高考数学一轮复习 第七章 不等式 7.3 基本不等式及不等式的应用课件.ppt

高考数学 江苏省专用 7 3基本不等式及不等式的应用 1 2017江苏 10 5分 某公司一年购买某种货物600吨 每次购买x吨 运费为6万元 次 一年的总存储费用为4x万元 要使一年的总运费与总存储费用之和最小 则x的值是 a组自主命题 江苏卷题组 五年高考 答案30 解析本题考查基本不等式及其应用 设总费用为y万元 则y 6 4x 4 240 当且仅当x 即x 30时 等号成立 答案8 2 2016江苏 14 5分 在锐角三角形abc中 若sina 2sinbsinc 则tanatanbtanc的最小值是 解析 sina 2sinbsinc sin b c 2sinbsinc 即sinbcosc cosbsinc 2sinbsinc 亦即tanb tanc 2tanbtanc tana tan b c tan b c 又 abc为锐角三角形 tana 0 tanb tanc 0 tanbtanc 1 tanatanbtanc tanb tanc 令tanbtanc 1 t 则t 0 tanatanbtanc 2 2 2 2 8 当且仅当t 即tanbtanc 2时 取 tanatanbtanc的最小值为8 考点基本不等式及不等式的应用1 2017山东文 12 5分 若直线 1 a 0 b 0 过点 1 2 则2a b的最小值为 b组统一命题 省 区 市 卷题组 答案8 解析本题考查基本不等式及其应用 由题设可得 1 a 0 b 0 2a b 2a b 2 2 4 2 8 故2a b的最小值为8 2 2017天津文改编 8 5分 已知函数f x 设a r 若关于x的不等式f x 在r上恒成立 则a的取值范围是 答案 2 2 解析令g x 当a 0时 如图1所示 若f x g x 恒成立 则g 0 2 得a 2 2 a 0 图1当a 0 x 1时 如图2所示 f x x 则f x 1 由f x 得x 2 此时y 3 即点b 2 3 则g 2 a 3 得a 2 0 a 2 图2综上可知 2 a 2 思路分析作出函数y f x 的图象 借助于图象的直观性求出f x 在r上恒成立时a的取值范围 方法总结解决含绝对值不等式恒成立的问题 往往将不等式问题转化为两函数图象的上 下位置关系问题 从而利用数形结合得出满足条件的不等式 进而求出参数a的值 3 2017天津理改编 8 5分 已知函数f x 设a r 若关于x的不等式f x 在r上恒成立 则a的取值范围是 答案 解析本题考查分段函数的应用及不等式恒成立问题 当x 1时 关于x的不等式f x 在r上恒成立等价于 x2 x 3 a x2 x 3在r上恒成立 即有 x2 x 3 a x2 x 3在r上恒成立 由y x2 x 3图象的对称轴为x 可得在x 处取得最大值 由y x2 x 3图象的对称轴为x 可得在x 处取得最小值 则 a 当x 1时 关于x的不等式f x 在r上恒成立等价于 a x 在r上恒成立 即有 a 在r上恒成立 由于x 1 所以 2 2 当且仅当x 时取得最大值 2 因为x 1 所以x 2 2 当且仅当x 2时取得最小值2 则 2 a 2 由 可得 a 2 思路分析讨论当x 1时 运用绝对值不等式的解法和分离参数 可得 x2 x 3 a x2 x 3 再由二次函数的最值求法 可得a的取值范围 讨论当x 1时 同样可得 a 再利用基本不等式可得最值 从而可得a的取值范围 求交集即可得到所求范围 4 2013山东理改编 12 5分 设正实数x y z满足x2 3xy 4y2 z 0 则当取得最大值时 的最大值为 答案1 解析由x2 3xy 4y2 z 0 得z x2 3xy 4y2 又x y z为正实数 4 当且仅当x 2y时取等号 此时z 2y2 1 当 1 即y 1时 上式有最大值1 5 2016山东理 16 12分 在 abc中 角a b c的对边分别为a b c 已知2 tana tanb 1 证明 a b 2c 2 求cosc的最小值 解析 1 由题意知2 化简得2 sinacosb sinbcosa sina sinb 即2sin a b sina sinb 因为a b c 所以sin a b sin c sinc 从而sina sinb 2sinc 由正弦定理得a b 2c 2 由 1 知c 所以cosc 当且仅当a b时 等号成立 故cosc的最小值为 疑难突破利用切化弦将已知等式等价转化 最终转化为三角形三角正弦之间的关系 从而结合正弦定理得出三角形三边之间的关系 一 填空题 每题5分 共25分 1 2017江苏南通 扬州 泰州第三次模拟考试 11 若正实数x y满足x y 1 则 的最小值是 三年模拟 a组2015 2017年高考模拟 基础题组 时间 45分钟分值 50分 答案8 解析因为x y 1 且x 0 y 0 所以 4 2 4 4 4 8 当且仅当 即y 2x时取 所以 的最小值为8 2 2017无锡普通高中期中 9 已知正实数a b满足a 3b 7 则 的最小值为 答案 解析 a 1 3 2 b 当且仅当 即a 1 b 2 时取等号 故答案为 3 2017扬州上学期期中 11 若a 0 b 2 且a b 3 则使得 取得最小值的实数a 答案 解析因为a b 3 所以a b 2 1 又a 0 b 2 所以 4 1 9 当且仅当 时取等号 此时a 2 b 2 结合a b 3 解得b a 4 2016江苏苏州一模 13 已知ab a b 0 1 则 的最小值为 答案4 解析 2 2 2 2 由题意得4a 1 0 4 4a 0 所以原式 4 2 4 当且仅当 时取等号 5 2016江苏泰州一模 13 若正实数x y满足 2xy 1 2 5y 2 y 2 则x 的最大值为 答案 1 解析令x t t 0 则 2yt 2 2 5y 2 y 2 4t2 5 y2 8 8t y 8 0 因此 8 8t 2 32 4t2 5 0 2t2 4t 7 0 00 x 0 因此x 的最大值为 1 6 2015江苏四市三模 8 已知常数a 0 函数f x x x 1 的最小值为3 则a的值为 答案1 解析 x 1 x 1 0 又a 0 f x x x 1 1 2 1 2 1 3 a 1 此时 x 1 即x 2 7 2015江苏连云港二模 13 设x y z均为大于1的实数 且z为x和y的等比中项 则 的最小值为 答案 解析由题意得z2 xy lgx 0 lgy 0 2 当且仅当 即lgy 2lgx 即y x2时取等号 二 解答题 共15分 8 2016江苏扬州中学期中 18 有一块三角形地 如图中 abc 其中ab 8百米 ac 6百米 a 60 某市为迎接2500年城庆 欲利用这块地修一个三角形形状的草坪 图中 aef 供市民休闲 其中点e在边ab上 点f在边ac上 规划部门要求 aef的面积占 abc的面积的一半 记 aef的周长为l 百米 1 如果要对草坪进行灌溉 需沿 aef的三边安装水管 求水管总长度的最小值 2 如果沿 aef的三边修建休闲长廊 求长廊总长度的最大值 并确定此时e f的位置 解析 1 设ae x 百米 s aef s abc ae af sina ab ac sina ab 8 ac 6 af 4 x 8 aef中 ef2 x2 2x cos60 x2 24 l x x 4 8 l x 2 6 当且仅当x 2时取 lmin 6 故水管总长度的最小值为6百米 2 由 1 知 l x x 4 8 令t x x 4 8 t 1 列表得 且x 4时 t 10 x 8时 t 11 故t 4 11 l t 在 4 11 上单调递增 当t 11时 lmax 18 此时x 8 3 故当点e在b处 点f是线段ac的中点时 长廊总长度的最大值为18百米 一 填空题 每题5分 共40分 1 2017江苏苏北四市联考 11 若实数x y满足xy 3x 3 则 的最小值为 b组2015 2017年高考模拟 综合题组 时间 45分钟分值 50分 答案8 解析 实数x y满足xy 3x 3 x y 3 则 y 3 y 3 6 2 6 8 当且仅当y 3 即y 4时取等号 思路分析实数x y满足xy 3x 3 可得x 可得y 3 则 y 3 y 3 6 利用基本不等式可求得结果 2 2017江苏仪征中学第二学期期初检测 13 已知正数x y满足 4xy 那么y的最大值为 答案 解析 4xy得4x y 16x2y 12xy2 即 4 12y2 x 1 16x2 y 16x 8当且仅当16x 即x 时等号成立 故4 12y2 8y 即3y2 2y 1 0 所以 1 y 故y的最大值为 3 2017盐城第三次模拟考试 12 若a b均为非负实数 且a b 1 则 的最小值为 答案3 解析由a b 1 可得 1 b 2 b 因为a b均为非负实数 且a b 1 所以0 b 1 则 3 当且仅当 即b 0时等号成立 故 的最小值为3 思路分析根据a b 1 把 转化为含一个变量的表达式 再结合基本不等式求解 4 2017苏锡常镇四市高三教学情况调研 二 已知a b均为正数 且ab a 2b 0 则 b2 的最小值为 答案7 解析由已知可得2b a ab 由a 0 b 0可得2 2b a ab 所以ab 8 当且仅当a 2b时等号成立 所以 b2 1 ab 1 7 故所求最小值为7 5 2016江苏苏北四市调研 12 设a b c是正实数 满足b c a 则 的最小值为 答案 解析 b c a 2b c a b a b c是正实数 令t 则t 0 且 t 2 当且仅当t 时取 则 的最小值为 6 2016江苏苏北四市调研 13 已知a 0 1 b 1 0 c t 0 t为正整数 点d是直线ac上的动点 若ad 2bd恒成立 则t的最小值为 答案4 解析由题意知直线ac的方程为y x 1 设d ad 2bd 2 化简得x2 x 8 0对任意x总成立 则 4 8 0 化简得t2 4t 1 0 解得t 2 或t 2 结合t为正整数得t的最小值为4 7 2015南京三模 12 已知x y为正实数 则 的最大值为 答案 解析令m 4x y n x y 则m 0 n 0且 当且仅当m 2n 即y 2x时取等号 8 2015江苏南通三模 14 已知正实数x y满足x 3y 10 则xy的取值范围为 答案 解析令t xy 则t 0 且题中等式可化为x 10 即x 10 10 x 2 2 3t2 11t 8 0 1 t 即1 xy 二 解答题 共10分 9 2016江苏宿迁三校调研 19 如图 公路am an围成的是一块顶角为 的角形耕地 其中tan 2 在该块土地中p处有一小型建筑 经测量 它到公路am an的距离分别为3km km 现要过点p修建一条公路bc 将三条公路围成的区域abc建成一个工业园 为尽量减少耕地占用 试确定b点的位置 使得该工业园区的面积最小 并求最小面积 解析如图 过点p作pe am pf an 垂足分别为e f 连接pa 设ab x ac y 则x 0 y 0 因为p到am an的距离分别为3 所以pe 3 pf s abc s abp s apc x 3 y 3x y 因为tan 2 所以sin 所以s abc x y 由 可得 x y 3x y 即3x 5y 2xy 因为3x 5y 2 所以2xy 2 解得xy 15 当且仅当3x 5y时取 结合 解得x 5 y 3 此时s abc x y 取得最小值15 答 当ab 5km时 该工业园区的面积最小