高中数学 第二章 空间向量与立体几何 2.6 距离的计算 2.6.2 直线到平面的距离、平面到平面的距离课件 北师大版选修21.ppt

2 6 2直线到平面的距离 平面到平面的距离 1 理解直线到平面的距离 平面到平面的距离的概念 2 通过转化 会利用空间向量解决距离问题 1 直线到平面的距离当直线与平面平行时 直线上任一点到该平面的距离 叫直线到平面的距离 求直线到平面的距离时 一般转化为点到平面的距离 说明 如果直线l平行于平面 即l 求直线l到 的距离可以转化为求直线l上一点p到平面 的距离 即点到平面的距离 做一做1 在长方体abcd a1b1c1d1中 aa1 5 ab 12 则直线b1c1和平面a1bcd1的距离是 解析 由于b1c1 平面a1bcd1 则b1c1到平面a1bcd1的距离即为点b1 或c1 到平面a1bcd1的距离 2 平面到平面的距离当两平面平行时 一个平面内任一点到另一平面的距离 叫平面到平面的距离 求平面到平面的距离时 一般也是转化成点到平面的距离 说明 如果两个平面 互相平行 即 求 与 之间的距离可以转化为求平面 上任意一点p到平面 的距离 即点到平面的距离 3 两条异面直线间的距离 1 与两异面直线垂直且相交的直线叫作异面直线的公垂线 夹在两交点之间的线段叫作公垂线段 两异面直线的距离是指公垂线段的长度 2 用向量法求异面直线距离的步骤 先求两条异面直线的公垂线的方向向量 再求两条异面直线上两点的连线段在公垂线的方向向量上的投影的大小 如图 a b是两条异面直线 n是a和b的公垂线的方向向量 点e a f b 则异面直线a与b间的距离 说明 当异面直线a与b的公垂线的方向向量n不易找时 可通过以下方法求n 设向量a a1 a2 a3 b b1 b2 b3 分别是直线a与b的方向向量 设n x y z 且n a n b 则由n a 0 n b 0 得可取适合此方程组的一个解 从而求得一个方向向量 题型一 题型二 题型三 分析 求与平面平行的直线到该平面的距离可转化为求直线上一点到平面的距离 但本题向平面作垂线不易确定垂足 可考虑用向量的方法进行解题 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 反思求直线到平面的距离的实质就是求直线上的点到平面的距离 用向量法求点到平面的距离的关键是正确建立空间直角坐标系 准确求得各点的向量坐标 然后求出平面的一个法向量 正确运用公式进行求解 题型一 题型二 题型三 变式训练1 如图 在梯形abcd中 ad bc abc ab bc ad a pa 平面abcd 且pa a 点f在ad上 且cf pc 1 求点a到平面pcf的距离 2 求ad与平面pbc间的距离 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 例2 如图所示 正方体abcd a1b1c1d1的棱长为4 m n e f分别为a1d1 a1b1 c1d1 b1c1的中点 求平面amn与平面efbd间的距离 分析 易证得平面amn 平面efbd 从而两个平面具有共同的法向量 因为点a 平面amn 点b 平面efbd 所以ab是夹在两平行平面间的斜线段 在法向量上的投影的绝对值即为所求 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 变式训练2 正方体abcd a1b1c1d1的棱长为1 求平面a1bd与平面b1cd1间的距离 题型一 题型二 题型三 例3 如图 所示 四边形abcd是正方形 边长为7cm mn ab交bc于m 交da于n 若an 3cm 沿mn把正方形折成60 的二面角 如图 所示 求异面直线mn与bd的距离 分析 本题异面直线mn与bd的公垂线段不易确定 故采用向量法求解 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 反思求两条异面直线间的距离 可先求出两条直线的公垂线的方向向量n 然后在两条直线上各取一点 记为a b 向量在n上的投影的大小就是两条异面直线间的距离d 题型一 题型二 题型三 变式训练3 已知正四棱柱abcd a1b1c1d1 ab 1 aa1 2 点e为cc1的中点 求bd1与de之间的距离 123 1 正方体abcd a1b1c1d1的棱长为a 则平面ab1d1与平面bdc1的距离为 解析 由正方体中平面ab1d1 平面bdc1 则两平面间的距离可转化为点b到平面ab1d1的距离 显然a1c 平面ab1d1 以d为坐标原点 da dc dd1所在直线分别为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系 则平面ab1d1的法向量为n a a a 答案 d 123 2 已知正方体abcd a1b1c1d1的棱长为a 设点c到平面abc1d1的距离为d1 点d到平面acd1的距离为d2 bc到平面add1a1的距离为d3 则d1 d2和d3的大小关系为 答案 d2 d1 d3 123 3 在四棱锥o abcd中 底面abcd是边长为2的正方形 oa 底面abcd oa 2 m n r分别为oa bc ad的中点 求 直线mn与平面ocd的距离 平面mnr与平面ocd的距离 解 因为m r分别为ao ad的中点 所以mr od 在正方形abcd中 n r分别为bc ad的中