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数学提高题（1）单点运动问题1.如图1，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，把矩形沿直线AC折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE（1）求证：DECEDA；（2）求DF的值；（3）如图2，若P为线段EC上一动点，过点P作AEC的内接矩形，使其定点Q落在线段AE上，定点M、N落在线段AC上，当线段PE的长为何值时，矩形PQMN的面积最大？并求出其最大值【解答】：（1）证明：由矩形的性质可知ADCCEA，AD=CE，DC=EA，ACD=CAE，在ADE与CED中DECEDA（SSS）；（2）解：如图1，ACD=CAE，AF=CF，设DF=x，则AF=CF=4x，在RTADF中，AD2+DF2=AF2，即32+x2=（4x）2，解得；x=，即DF=（3）解：如图2，由矩形PQMN的性质得PQCA又CE=3，AC=5设PE=x（0x3），则，即PQ=过E作EGAC 于G，则PNEG，=又在RtAEC中，EGAC=AECE，解得EG=，即PN=（3x）设矩形PQMN的面积为S则S=PQPN=x2+4x=+3（0x3）所以当x=，即PE=时，矩形PQMN的面积最大，最大面积为3【思路】：（1）由矩形的性质可知ADCCEA，得出AD=CE，DC=EA，ACD=CAE，从而求得DECEDA；（2）根据勾股定理即可求得（3）有矩形PQMN的性质得PQCA，所以，从而求得PQ，由PNEG，得出=，求得PN，然后根据矩形的面积公式求得解析式，即可求得2.如图1，已知点A（2，0），B（0，4），AOB的平分线交AB于C，一动点P从O点出发，以每秒2个单位长度的速度，沿y轴向点B作匀速运动，过点P且平行于AB的直线交x轴于Q，作P、Q关于直线OC的对称点M、N设P运动的时间为t（0t2）秒（1）求C点的坐标，并直接写出点M、N的坐标（用含t的代数式表示）；（2）设MNC与OAB重叠部分的面积为S试求S关于t的函数关系式；在图2的直角坐标系中，画出S关于t的函数图象，并回答：S是否有最大值？若有，写出S的最大值；若没有，请说明理由【解答】解：（1）如答图1，过点C作CFx轴于点F，CEy轴于点E，由题意，易知四边形OECF为正方形，设正方形边长为xCEx轴，即，解得x=C点坐标为（，）；PQAB，即，OP=2OQP（0，2t），Q（t，0）对称轴OC为第一象限的角平分线，对称点坐标为：M（2t，0），N（0，t）（2）当0t1时，如答图21所示，点M在线段OA上，重叠部分面积为SCMNSCMN=S四边形CMONSOMN=（SCOM+SCON）SOMN=（2t+t）2tt=t2+2t；当1t2时，如答图22所示，点M在OA的延长线上，设MN与AB交于点D，则重叠部分面积为SCDN设直线MN的解析式为y=kx+b，将M（2t，0）、N（0，t）代入得，解得，y=x+t；同理求得直线AB的解析式为：y=2x+4联立y=x+t与y=2x+4，求得点D的横坐标为SCDN=SBDNSBCN=（4t）（4t）=t22t+综上所述，S=画出函数图象，如答图23所示：观察图象，可知当t=1时，S有最大值，最大值为1【思路】：（1）如答图1，作辅助线，由比例式求出点D的坐标；（2）所求函数关系式为分段函数，需要