直线与圆 (2).doc

镇江市上党高级中学数学组集体备课教案第四课时：直线与圆一、复习目标1、会利用点到直线的距离判定直线与圆的位置关系；2、熟练运用圆的相关知识解决直线与圆、圆与圆的综合问题；3、点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系在初中平面几何已进行了分析，现在是用代数方法来分析几何问题，是平面几何问题的深化。二、复习重、难点重点：(1)直线和圆的相切(圆的切线方程)、相交(弦长问题)；(2)圆系方程应用难点：圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点(x0，y0)的切线方程的证明三、复习方法：讲练结合四、复习内容（一）知识梳理1.直线和圆位置关系的判定方法一是方程的观点，即把圆的方程和直线的方程联立成方程组，利用判别式来讨论位置关系.0，直线和圆相交.=0，直线和圆相切.0，直线和圆相离.方法二是几何的观点，即把圆心到直线的距离d和半径R的大小加以比较.dR，直线和圆相交.d=R，直线和圆相切.dR，直线和圆相离.2.直线和圆相切，这类问题主要是求圆的切线方程.求圆的切线方程主要可分为已知斜率k或已知直线上一点两种情况，而已知直线上一点又可分为已知圆上一点和圆外一点两种情况.3.直线和圆相交，这类问题主要是求弦长以及弦的中点问题.（二）、点击双基1.设m0，则直线（x+y）+1+m=0与圆x2+y2=m的位置关系为（ ）A.相切 B.相交 C.相切或相离 D.相交或相切解析：圆心到直线的距离为d=，圆半径为.dr=（m2+1）=（1）20，直线与圆的位置关系是相切或相离.答案：C2.圆x2y24x+4y+6=0截直线xy5=0所得的弦长等于（ ）A. B. C.1 D.5解析：圆心到直线的距离为,半径为,弦长为2=.答案：A3.圆x2+y24x=0在点P（1，）处的切线方程为（ ）A.x+y2=0 B.x+y4=0 C.xy+4=0 D.xy+2=0解法一： x2+y24x=0y=kxk+x24x+（kxk+）2=0.该二次方程应有两相等实根，即=0，解得k=.y=（x1），即xy+2=0.解法二：点（1，）在圆x2+y24x=0上，点P为切点，从而圆心与P的连线应与切线垂直.又圆心为（2，0），k=1.解得k=，切线方程为xy+2=0.答案：D4.圆心在直线2xy7=0上的圆C与y轴交于两点A（0，4）、B（0，2），则圆C的方程为_.解析：圆C与y轴交于A（0，4），B（0，2），由垂径定理得:圆心在y=3这条直线上.解得x=2，联立又已知圆心在直线2xy7=0上， y=3，2xy7=0. 圆心为（2，3），半径r=|AC|=.所求圆C的方程为（x2）2+（y+3）2=5.答案：（x2）2+（y+3）2=55.若直线y=x+k与曲线x=恰有一个公共点，则k的取值范围是_.解析：利用数形结合.答案：1k1或k=（三）、典型例题例1、已知圆x2+y2+x6y+m=0和直线x+2y3=0交于P、Q两点，且OPOQ（O为坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径.剖析：由于OPOQ，所以kOPkOQ=1，问题可解.解：将x=32y代入方程x2+y2+x6y+m=0，得5y220y+12+m=0.设P（x1，y1）、Q（x2，y2），则y1、y2满足条件y1+y2=4，y1y2=.OPOQ，x1x2+y1y2=0.而x1=32y1，x2=32y2，x1x2=96（y1+y2）+4y1y2.m=3，此时0，圆心坐标为（，3），半径r=.评述：在解答中，我们采用了对直线与圆的交点“设而不求”的解法技巧，但必须注意这样的交点是否存在，这可由判别式大于零帮助考虑例2、求经过两圆（x+3）2+y2=13和x2+（y+3）2=37的交点，且圆心在直线xy4=0上的圆的方程.剖析：根据已知，可通过解方程组得圆上两点，（x+3）2+y2=13，x2+（y+3）2=37 由圆心在直线xy4=0上，三个独立条件，用待定系数法求出圆的方程；也可根据已知，设所求圆的方程为（x+3）2+y213+x2+（y+3）237=0，再由圆心在直线xy4=0上，定出参数，得圆方程.解：因为所求的圆经过两圆（x+3）2+y2=13和x2+（y+3）2=37的交点，所以设所求圆的方程为（x+3）2+y213+x2+（y+3）237=0.展开、配方、整理，得（x+）2+（y+）2=+.圆心为（，），代入方程xy4=0，得=7.故所求圆的方程为（x+）2+（y+）2= .评述：圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0，圆C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0，若圆C1、C2相交，那么过两圆公共点的圆系方程为（x2+y2+D1x+E1y+F1）+（x2+y2+D2x+E2y+F2）=0（R且1）.它表示除圆C2以外的所有经过两圆C1、C2公共点的圆.特别提示:在过两圆公共点的图象方程中，若=1，可得两圆公共弦所在的直线方程.例3、已知圆C：（x1）2（y2）225，直线l：（2m+1）x+（m+1）y7m4=0（mR）.（1）证明：不论m取什么实数，直线l与圆恒交于两点；（2）求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程.剖析：直线过定点，而该定点在圆内，此题便可解得.（1）证明：l的方程（x+y4）+m（2x+y7）=0.得mR， 2x+y7=0， x=3，x+y4=0， y=1，即l恒过定点A（3，1）.圆心C（1，2），AC5（半径），点A在圆C内，从而直线l恒与圆C相交于两点.（2）解：弦长最小时，lAC，由kAC，l的方程为2xy5=0.评述：若定点A在圆外，要使直线与圆相交则需要什么条件呢？思考讨论:求直线过定点，你还有别的办法吗？(四)小结1.直线和圆的位置关系有且仅有三种：相离、相切、相交.判定方法有两个：几何法，比较圆心到直线的距离与圆的半径间的大小；代数法，看直线与圆的方程联立所得方程组的解的个数.2.解决直线与圆的位置关系的有关问题，往往充分利用平面几何中圆的性质使问题简化.（五）作业1. 已知圆的方程为x2+y2+ax+2y+a2=0,一定点为A（1,2）,要使过定点A（1,2）作圆的切线有两条，求a的取值范围.解：将圆的方程配方得（x+）2+（y+1）2=，圆心C的坐标为(-,1），半径r=，条件是43a20，过点A（1，2）所作圆的切线有两条，则点A必在圆外，即.化简得a2+a+90.由 43a20，a2+a+90，解之得 a，aR.a.故a的取值范围是（，）.2、已知O方程为x2+y2=4，定点A（4，0），求过点A且和O相切的动圆圆心的轨迹.剖析：两圆外切，连心线长等于两圆半径之和，两圆内切，连心线长等于两圆半径之差，由此可得到动圆圆心在运动中所应满足的几何条件，然后将这个几何条件坐标化，即得到它的轨迹方程.解法一：设动圆圆心为P（x,y）,因为动圆过定点A,所以|PA|即动圆半径.当动圆P与O外切时，|PO|=|PA|+2；当动圆P与O内切时，|PO|=|PA|2.综合这两种情况，得|PO|PA|=2.将此关系式坐标化，得|-|=2.化简可得（x-2）2-=1.解法二：由解法一可得动点P满足几何关系|OP|PA|=2，即P点到两定点O、A的距离差的绝对值为定值2，所以P点轨迹是以O、A 为焦点，2为实轴长的双曲线，中心在OA中点（2，0），实半轴长a=1，半焦距c=2，虚半轴长b=，所以轨迹方程为（x2）2=1.六、复习反思1.有关直线和圆的位置关系,一般要用圆心到直线的距离与半径的大小来确定.2.当直线和圆相切时，求切线方程一般要用圆心到直线的距离等