对应点比照法是求解初相的王道(1).doc

湖南黎国之数学教育文存对应点比对法是求解初相值的最佳方法关键词： 初相 对应点 比对根据正弦型函数的图像特征求解析式是一类常考不衰的题型，如2010年和2011年各地高考题中就都出现了数次。它有时以选择题的形式出现，但是以填空题或者解答题的形式出现也有可能，这是一类考核基本能力的问题，因此往往有一定的难度，求A与的值并不会难，其困惑集中在初相的确定上，此时用代入已知点坐标值的方法求解的值时，学生往往不知道应该代入哪个已知点的坐标值才好。根据已知条件的不同，这类问题又分为两类，第一类是已知的点为“零点型”的，第二类是“非零点型”的，即已知的点不全在或全不在轴上。笔者见过许多文献提供的对该问题的解决之道，包括高考“参考答案”白皮书上的解法，虽说各有道理，但总似给人隔靴搔痒之感，究其原因，是逆向对应变换的意识不强，造成解题思维的随意性和解题结果的不确定性。事实上，教材在给出“五点法”作正弦型函数的图像时，其顺序是先给出正弦曲线的5个基本点（三个零点，两个顶点）的值（、）填入第二栏，再分别令等于这些值，解出的值填入第一栏中。这个操作，本质上是在与、中建立了一一对应的变换。既然如此，现在我们将已知点代入时，就应该反回来，看中的那个已知点是由图像上的哪个点变换过来的，令的值等于在上与之对应的的值。只要这样操作，则无论代入哪个已知点，求出来的的值都是唯一确定的，又快又好。基于这样的分析，本文把这种方法叫做“对应点比对法”。其操作步骤是1、求出A与的值，最好写出初步的解析式；2、审察确定图像上的点是对应于正弦曲线上的哪个点（变换来的）；3、令的值等于在上与之对应的的值，求出的表达式；4、根据已知条件中的范围确定的的值。在有把握知道时， 的后面不必注明“”。一般地，题目都会规定A0，而对初相的范围则未必给出限制，若没有限制，则习惯上尽量取一个绝对值比较小的值，如。【问题1】（2005全国高考第17题）设函数（0），的一条对称轴是直线。（）、求（）、（）略【解析1】：（）、是函数的一条对称轴，0，取得。这是高考 “参考答案”白皮书上的解法，这里令是完全没有必要的。【解析2】：用“对应点比对法”。（）、是函数的一条对称轴，对应于的顶点，又0，取得。【问题2】（2005福建理科6）函数（0，0）的部分图像如图，则（ ）。（A） （B）（C） （D）【解析】：用“对应点比对法”，审察图像，知为第二零点，故令；或者，是第一顶点，故令。均迅速快捷。【问题3】已知函数（）的图像的一部分如图所示。则必定有（ ）（A） （B）（C） （D）【解析1】：由图像可知，其过两个已知点（0，1）和，于是有由（1）得，但是，； 又由图像可知最小正周期，因此有。选C。上述解法其实是错误的！所谓“由图像可知最小正周期”没有足够依据。【解析2】：用“对应点比对法”。审察图像知，对应于，且对应于中的第三零点，于是符合要求，选C。【问题4】（2010广东理16）已知函数（A0，0）在时取得最大值4.（1）求的最小周期；2）求的解析式；（3）略【解析】：（2）法易知A=4，此时，下面用对应点比对法求，此处对应于 中的第一顶点，所以，。0，取，得。【问题5】（2011江苏文理合卷9）函数是常数，的部分图象如图所示，则解析：由图可知：是第二零点，令，取。 。【问题6】（2011辽宁理科16填空，文12为选择题）已知函数=Atan（x+）（），y=的部分图像如下图，则 A2+ BC D【解析】：，比对上的对应点，有，（或） ，由，知。则。，答案选B。【问题7】（2011天津文科7）已知函数，其中的最小正周期为，且当时，取得最大值，则（ ）A在区间上是增函数B在区间上是增函数C在区间上是减函数D在区间上是减函数【解析】：由题知，比对的图像，知，又，余略，选A。【问题8】（2011浙江文科18）已知函数，的部分图像，如图所示，、分别为该图像的最高点和最低点，点的坐标为（）求的最小正周期及的值；（）若点的坐标为，求的值【解析】（）解：由题意得，因为是图象上的最高点，所以因为，所以取 ，得。（）略总结：“对应点比对法”抓住了问题的本质，直接寻找与中对应点的横坐标之间的对应关系求初相，无须把已知点的横坐标纵坐标代入解析式代入中，也无须进行讨论，快捷准确，表述简洁，对于求函数与中的初相的值的问题也完全类似，因此这是解决这类问题的最佳方法。作者姓名：湖南宁乡