高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3.1 抛物线及其标准方程课件 新人教B版选修11.ppt

第二章 圆锥曲线与方程 2 3抛物线2 3 1抛物线及其标准方程 学习目标 1 掌握抛物线的定义及焦点 准线的概念 2 会求简单的抛物线的方程 1 预习导学挑战自我 点点落实 2 课堂讲义重点难点 个个击破 3 当堂检测当堂训练 体验成功 知识链接 如图 我们在黑板上画一条直线ef 然后取一个三角板 将一条拉链ab固定在三角板的一条直角边上 并将拉链下边一半的一端固定在c点 将三角板的另一条直角边贴在直线ef上 在拉锁d处放置一支粉笔 上下拖动三角板 粉笔会画出一条曲线 画出的曲线是什么形状 点d在移动过程中 满足什么条件 答案抛物线 da dc 预习导引 1 抛物线的定义平面内与一个定点f和一条定直线l f l 的点的轨迹叫做抛物线 点f叫做抛物线的 直线l叫做抛物线的 距离相等 焦点 准线 2 抛物线标准方程的几种形式 y2 2px p 0 y2 2px p 0 x2 2py p 0 x2 2py p 0 要点一求抛物线的标准方程例1分别求满足下列条件的抛物线的标准方程 1 焦点为 2 0 抛物线标准方程为y2 8x 2 准线为y 1 抛物线标准方程为x2 4y 3 过点a 2 3 解由题意 抛物线方程可设为y2 mx m 0 或x2 ny n 0 将点a 2 3 的坐标代入 得32 m 2 22 n 3 所求抛物线方程为y2 5x或y2 5x或x2 5y或x2 5y 规律方法求抛物线方程 通常用待定系数法 若能确定抛物线的焦点位置 则可设出抛物线的标准方程 求出p值即可 若抛物线的焦点位置不确定 则要分情况讨论 焦点在x轴上的抛物线方程可设为y2 ax a 0 焦点在y轴上的抛物线方程可设为x2 ay a 0 跟踪演练1分别求满足下列条件的抛物线的标准方程 1 过点 3 4 解方法一 点 3 4 在第四象限 设抛物线的标准方程为y2 2px p 0 或x2 2p1y p1 0 把点 3 4 的坐标分别代入y2 2px和x2 2p1y 得 4 2 2p 3 32 2p1 4 方法二设抛物线的方程为y2 ax a 0 或x2 by b 0 2 焦点在直线x 3y 15 0上 解令x 0得y 5 令y 0得x 15 抛物线的焦点为 0 5 或 15 0 所求抛物线的标准方程为x2 20y或y2 60 x 要点二抛物线定义的应用例2如图 已知抛物线y2 2x的焦点是f 点p是抛物线上的动点 又有点a 3 2 求 pa pf 的最小值 并求此时p点坐标 解如图 作pq l于q 由定义知 抛物线上点p到焦点f的距离等于点p到准线l的距离d 由图可知 求 pa pf 的最小值的问题可转化为求 pa d的最小值的问题 将x 3代入抛物线方程y2 2x a在抛物线内部 得x 2 点p坐标为 2 2 规律方法要注意抛物线的定义在解题中的作用 灵活地进行抛物线上点到焦点的距离与到准线距离的转化 另外要注意平面几何知识的应用 如两点之间线段最短 三角形中三边间的不等关系 点与直线上点的连线垂线段最短等 跟踪演练2已知点p是抛物线y2 2x上的一个动点 则点p到点a 0 2 的距离与p到该抛物线准线的距离之和的最小值为 解析如图 由抛物线定义知 pa pq pa pf 则所求距离之和的最小值转化为求 pa pf 的最小值 则当点p在第一象限且a p f三点共线时 pa pf 取得最小值 pa pf min af 要点三抛物线的实际应用例3喷灌的喷头装在直立管柱oa的顶点a处 喷出水流的最高点b高5m 且与oa所在的直线相距4m 水流落在以o为圆心 半径为9m的圆上 则管柱oa的长是多少 解如图所示 建立直角坐标系 设水流所形成的抛物线的方程为x2 2py p 0 因为点c 5 5 在抛物线上 所以25 2p 5 因此2p 5 所以抛物线的方程为x2 5y 点a 4 y0 在抛物线上 所以管柱oa的长为1 8m 规律方法在建立抛物线的标准方程时 常以抛物线的顶点为坐标原点 对称轴为一条坐标轴建立坐标系 这样可使得标准方程不仅具有对称性 而且曲线过原点 方程不含常数项 形式更为简单 便于应用 跟踪演练3某河上有一座抛物线形的拱桥 当水面距拱顶5m时 水面宽8m 一木船宽4m 高2m 载货的木船露在水面上的部分高为0 75m 货物的宽与木船相同 当水面上涨到与拱顶相距多少时 木船开始不能通航 解以桥的拱顶为坐标原点 拱高所在的直线为y轴建立直角坐标系 如图 设抛物线的方程是x2 2py p 0 由题意知a 4 5 在抛物线上 设水面上涨 木船货物上表面两侧与抛物线形拱桥接触于b b 时 木船开始不能通航 设b 2 y 故当水面上涨到与抛物线形的拱顶相距2m时 木船开始不能通航 1 2 3 4 1 已知抛物线的准线方程为x 7 则抛物线的标准方程为 a x2 28yb y2 28xc y2 28xd x2 28y 1 2 3 4 解析抛物线开口向右 方程为y2 2px p 0 的形式 方程为y2 28x 答案b 2 已知抛物线的顶点在原点 对称轴为x轴 焦点在双曲线上 则抛物线方程为 a y2 8xb y2 4xc y2 2xd y2 8x 1 2 3 4 1 2 3 4 即为 2 0 或 2 0 所以抛物线的方程为y2 8x或y2 8x 答案d 1 2 3 4 1 2 3 4 解析如图所示 动点p到l2 x 1的距离可转化为到点f的距离 由图可知 距离和的最小值 即f到直线l1的距离 答案a 1 2 3 4 1 2 3 4 过a作aa 准线l af aa x0 1 答案c 课堂小结1 抛物线的定义中不可忽略条件 点f不在直线l上 2 确定抛物线的标准