数m的最大值为 a b c d 1 一 选择题 b组2015 2017年高考模拟 综合题组 答案a由 m 得 m 即5 2a1an 4m 式对任意正整数n都成立 a1 0时 显然成立 a1 0时 式化为5 2 1 4m 令 t 则 式化为5t2 2t 1 4m 令f t 5t2 2t 1 则f t 4m对任意的实数t恒成立 等价于f t min 4m 而f t 5 当t 时 有f t min 4m m 故选a 2 2017浙江名校 绍兴一中 交流卷一 11 若数列 an 满足a4 9 an 1 an 1 an 1 3an 0 n n 则满足条件的a1的所有可能值之积是 二 填空题 答案0 解析由 an 1 an 1 an 1 3an 0知an 1 an 1 0或an 1 3an 0 因为a4 9 所以a3可能为3或8 同理a2可能为1 2 7 从而推得a1可能为0 故满足条件的a1的所有可能值之积是0 3 2017浙江名校 镇海中学 交流卷二 11 已知数列 an 满足a1 且2an 1an 3an 1 an 2 0 设bn n n 则当数列 bn 的前n项和最小时 正整数n的值是 答案7 解析由题可知 2 an 1 an 1 1 an 1 1 an 1 0 所以 2 即bn 1 bn 2 又b1 13 所以bn 13 2 n 1 2n 15 令bn 0 所以n 7 故n 7 4 2017浙江名校 衢州二中 交流卷五 14 数列 an 的前n项和为sn 若a1 14 sn sn 1 3n2 28n 14 则a2 sn的最大值是 答案11 40 解析当n 1时 s1 s2 3 28 14 39 整理得2a1 a2 39 又a1 14 得a2 11 由题意可得 sn 1 sn 3 n 1 2 28 n 1 14 联立 得 an an 1 6n 31 即 an 1 3 n 1 17 an 3n 17 0 令bn an 3n 17 则b1 0 bn bn 1 0 bn 0 即an 17 3n 故数列 an 从第六项开始 an0 故sn的最大值为s5 a1 a2 a3 a4 a5 40 5 2017浙江宁波期末 17 已知数列 an 的通项公式为an n t 数列 bn 的通项公式为bn 3n 3 设cn 在数列 cn 中 cn c3 n n 则实数t的取值范围是 答案 3 6 解析由条件得cn 由c2 c3 得 t 4 解得t 3 由c4 c3 得1 t 7 t 4 解得t 6 即当时 有3 t 6 当3 t 6时 c3 故1 c3 3 当n 4时 an t n t 4b1 a2 b2 所以c1 a1 t 1 c2 a2 t 2 此时有c1 c3 c2 c3 故当3 t 6时 总有cn c3 n n 成立 所以实数t的取值范围是 3 6 6 2017浙江吴越联盟测试 10 已知数列 an 的前n项和sn n3 3n2 2n 6 则 an 的通项公式为an 数列的前n项和tn 答案 解析当n 1时 a1 s1 12 当n 2 n n 时 an sn sn 1 n3 3n2 2n 6 n 1 3 3 n 1 2 2 n 1 6 3n2 3n 所以an 当n 2 n n 时 所以当n 2 n n 时 tn 经检验 当n 1时也成立 所以tn 7 2015浙江冲刺卷三 13 已知数列 an 满足an 1 1 nan 2n n n 则数列 an 的前40项的和为 答案840 解析显然有 k n 则有a2k 1 a2k 1 2 则a1 a3 a5 a7 a37 a39 2 10 20 同理 有 k n 则有a2k 2 a2k 8k 2 则a2 a4 a6 a8 a38 a40 8 1 3 19 20 820 数列 an 的前40项的和为840 8 2017浙江湖州 衢州 丽水4月联考 22 数列 an 中 a1 an 1 n n 1 求证 an 1 an 2 记数列 an 的前n项和为sn 求证 sn 1 三 解答题 解析 1 证明 因为 an 1 0 且a1 0 所以an 0 所以an 1 an an 0 所以an 1 an n n 2 an an 1 an 1 an 2 an 1 an 2 a1 1 an 1 an 2 a1 所以sn 1 9 2017浙江衢州质量检测 1月 20 已知数列 an 满足a1 1 sn 2an 1 其中sn为 an 的前n项和 n n 1 求s1 s2及数列 sn 的通项公式 2 若数列 bn 满足bn 且 bn 的前n项和为tn 求证 当n 2时 tn 解析 1 易知s1 a1 1 且s1 2a2 所以a2 s2 a1 a2 因为sn 2an 1 所以sn 2an 1 2 sn 1 sn 即3sn 2sn 1 所以 即数列 sn 是以1为首项 为公比的等比数列 所以sn n n 2 证明 由 1 知 bn 1 tn 1 1 n 1 而当n 2时 1 1 1 即 tn 10 2017浙江名校 衢州二中 交流卷五 22 设数列 an 其中a1 a 0 an 1 2 1 若数列 an 为递减数列 求实数a的取值范围 2 当a 时 设数列 an 的前n项和为sn 证明 当n 3时 n sn n 解析 1 an 为递减数列 a2 a1 即 2 a 得1 a 2 下面用数学归纳法证明 当1 a 2时 1 an 2 3分 1 当n 1时 由已知1 a1 2 n 1时命题成立 2 假设n k时 命题成立 即1 ak 2 则当n k 1时 ak 1 2在1 ak 2内递增 5 4 2 ak 1 10 2 2 化简得1 ak 1 2 当n k 1时 命题成立 综合1 2 可得1 an 2 6分 此时an 1 an 2 0 所以数列 an 为递减数列 且1 a 2 7分