实验7 常微分方程与MATLAB应用.doc

实验7 常微分方程与MATLAB应用信科05-1 刘武寅 学号0511010110一、实验名称：常微分方程与MATLAB应用。二、实验目的：理解常微分方程单步法与多步法思想，掌握常用算法的设计，掌握用MATLAB实现的数值解法。三、实验题目：对于初值问题。四、实验要求：1、用改进的欧拉法（取h=0.05）及四阶R-K方法（取h=0.1）求解，并输出x=1+0.1i，i=0,1,10的数值解y。2、利用MATLAB中数值解法“ode45”与符号解法“dsolve”求解，并用图形表示各种方法的精度。五、实验内容：利用常微分解法可知方程的解为： 1、 利用改进欧拉法解方程：程序内容为：fun=(x,y)x(-2)-y/x;h=0.05;X=1:h:2;Y(1)=1;for i=2:21 Y(i)=Y(i-1)+h/2*(fun(X(i-1),Y(i-1)+fun(X(i),Y(i-1)+h*fun(X(i-1),Y(i-1);end;Y运行结果为：Y = Columns 1 through 9 1.0000 0.9989 0.9957 0.9909 0.9848 0.9778 0.9701 0.9618 0.9530 Columns 10 through 18 0.9440 0.9348 0.9254 0.9160 0.9065 0.8971 0.8876 0.8783 0.8690 Columns 19 through 21 0.8598 0.8508 0.8418真实解的求法为：x=1:0.05:2;y=1./x.*(log(x)+1)y = Columns 1 through 8 1.0000 0.9988 0.9957 0.9911 0.9853 0.9785 0.9710 0.9630 Columns 9 through 16 0.9546 0.9459 0.9370 0.9279 0.9188 0.9096 0.9004 0.8912 Columns 17 through 21 0.8821 0.8731 0.8641 0.8553 0.8466用四阶R-K算法解常微分方程的程序为：fun=(x,y)x(-2)-y/x;h=0.1;X=1:h:2;Y(1)=1;for n=2:11 k1=fun(x(n-1),Y(n-1); k2=fun(x(n-1)+h/2,Y(n-1)+h/2*k1); k3=fun(x(n-1)+h/2,Y(n-1)+h/2*k2); k4=fun(x(n-1)+h,Y(n-1)+h*k3); Y(n)=Y(n-1)+h/6*(k1+2*k2+2*k3+k4)end;Y运行后了结果为：Y = Columns 1 through 9 1.0000 0.9957 0.9853 0.9710 0.9546 0.9370 0.9188 0.9004 0.8821 Columns 10 through 11 0.8641 0.8466真实解的求法为：x=1:0.1:2;y=1./x.*(log(x)+1)y = Columns 1 through 9 1.0000 0.9957 0.9853 0.9710 0.9546 0.9370 0.9188 0.9004 0.8821 Columns 10 through 11 0.8641 0.8466可见其精确度至少已达到0.0012、 MATLAB中数值解法“ode45”为：x1,y1 = ode45(x,y)x(-2)-y/x,1,2,y0);符号解法“dsolve”求解为：dsolve(Dy=x(-2)-y/x,y(1) = 1,x) ans = (log(x)+1)/x画出两种算法的图形位：x1,y1 = ode45(x,