高三复习课中如何讲好概念.doc

高三复习课中如何讲好概念高明一中 闫智 一问题提出 课堂教学中忽视概念教学或是把概念教学设计成“名词解释”的现象是普遍存在的，高三复习课中尤为突出。许多高三教师认为，讲深讲透概念是高一高二的教学任务，高三复习的重点是教会学生解题。走进课堂也容易发现，多数教师的高三复习课有一个固定的程式：课前练习知识梳理典例分析练习作业测试讲评，概念教学主要是放在“知识梳理”这一块，概念复习的途径主要有三种：一是预先设计好的课件（PowerPoint为主），学生一边观看，教师一边讲解。在讲解过程中，教师通常是把相关概念复述（或是提问学生）、解释，学生则记忆。一般而言，在某一章节或某一单元内容的复习课的第一个课时教师使用这种方法，在这一课时中教师把所有的相关知识进行“梳理”，即为“知识梳理”；二是预先设计好的习题（多以填空的形式），即把概念设计成填空题，让学生填写关键词；三是专门为概念设计的习题，让学生出错，师生纠错，从而达到概念理解的目的。毫无疑问，以上的教学方法对于概念的记忆和理解都是有好处的，数学中有些概念也是可以采取这种教学方式的，比如集合、反函数等。但更应该看到：第一，这种高三复习课中概念教学的模式非常普遍，有模式化的倾向，侧重于概念辨析，教师并没有考虑哪一类的数学概念适合于哪一种教学模式和学习方式，即对通过什么样的方式进行概念学习才是有效的缺乏深入的分析；这样的概念教学只是一种知识的简单再现，必然会使学生的概念理解停留在表象上；第二，按照这种教学流程，教师仅把数学概念学习当作数学解题前的“名词解释”，把概念学习与解题等同或是割裂，省去了概念形成的概括过程，必然会造成学生轻视概念学习，把概念学习变成机械记忆名词术语，把学习概念的过程变成了记忆概念的过程，这会造成学生的学习过程缺失和应用概念的能力低下，当面对新的概念情境时无法从表征中分析出实质，导致解决问题困难。这种教学模式也会使学生的解题系统成为“空中楼阁”，对数学概念缺乏深层次的理解，解决问题的能力低下也可想而知的。这也是许多教师在高三复习教学中的一个误区，即把学生解题能力的强弱完全归因于学生的解题训练水平，把主要精力放在了解题方法的指导和训练上，而忽视了数学思维是建立在数学概念的理解之上的这一基本的数学理解。我们认为，在高三复习课中要把概念理解当做头等重要的教学任务，注重数学概念的形成过程，注重数学本质的抽象概括过程，夯实基础知识，把解题教学建立在概念理解的基础之上。只有建立在概念理解之上的知识体系才是可靠的，也才能支撑起整个数学知识和数学思想方法这个大厦。那么，如何在高三复习课中讲好概念呢？高三复习课中的概念课应该怎么讲？讲什么？同时学生如何才能最有效地在高三复习中学习数学概念呢？下面就谈我们的一些做法。二分析研究 概念教学中要强调基本概念的重要性，重视基本概念蕴涵的智力开发价值，主要是充分挖掘基本概念蕴涵的数学思想方法的教育价值，学生数学能力不强的主要根源在于没有掌握数学基本概念及其联系方式；要让学生养成“不断回到概念中去，从基本概念出发思考问题、解决问题”的习惯；要加强概念联系性的教学，从概念的联系中寻找解决问题的新思路解题的灵活性并不来自于“题型+技巧”，而是来自于概念联系通道的顺畅。 我的研究工作主要从三个方面进行：一是分析高中数学核心概念的复习模式和学生的学习模式，即怎么教与怎么学；二是探究概念教学中应该教给学生什么，教会学生什么；三是有效的概念习题的选用与编制，即什么样的概念适合于什么样的习题。21 怎么教与怎么学211可以采取如下的教学分析流程： 明确概念类别（描述性定义或生成性定义） 明确考纲要求（了解、理解、掌握）分析课标或教材中对该概念的说明及处理方式 设计教学或指导学生的学习方式训练或作业情况分析，确认教学方法与学习方式的有效性明确概念在高中数学中的地位近几年高考考查该概念的试题分析212 案例分析：函数概念的复习（1）概念类别：描述性定义，是高中数学的核心概念。（2）考纲要求：了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射概念；在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图像法、列表法、解析法）表示函数；了解简单的分段函数，并能简单应用。（3）课标中有关函数概念的说明：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，函数的思想方法将贯穿高中数学课程的始终，通过具体函数，结合实际问题，感受运用函数概念建立模型的过程和方法，体会函数在数学和其他学科中的重要性，初步运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的简单问题。（4）教材中函数概念的处理方式：人教A版必修1中，先用三个实例（三种表示法）引出函数的定义，再用学生熟知的一次函数和二次函数来理解函数的构成要素，然后用4个例子（其中有三个实际问题）来说明函数的表示法，包括分段函数，最后引出映射概念。北师大版和苏教版的处理方式与人教A版类似，只是选例有所不同，但都侧重于函数概念的实际背景和对函数表示法的理解，同时，有简单的函数建模的例子，人教B版沿用旧教材的处理方式，先介绍映射概念，再从映射意义上定义函数。（5）明确函数概念的地位：函数是数学最核心的概念之一，其重要性不用多说。（6）近三年广东高考中的函数概念：广东高考历来重视函数的考查，对函数概念的考查重点为函数的表示法（包括分段函数）、简单函数的定义域的求法（实质考查函数表达式的理解、求解不等式与集合语言的正确表达）。07理1（定义域与集合）、07理4文5（客车的运动过程中路程与时间的图像关系）、07理19（立体图形中的函数关系）、08文17（函数建模）、08理19（分段函数的表达式）、09理21（构造函数证明不等式）等，这里所列举的没有包括函数性质研究和函数综合应用的试题。可以看到，函数表达式的理解、函数表示法的理解、函数是如何刻画变量之间的运动规律的、函数建模、函数应用等是近三年广东高考中考查函数概念的重点，难度均中等偏易。同时需要说明的是，近三年广东高考中涉及函数的试题分值所占百分比都是每一年的考卷中占比较重的知识内容。明确概念类别，其意义在于描述性定义与生成性定义的复习重点与策略有所不同；心中有纲，才能准确定位；了解课标要求，目的在于领会新的课程设置的变化，明白变化的深层含义；重新梳理教材中的处理方式，既为了弄清课标要求的具体呈现形式，也是体会数学学者、专家，甚至数学家们是以什么样的方式给学生讲解函数概念的，同时还可以认识到在他们看来，学生应该以什么样的方式学习函数概念是适当的，这对我们的教学是大有裨益的；分析高考试题，是因为高考对于教学而言具有指导性意义，考什么，怎么考，说穿了就是教什么、怎么教和怎么学的效果检测，再者，高考试题是教师组织复习材料的宝贵资源。（7）教法分析：有以下几个要点形成教学基本认识：第一，函数是高中数学中最核心的概念，是数学中的一个大概念，是高中数学的一条主线，贯穿于整个高中数学课程，是高三复习中的重点知识，需要充足的课时；第二，理解函数概念是能够运用函数思想解决有关问题的关键，内容设计的依据是考纲、课标、高考；第三，要区别新课讲授与高三复习课教学组织形式的不同，高三复习课的重点在于帮助学生构建概念的知识系统，清除概念理解上的盲点和难点，规范函数问题的研究方法（函数问题的方法系统），强化函数应用的意识，强化函数思想、数形结合思想的运用意识，提高对数学的认识水平；第四，要凸显函数的重要地位，建立函数是一个解决问题的最基本和最重要的模型的认识观，体现数学的整体性，即函数与其他的数学知识的联系和应用；第五，要精选例习题，淡化形式化的训练，重概念本质理解与应用意识。依据学生的具体情况确定课时量。明确教学内容和目标（解决教什么）：依据课标要求、考纲要求和近三年广东高考对函数概念（以及整个函数内容）的考查情况，我们认为，高三函数概念的复习应该包括以下的内容：第一，讲清背景，设置的例子应包括实际问题、物理背景和几何等其他的数学知识内容。从高三复习的角度来讲，其目的与高一学习时的概念引入不同，这里除了让学生认识到在实际问题、物理情境、数学中其他知识背景中的函数关系，感受到函数无处不在，培养抽象概括能力之外，同样重要的还应该强化学生的函数应用意识和函数建模能力。第二，函数概念的理解。应包括：函数概念的形式化理解，如三种表示法的理解、分段函数、符号、求简单函数的定义域和值域等；从映射意义理解函数是两个变量之间的一种对应关系，这种认识有助于学生更好地掌握各类函数的性质，如单调性就是随变化的一种趋势，奇偶性和周期性就是随变化的一种规律，表现在图像上就具有特殊的图形特征；函数是点的集合，是图形，这种认识有助于学生建立数形结合的意识，借助图像解决函数问题是学生能力体系中的一个较弱的环节，因此，高三复习时应在概念的复习中帮助学生树立正确的数学观，要帮助学生养成用函数图像思考问题的思维习惯。第三，建立函数概念系统，让学生明晰函数的全貌，让学生认识到，只有在理解函数概念的基础上，才能更好地去研究函数性质，以及运用函数解决问题。第四，培养抽象概括的能力，提高认识数学符号和运用数学符号的能力，培养学生的数学表达能力，加强对数形结合、函数思想方法的理解与运用能力。设计教学方案（解决怎么教和怎么学）：第一步，设置背景知识，让学生在经历函数概念形成的过程中，认识到函数是解决问题的一个重要模型；第二步，让学生表述函数定义，并分析如何从定义中认识和理解函数概念，学生可以依据教材和已有的经验进行交流；第三步，设置一组试题，师生共同分析理解函数概念的内涵；第四步，设置有关新定义和函数应用的习题，目的为强化抽象概括、阅读理解的能力和函数应用的意识。编写学案：有框架性的学案即可。小结体会：有两种处理方式，一是师生在课堂上共同进行，二是要学生课后自行小结，教师抽查，课堂点评。作业布置：强调练习一定要与教学内容相匹配。（8）作业与测试的分析与评估：收集作业与测试中的问题，了解学生出错的原因（这很重要，不能省），收集学生的对课堂教学的建议与意见，及时评估教学效果。22 概念教学应该教给学生什么 这个问题与“2. 1怎么教，怎么学”是密切关联的，其意义在于研究如何认识理解高中数学课程中的核心概念，如何设计教学，如何指导学生进行数学学习。从逻辑关系上分析，这个部分应该放在“2. 1怎么教，怎么学”之前，但为了突出目前教师在概念教学中所采取的不恰当的方法，我们有意这样安排，特此说明。我们认为，数学概念的教学中应该设置一些什么的内容，是每一位数学教师都应该进行学习和深入研究的，它体现了教师的数学素养和教学观，对学生的发展意义重大。那么，数学概念中包含了哪些可以在高三复习中必须讲授清楚的内容呢？221 概念的形成过程中，是一个完整的数学化过程，有特例分析，也有抽象概括，有合情推理，也有演绎推理，有直觉思维，也有理性思维，有符号化的过程，也有实际意义的解释，要经历观察、比较、分析、综合、抽象、概括、判断、类比、联系、归纳等一系列的思维活动，蕴含着丰富的数学思想方法和数学思维方法。因此，高三复习中的概念复习课，要重新让学生经历一次完整的数学化过程，从中学习数学表达、体验数学和领悟数学。如果学生能在高三复习中，把高中数学课程中的核心概念的形成过程都完整地经历一次，并且能在教师的引导下，不断地体验、领悟，这对学生认识数学会产生什么影响？学生通过高一高二的学习，积累了大量的素材和经验，也有自己的一些对数学的看法，但倘若教师不对学生的积累进行提炼和去粗取精，甚至一些错误的认识得不到纠正，那么学生对数学的认识始终会停留在意识的浅层上，存在许多不确定性的内容，学生的经验系统将得不到优化，这对解题能力的提高会造成巨大的障碍和危害。222 概念的辨析过程，是一个数学理解的过程。在这个过程中，学生将认识到概念的内涵和外延，特别地对概念内涵的认识是一个概念同化的过程，并由此获得概念，其重要性不言而喻。在这个过程当中，必须帮助学生提高对数学三种语言表达形式（文字语言主、符号语言和图形语言）的认识和转化能力，培养学生的数学表达能力，即能说，会写，还能画。高三复习中的概念辨析，要介绍完整的概念系统，建立相关概念的联系，让学生学习构建知识结构的方法，提高抽象概括的能力；要精选例子，教学中要让学生自己多举例，包括正例和反例，要解决掉学生理解上存在的难点和盲点，准确把握数学概念的方方面面，让学生丰富自己的数学素材库，同时也学习数学判断的方法，尽量少一些空洞的说教。 223 剖析数学概念中的精华元素，升华学生的思维水平，我们以椭圆的定义及其标准方程为例说明这个问题。（1）定义形式：数学语言的认识。文字语言：动点到两定点的距离和为常数。符号形式：。图式：当不共线时，构成一个三角形，这是椭圆中一个重要图形。（2）知识链接：类比、联想，加深对椭圆定义和形状的认识，培养学生的综合能力。把定义改编成一个命题：若，则动点的轨迹是一个椭圆，此命题是一个充要条件。联想：时，动点的轨迹是什么？即轨迹产生须具备相应的条件，当条件变化时，自然引起轨迹的变化，这和数学中其它结论的产生的逻辑意义是一样的。请不要小看此分析过程，首先，因为它具有方法论的意义，是对数学推理的一种必需的认识，有助于培养学生进行数学推理的严谨性和尊重科学的态度。其次，又能提高学生对数学符号的认识水平，帮助学生顺利实现符号向图形的转化。最后，学生会因此而产生“理解迁移”，提高对其它数学概念的理解能力。变化：当定点确定，常数在满足条件下发生变化时，椭圆的形状会发生怎样的变化？反过来，当常数（满足）不变，而两定点的位置发生改变时，椭圆的形状又会发生什么样的变化呢？在这个分析过程中，重点讲好两个问题：第一，要引导学生从现象中抽象出数学本质，椭圆形状的变化实质为的变化，或是离心率的变化所引起的，这也就是离心率的代数意义和几何意义，即。第二，要联系椭圆定义中的图式来理解此变化，会使学生产生联想：的形状与椭圆的形状有必然的联系，怎么研究这种联系呢？关键在于的变化与椭圆形状变化的联系，学生会联系解三角形的方法来完成此工作。此时，还可以给学生介绍“优美椭圆”，让学生不仅能欣赏数学思维的精妙，也能享受数学的美。类比：教师应该让学生依据椭圆定义的学习方式去建立圆锥曲线的概念系统，对比椭圆、双曲线、抛物线的定义，提出自己的见解，加深对数学概念的认识能力。实际教学中发现，这项工作致使部分同学对椭圆、双曲线的第二定义产生了兴趣（类比抛物线），不少学生还能够找到椭圆与双曲线的准线，这让教师欣喜不已。有些学生还把教材练习（人教A版选修2-1P40练习4，P47习题2。1A组第7题）的结论（结论是椭圆）与上述两个定义进行了比较，甚至于有同学联系到了参数方程中椭圆的形成方法，认为，椭圆的形成有多种方法，如果以此作为第三定义或第四定义，语言不精炼，缺乏美感。此时，教师再抓住时机把椭圆可以截圆锥而得到也介绍给学生，能够让学生对椭圆这一几何形状的认识变得丰富起来。这可是一项了不起的工作，它能极大地提高学生的数学研究兴趣。概念就是一个解题模型，教学中教师可以把此当作一个中心话题来展开分析。具体做法是，预先布置学生课后去收集与此主题相关的习题，教师也准备好有代表意义的经典好题，可以把面拓宽一些，高三复习本来就应该注重数学的整体性，当时机恰当时，就须配置综合性的范例或练习。然后师生共同谈看法，最后让学生自行总结，教师点评，形成结论。椭圆定义中有三种模型：的模型，直线（或直线）与椭圆的交点是，与的转化模型，三种模型对应三类不同的解题方法，再配以精选的例题，能够较好地建立应用椭圆概念解决有关问题的思维模式，而模型化的思想是高中数学中提高学生解题能力的一种有效途径。标准方程的建立要突出坐标法的选择，教学中应让学生思考几个问题：第一，坐标系的选择理由是什么？这对后面复习立体几何中的向量方法是非常有好处的。第二，为什么不象平面几何中研究圆的性质一样去研究椭圆的简单几何性质？这有助于学生更好地理解解析几何的思想。第三，标准方程可以看作是椭圆的另一种符号形式，怎么快速地把椭圆形状与标准方程建立起对应关系呢？这有助于学生建立认识方程的一种规范化的模式，即标准化，以及把符号图形化和把图形符号化（方程）的意识。（3）提炼概念中所深含的数学思想方法，帮助学生形成数学观念和意识。23 有效的概念习题的选用与编制，即学生应该练什么 我们认为概念复习中必须配备的习题应包括以下的类型：（1）数学建模的习题（2）新知识背景的概念理解的习题（3）概念辨析类的习题（4）应用概念解决问题的习题（5）与概念关联性较强的综合性的习题（6）有助于提炼概念中的数学思想方法的习题三研究方法和结论31 实验方法 实验的方法主要是采取对比教学和案例分析的方式，参与实验的有四个班，高三1和高三2（两个理科实验班），高三5和高三6（两个理科普通班）。其中高三2和高三5班采用现在教师普遍使用的“辨析概念+解题训练”的概念教学模式（简称模式一，下同），高三1和高三6则采用上面所述的新的概念教学方案（简称模式二，下同），对比教学的课程内容是两个章节函数与平面向量，形成结论以后，整个高三年级现在都采用新的概念教学方案。在实验中，课后的作业、练习与测试都是完全相同的，课堂教学中使用的素材可以不同，这样是为了比较分析的有效性。32 实验效果检测 检测的方法主要采取三种形式：测试成绩的数据分析、听课评课、学生评价（座谈或问卷），其中成绩的数据分析是检测效果的最主要依据，也更客观些。实验初期两种模式所产生的效果差异不是很明显，但进入到函数章节复习的后期时，对比班测试成绩的平均分已相差近5分，当进入到平面向量的复习时，对比班的成绩差异已经较大，采用模式二的班级平均分和优生率都明显好于采用模式一的教学班，因此，我们决定不能再用模式一的教学方式，全年级应该统一使用模式二进行概念教学。 长期使用模式一进行概念教学，学生会出现许多能力上的缺陷，主要表现在：（1）概念系统中有缺漏，不完整，解题时出现知识性错误。这是由于教师没有让学生主动建构完整的概念系统，只注重概念的辨析训练所造成的。（2）较少学生会采用实证的方法进行数学判断，这是由于教师在教学中不重视让学生自己举例（正例和反例），学生的素材不够丰富，实证意识不强。学生在处理较为抽象的概念辨析问题，会显得办法不多，或是总想着去进行逻辑论证，脑子里没有相应的素材产生联系，极容易犯错。（3）由概念产生联想的能力较弱，思维不活，解题时办法不多，容易产生思维障碍。这是由于模式一的教学看起来学生进行了大量的训练，好像积累了较多的素材，但真正对概念本质的理解需要经历概念的形成过程，而这正是模式一所缺失的，因此会使学生对概念的理解不深入，也不全面，不能产生有效的联想也就是必然的结果。（4）应用概念的意识不强，因为没有概念是一种解决问题的模型的认识，同时概念的应用其实就是数学思想方法的运用，而这又是模式一的教学方式中所弱化的。（5）抽象概括能力不强，因为经历概念的形成过程是培养学生概括能力最有效的途径，也是理解概念所必须的，模式一的教学方式显然不能够完成此项目标，所以当学生面对新概念情境时会产生诸多的困难，甚至读不懂题，不能从新概念背景中概括出本质属性，解题当然会出现问题。（6）建模能力的提高需要重新花费大量的专题性的强化训练，本来概念产生的过程很多时候就是数学建模的过程，就是运用数学解决问题的过程，而模式一的教学方式更强调在数学习题中去理解概念，试图通过大量练习来达到掌握概念的目的，实验的结果说明这种方式是低效的，甚至于连记忆效果也不明显。（7）无助于学生学习能力的培养，这无疑是本末倒置。 下面是我们在实验中所统计的一组数据，从中你也许会得到一些启示（这两条习题分别是两次不同的测试中所使用的）。：已知函数的定义域为a，b，其中a、若函数的值域为0，1，则满足条件的整数对（a，b）个数为（A）2（B）5（C）6（D）8：（2008浙江）已知，是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足,则的最大值是 回答正确人数回答错误人数得分率高三5高三6高三5高三6高三5高三61421352529%45%925402123%53%（A）1 （B）2 （C） （D）其中高三5采用模式一，高三6采用模式二。33 教学建议331 高三复习中应该加强概念教学的力度和有效性研究，树立正确的教学观 我们的研究工作其意义在于：通过两个对比班分别采用不同的概念教学模式，用三种方式对效果进行了检测，用实证的方法说明了高三复习课中概念教学的重要性，以及如何进行概念复习是有效的。象现