第八章 多元函数的微分法及其应用.doc

第八章 多元函数的微分法及其应用 1 多元函数概念 一、设 .二、求下列函数的定义域：1、 2、 三、求下列极限： 1、 （0） 2、 ( ) 四、证明极限 不存在.证明：当沿着x轴趋于（0，0）时，极限为零，当沿着 趋于（0，0）时，极限为 , 二者不相等，所以极限不存在五、证明函数 在整个xoy面上连续。 证明：当 时， 。当 时， ，所以函数在（0，0）也连续。所以函数 在整个xoy面上连续。六、设 且当y=0时 ，求f(x)及z的表达式. 解：f(x)= ，z 2 偏导数1、设z= ,验证 证明： ， 2、求空间曲线 在点（ ）处切线与y轴正向夹角( )3、设 , 求 ( 1)4、设 , 求 ， ， 解： ， 5、设 ，证明 : 6、判断下面的函数在(0,0) 处是否连续？是否可导（偏导）？说明理由 连续； 不存在， 7、设函数 f(x,y)在点（a,b）处的偏导数存在，求 （2fx(a,b)） 3 全微分1、单选题（1）二元函数f(x,y)在点(x,y)处连续是它在该点处偏导数存在的 _ (A) 必要条件而非充分条件 （B）充分条件而非必要条件 （C）充分必要条件 （D）既非充分又非必要条件 （2）对于二元函数f(x,y)，下列有关偏导数与全微分关系中正确的是_ (A) 偏导数不连续，则全微分必不存在 （B）偏导数连续，则全微分必存在 （C）全微分存在，则偏导数必连续 （D）全微分存在，而偏导数不一定存在2、求下列函数的全微分：1） 2） 解： 3） 解： 3、设 ， 求 解： = 4、设 求： 5、讨论函数 在（0，0）点处的连续性 、偏导数、 可微性解： 所以 在（0，0）点处连续。 ，所以可微。 4 多元复合函数的求导法则1、设 ，求 解： = 2、设 ，求 3、设 ， 可微，证明 4、设 ，其中 具有二阶连续偏导数，求 ， ， 解： , , = , 5、设 ，其中 具有二阶连续偏导数、 具有二阶连续导数，求 解： ， 6、设 ， ， ，求 解： 。7、设 ，且变换 可把方程 =0 化为 ， 其中 具有二阶连续偏导数，求常数 的值 证明： 得： a=38、设函数f(x,y)具有连续的一阶偏导数，f(1,1)=1, , 又， 求 和 (1) , (a+ab+ab2+b3) 5 隐函数的求导公式1、设 ，求 解：令 ， 2、设 由方程 确定，其中 可微，证明 3、设 由方程 所确定，其中 可微，求 4、设 ，求 ， ( ， )5、设 由方程 所确定， 可微，求 解：令 ，则 6、设 由方程 所确定，求 ( )7、设z=z(x,y)由方程 所确定，求 , , , 6 微分法在几何中的应用1、 求螺旋线 在对应于 处的切线及法平面方程解：切线方程为 法平面方程 2、求曲线 在（3，4，5）处的切线及法平面方程 解：切线方程为 ，法平面方程： 3、求曲面 在（1，-1，2）处的切平面及法线方程 解：切平面方程为 及法线方程 4、设 可微，证明由方程 所确定的曲面在任一点处的切平面与一定向量平行证明：令 ，则 ，所以在（ ）处的切平面与定向量（ ）平行。5、证明曲面 ）上任意一点处的切平面在三个坐标轴上的截距的平方和为 证明：令 ，则 在任一点 处的切平面方程为 在在三个坐标轴上的截距分别为 在三个坐标轴上的截距的平方和为 证明曲面 上任意一点 处的切平面都通过原点7、设F(x,y,z)具有连续偏导数，且对任意实数t, 总有 k为自然数，试证：曲面F(x,y,z)=0上任意一点的切平面都相交于一定点 证明 ： 两边对t 求导，并令t=1 设是曲面上任意一点，则过这点的切平面为： + + =0 此平面过原点（0，0，0） 7 方向导数与梯度1、设函数 ， 1）求该函数在点（1，3）处的梯度。2）在点（1，3）处沿着方向 的方向导数，并求方向导数达到最大和最小的方向解：梯度为 , 方向导数达到最大值的方向为 ，方向导数达到 最小值的方向为 。2、求函数 在（1，2，-1）处沿方向角为 的方向导数，并求在该点处方向导数达到最大值的方向及最大方向导数的值。解：方向导数 为 ，该点处方向导数达到最大值的方向即为梯度的方向 ，此时最大值为 3、求函数 在（1，1，-1）处沿曲线 在（1，1，1）处的切线正方向（对应于t增大的方向）的方向导数。解： ， ， 该函数在点（1，1，-1）处的方 向导数为 ，4、求函数 在（1，1，-1）处的梯度。解： ， 8 多元函数的极值及求法 1、求函数 的极值。 答案：（ ， ）极小值点 2求函数 的极值 答案：极小值 3. 函数 在点（1，1）处取得极值，求常数a (-5) 4、求函数 在条件 下的条件极值解： ，极小值为 5、欲造一个无盖的长方体容器，已知底部造价为3元/平方，侧面造价均为1元/平方，现想用36元造一个容积最大的容器，求它的尺寸。（长和宽2米，高3米）6、在球面 （ ）上求一点，使函数 达到极大值，并求此时的极大值。利用此极大值证明 有 证明：令 令 ， 解得驻点 。所以函数 在 处达到极大值。极大值为 。即 ，令 得 。 7、求椭球面 被平面x+y+z=0截得的椭圆的长半轴与短半轴的 长度解： ， ， 长半轴 ， 短半轴 第八章 自测题一、选择题：（每题2分，共14分）1、设有二元函数 则 A、 存在；B、 不存在；C、 存在， 且 在(0,0)处不连续；D、 存在， 且 在(0,0)处连续。2、函数 在 各一阶偏导数存在且连续是 在 连续的 A、必要条件； B、充分条件；C、充要条件； D、既非必要也非充分条件。3、函数 在(0,0)点处 A、极限值为1； B、极限值为-1；C、连续； D、无极限。4、 在 处 ， 存在是函数在该点可微分的 （A）必要条件； （B）充分条件； （C）充要条件； （D）既非必要亦非充分条件。5、点 是函数 的 （A）极小值点； （ B）驻点但非极值点；（C）极大值点； （D）最大值点。6、曲面 在点P(2,1,0)处的切平面方程是 （A） ； （B） ；（C） ； （D） 7、已知函数 均有一阶连续偏导数，那么 (A) ; (B) ;(C) ; (D) 二、填空题：（每题分，共18分）1、 （ 0 ）、设 ，则 （ ）、设 则 ( 0 )、设 ，则在点 处的全微分. 、曲线 在点 处的切线方程为( )、曲线 在点(1,1,1)处的切线方程为( )三、计算题（每题6分）1、设 ，求 的一阶偏导数 ， 。2、设 ，求此函数在点 处的全微分。并求该函数在该点处沿着从 P 到 方向的方向导数( ， )、设 具有各二阶连续偏导数，求 解： 、设 求 和 。 不存在，故 不存在，同理， 也不存在。 当 时，有 、设 由方程 所确定，求 ( )、设 ， 具有连续的二阶偏导数， 可导，求 、设 确定函数 ，求 。 、设 ，式中 二阶可导，求 解：记 ，则 ， 类似地，有 四、（分）试分解正数 为三