2019_2020学年高中数学第2章圆锥曲线与方程22.2抛物线的简单性质学案北师大版选修.docx

22抛物线的简单性质学习目标：1.掌握抛物线标准方程的四种形式.2.掌握抛物线的简单性质(重点)3.会用抛物线的性质解决与抛物线有关的综合问题(难点)抛物线的性质类型y22px(p0)y22px(p0)x22py (p0)x22py(p0)图像性质焦点FFFF准线xxyy范围x0，yRx0，yRxR，y0xR，y0对称轴x轴y轴顶点O(0,0)离心率e1性质开口方向向右向左向上向下通径过焦点垂直于对称轴的直线与抛物线交于两点P1，P2，线段P1P2叫抛物线的通径，长度|P1P2|2p1判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)抛物线是中心对称图形，也是轴对称图形()(2)抛物线的范围是xR，y0.()(3)抛物线是二次函数的图像()答案(1)(2)(3)2已知抛物线x22py(p0)的准线经过点(1，1)，则抛物线的焦点坐标为()A(0,1)B(0,2)C(1,0) D(2,0)A由抛物线x22py(p0)的准线为y1，得p2，故所求抛物线的焦点坐标为(0,1)3过抛物线y28x的焦点作倾斜角为的直线l，直线l与抛物线相交于A，B两点，则弦AB的长是_解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，焦点F(2,0)，直线l的方程为yx2，代入y28x得x212x40，x1x212，|AB|x1x2p12416.答案164若抛物线y4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是_解析M到准线的距离等于M到焦点的距离，又准线方程为y，设M(x，y)，则y1，y.答案利用抛物线性质求标准方程【例1】已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴，且与圆x2y24相交的公共弦长等于2，求这条抛物线的方程解如图，设所求抛物线的方程为y22px(p0)或y22px(p0)，设交点A(x1，y1)，B(x2，y2)(y10，y20)上两点，O为坐标原点，若|OA|OB|，且AOB的垂心恰是此抛物线的焦点，求直线AB的方程解根据题意可以知道，AB垂直于x轴，即A，B关于x轴对称设AB的方程为xx0，则A(x0，)，B(x0，)，由kOAkBF1得1，解得x0p，故直线AB的方程为xp.抛物线的焦点弦问题探究问题1已知抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，焦点为F，过F且垂直于x轴的直线交抛物线于A、B两点，且|AB|8，求抛物线的标准方程提示设抛物线标准方程为y22px(p0)，则|AB|2p|8，p4，故标准方程为y28x.2过抛物线y24x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1x26，能否求|AB|的值？提示如图，y24x，2p4，p2.由抛物线定义知：|AF|x11，|BF|x21，|AB|AF|BF|x1x22628.【例3】已知抛物线方程为y22px(p0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且|AB|p，求AB所在直线的方程思路探究：方法1：设出直线方程，用弦长公式求解；方法2：由于直线过抛物线的焦点，可利用抛物线定义转化为到准线的距离的和求解解法一：(代数法)焦点F，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，若ABx轴，则|AB|2pp.所以直线AB的斜率存在，设为k，则直线AB的方程为：yk，k0.由消去x，整理得ky22pykp20.由根与系数的关系得，y1y2，y1y2p2.|AB|2pp，解得k2.AB所在直线方程为y2或y2.法二：(几何法)如图所示，抛物线y22px(p0)的准线为x，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，设A，B到准线的距离分别为dA，dB，由抛物线的定义知，|AF|dAx1，|BF|dBx2，于是|AB|x1x2pp，x1x2p.当x1x2时，|AB|2pp，所以直线AB与x轴不垂直设直线AB的方程为yk.由得k2x2p(k22)xk2p20，x1x2p，解得k2，所以直线AB的方程为y2或y2.将本例中的条件“过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A、B两点，且|AB|p”变为“过此抛物线的焦点且与x轴垂直，与抛物线交于A、B两点，且|AB|10，P为抛物线准线上的一点”，求ABP的面积解因为|AB|2p，所以p5，SABP|AB|p10525.求抛物线弦长问题的方法：(1)一般弦长公式(2)焦点弦长设AB是抛物线y22px(p0)的一条过焦点F的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长：|AB|AF|BF|x1x2p.即求抛物线的焦点弦长，通常是利用焦半径，把点点距转化为点线距(点到准线的距离)解决，这体现了抛物线的特殊性以及求抛物线焦点弦的便捷特点.1顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离等于3的抛物线的标准方程为()Ax23yBy26xCx212y Dx26yC依题意，3，p6.抛物线的标准方程为x212y.2(2019全国卷)若抛物线y22px(p0)的焦点是椭圆1的一个焦点，则p()A2B3 C4D8答案D3函数yax21的图像与直线yx相切，则a的值等于_解析由得ax2x10，由0得14a0，a.答案4设抛物线y216x上一点P到对称轴的距离为12，则点P与焦点F的距离|PF|_.解析设P(x,12)，代入到y216x得x9，|PF|x9413.答案135已知抛物线y26x，过点P(4,1)引一条弦P1P2使它恰好被点P平分，求这条弦所在直线的方程及|P1P2|.解设弦两端点P1(x1，y1)