江苏省南京市2014-2015学年高一第二学期期末学情调研测试数学试卷(含答案).doc

南京市20142015学年度第二学期期末学情调研测试卷 高 一 数 学 2015.07注意事项：1本试卷共4页，包括填空题(第1题第14题)、解答题(第15题第20题)两部分本试卷满分160分，考试时间120分钟 2答题前，考生务必将自己的学校、姓名、考试号填涂在答题卡上指定的位置3答题时，必须用黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上指定的位置，在其他位置作答一律无效4本卷考试结束后，上交答题卡参考公式：锥体的体积公式为：V锥体Sh，其中S为锥体的底面积，h为锥体的高一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分请把答案填写在答题卡相应位置上1不等式0的解集为 2数列an是等比数列，若a31，a54，则a7的值为 3在ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c已知a2b2abc2，则角C的大小为 4点P(3，2)到直线l：3x4y260的距离为 5函数yx (x1)的最小值为 6过点P(，1)，倾斜角为120的直线方程为 7公差不为0的等差数列an的前n项和为Sn，若a82a3，则的值为 8若三条直线ax2y80，4x3y100和2xy0相交于一点，则实数a的值为 9下列命题： 如果一条直线平行于平面内的一条直线，那么这条直线与这个平面平行；垂直于同一条直线的两个平面互相平行；如果一条直线与平面内无数条直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直；如果一个平面内有一条直线与另一个平面垂直，那么这两个平面互相垂直其中正确的命题的序号为 10已知经过A(1，a)，B(a，8)两点的直线与直线2xy10平行，则实数a的值为 11在ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c若bcosCccosBcsinA，则的最大值为 12若一个圆锥的侧面展开图是一个半径为2cm的半圆，则这个圆锥的体积为 cm313已知x0，y0，且xyx2y，则xy的最小值为 14已知an3n，bn3n，nN*，对于每一个kN*，在ak与ak1之间插入bk个3得到一个数列cn设Tn是数列cn的前n项和，则所有满足Tm3cm1的正整数m的值为 二、解答题：本大题共6小题，共90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（本小题满分14分）已知直线l：x2y2m20(1)求过点(2，3)且与直线l垂直的直线的方程；(2)若直线l与两坐标轴所围成的三角形的面积大于4，求实数m的取值范围16（本小题满分14分）一副直角三角板（如图1）拼接，将BCD折起，得到三棱锥ABCD（如图2） (1)若E，F分别为AB，BC的中点，求证：EF平面ACD；(2)若平面ABC平面BCD，求证：平面ABD平面ACDABCDCBADFE（第16题图1）（第16题图2）17（本小题满分14分）如图，在平面四边形ABCD中，AD，CD，ABD60，ADB75，（第17题图）ADC120（1）求BD的长；（2）求ABC的面积 18（本小题满分16分）如图，用一块矩形木板紧贴一墙角围成一个直三棱柱空间堆放谷物已知木板的长BC紧贴地面且为4米，宽BE为2米，墙角的两堵墙面所成二面角为120，且均与地面垂直，如何放置木板才能使这个空间的体积最大，最大体积是多少？ABCFE120D（第18题图）19（本小题满分16分）已知公差不为0的等差数列an的前n项和为Sn，满足S3a44，且a2，a6，a18成等比数列(1)求数列an的通项公式；(2)设bn，求数列bn的前n项和Tn；(3)设cn，若cn为等差数列，求实数t的值20（本小题满分16分）设等比数列an的首项为a12，公比为q(q为正整数)，且满足3a3是8a1与a5的等差中项数列bn的前n项和Snn2，nN*(1)求数列an的通项公式；(2)若不等式bnSn6对任意nN*恒成立，求实数的取值范围；(3)若cn从数列cn中取出若干项(奇数项与偶数项均不少于两项)，将取出的项按照某一顺序排列后构成等差数列当等差数列的项数最大时，求所有满足条件的等差数列南京市20142015学年第二学期高一教学调研测试 数学参考答案及评分标准 2015.07说明：1本解答给出的解法供参考如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数4只给整数分数，填空题不给中间分数一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 1(1，0) 216 3 45 57 6xy20 76 812 9 10211 12 1332 143二、解答题：本大题共6小题，共90分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15解：(1)与直线l垂直的直线的斜率为2， 2分因为点(2，3)在该直线上，所以所求直线方程为y32(x2)，故所求的直线方程为2xy70 6分(2) 直线l与两坐标轴的交点分别为(2m2，0)，(0，m1)， 8分则所围成的三角形的面积为|2m2|m1| 10分由题意可知|2m2|m1|4，化简得(m1)24， 12分解得m3或m1，所以实数m的取值范围是(，1)(3，) 14分16证明：(1)因为E，F分别为AB，BC的中点，所以EFAC 2分 又EF平面ACD，AC平面ACD，所以EF平面ACD 6分(2) 因为平面ABC平面BCD，平面ABC平面BCDBC，CD平面BCD，CDBC，所以CD平面ABC 8分 因为AB平面ABC，所以CDAB 10分又因为ABAC，ACCDC，AC平面ACD，CD平面ACD， 所以AB平面ACD 12分又AB平面ABD，所以平面ABD平面ACD 14分17解：（1）在ABD中，AD，ABD60，BAD180607545，由正弦定理得 ，所以BD2 4分 （2）解法一：在BCD中，BD2，因为BDCADCADB1207545， CD， 由余弦定理得BC2() 4cos452，所以BC， 8分所以BCD为等腰直角三角形，所以DBC45，ABC6045105 10分 在ABD中，AD，ABD60，ADB75，由正弦定理得 ，所以AB1 12分ABC的面积SABBCsinABC(1)sin105 14分解法二：在ABD中，AD，BD2，ADB75，所以ABD的面积S1ADBDsinADB 8分又ACD的面积S2ADDCsinADC， 10分BCD的面积S31 12分所以ABC的面积SS1S3S2 14分18解法一：设ABx米，ACy米，所围成的直三棱柱空间的体积为V立方米，所以Vxysin2xy 4分由题意得42x2y22xycos，即x2y2xy16， 8分因为x2y22xy，所以162xyxy，即xy， 12分当且仅当xy时，不等式取等号 所以V 15分 答：当ABAC米时，所围成的直三棱柱空间最大，最大体积为立方米16分解法二：设ABC，所围成的直三棱柱空间的体积为V立方米 由正弦定理得， 则ACsin，ABsin()， 6分所以VABACsinBEsinsin()2sinsin() ， 9分sin(cossin)sin2(1cos2)sin(2) 12分 因为0，即 2，所以当且仅当2，即时，V取得最大值 15分答：当ABC时，所围成的直三棱柱空间最大，最大体积为立方米16分19解：(1)设等差数列an的公差d (d0)因为S3a44，所以3a13da13d4，解得a12 2分因为a2，a6，a18成等比数列，所以(a15d)2(a1d)( a117d)，化简得a1dd 2因为d0，所以a1d，故d2， 所以an2(n1)22n，即数列an的通项公式为an2n4分(2)因为bn，则Tn1， 所以Tn ， 6分由得Tn12，所以Tn4 10分(3)解法一：设数列cn的公差为d1，则cnc1(n1)d1，即c1(n1)d1，nN* 12分 因为Snn(n1)，所以n(n1)t(d1nc1d1)2，化简得(1d12)n2+12d1(c1d1)nt(c1d1)20(*) 因为（*）对所有nN*恒成立，所以 14分因为cn，所以cn0若d11时，c1，则cn0，所以d11不满足条件 从而d11，c1，t 所以实数t的值为 16分 解法二：因为Snn(n1)，则cn， 所以c1，c2，c3 因为cn为等差数列，所以2 c2c1c3， 12分 即2， 解得t 14分 当t时，则cnn因为cncn1(n)(n1)1，所以cn为等差数列所以实数t的值为 16分20解：(1)由题意得，23a38a1a5，则6q28q4， 2分解得q24或q22因为q为正整数，则q2 3分又a12，则an2n，即数列an的通项公式为an2n 4分(2)当n1时，b1S11；当n2时，bnSnSn1n2(n1)22n1，n1时也符合，故bn2n1 6分不等式bnSn6对一切nN*恒成立,转化为对一切nN*恒成立记T,令2n1t（t0）,则n,T(t2)(22)(252)3, 8分当且仅当t,即t5,n3时等号成立,故3,即实数的取值范围是(, 3 10分 (3)由(1),(2)可知cn 设奇数项取了s项，偶数项取了k项，其中s，kN*，s2，k2因为数列cn的奇数项均为奇数，偶数项均为偶数，因此，若抽出的项按照某种顺序构成等差数列，则该数列中相邻的项必定一个是奇数，一个是偶数12分假设抽出的数列中有三个偶数，则每两个相邻偶数的等差中项为奇数设抽出的三个偶数从小到大依次为2i，2j，2p(1ijp)，则2i12j1为奇数，而i1，j2，则2j1为偶数，2i1为奇数，所以i1又2j12p1为奇数，而j2，p3，则2j1与2p1