高考数学一轮复习 第六章 数列 6.1 数列的有关概念课件.ppt

高考数学 江苏省专用 第六章数列 6 1数列的有关概念 2015江苏 11 5分 0 667 设数列 an 满足a1 1 且an 1 an n 1 n n 则数列前10项的和为 a组自主命题 江苏卷题组 五年高考 答案 解析由已知得 a2 a1 1 1 a3 a2 2 1 a4 a3 3 1 an an 1 n 1 1 n 2 则有an a1 1 2 3 n 1 n 1 n 2 因为a1 1 所以an 1 2 3 n n 2 即an n 2 又当n 1时 a1 1也适合上式 故an n n 所以 2 从而 2 2 2 2 2 思路分析利用累加法求出an 再利用裂项相消法求数列的前10项和 考点一数列的概念及通项公式1 2015课标 16 5分 0 154 设sn是数列 an 的前n项和 且a1 1 an 1 snsn 1 则sn b组统一命题 省 区 市 卷题组 答案 解析 an 1 sn 1 sn sn 1 sn sn 1sn 又由a1 1 知sn 0 1 是等差数列 且公差为 1 而 1 1 n 1 1 n sn 2 2013安徽理 14 5分 如图 互不相同的点a1 a2 an 和b1 b2 bn 分别在角o的两条边上 所有anbn相互平行 且所有梯形anbnbn 1an 1的面积均相等 设oan an 若a1 1 a2 2 则数列 an 的通项公式是 答案an 解析记 oa1b1的面积为s 则 oa2b2的面积为4s 从而四边形anbnbn 1an 1的面积均为3s 所以 oanbn的面积为s 3 n 1 s 3n 2 s 3n 2 即an 评析 oanbn的面积构成一个等差数列 而 oanbn与 oa1b1的面积比为 从而得到an 本题综合考查了平面几何 数列的知识 3 2016浙江改编 8 5分 如图 点列 an bn 分别在某锐角的两边上 且 anan 1 an 1an 2 an an 2 n n bnbn 1 bn 1bn 2 bn bn 2 n n p q表示点p与q不重合 若dn anbn sn为 anbnbn 1的面积 则 sn 是数列 填 等差 或 等比 答案等差 解析不妨设该锐角的顶点为c a1cb1 a1c a anan 1 b bnbn 1 c 则 can a n 1 b 作andn cbn于dn 则 andn a n 1 b sin 于是sn bnbn 1 andn c a n 1 b sin n a b csin 所以sn是关于n的一次函数 则 sn 成等差数列 4 2015重庆 22 12分 在数列 an 中 a1 3 an 1an an 1 0 n n 1 若 0 2 求数列 an 的通项公式 2 若 k0 n k0 2 1 证明 2 2 解析 1 由 0 2 有an 1an 2 n n 若存在某个n0 n 使得 0 则由上述递推公式易得 0 重复上述过程可得a1 0 此与a1 3矛盾 所以对任意n n an 0 从而an 1 2an n n 即 an 是一个公比q 2的等比数列 故an a1qn 1 3 2n 1 2 证明 由 1 数列 an 的递推关系式变为an 1an an 1 0 变形为an 1 n n 由上式及a1 3 0 归纳可得3 a1 a2 an an 1 0 因为an 1 an 所以对n 1 2 k0求和得 a1 a2 a1 a1 k0 2 2 另一方面 由上已证的不等式知a1 a2 2 得 a1 k0 2 2 综上 2 2 5 2015四川 16 12分 设数列 an n 1 2 3 的前n项和sn满足sn 2an a1 且a1 a2 1 a3成等差数列 1 求数列 an 的通项公式 2 记数列的前n项和为tn 求使得 tn 1 成立的n的最小值 解析 1 由已知sn 2an a1 有an sn sn 1 2an 2an 1 n 2 即an 2an 1 n 2 从而a2 2a1 a3 2a2 4a1 又因为a1 a2 1 a3成等差数列 即a1 a3 2 a2 1 所以a1 4a1 2 2a1 1 解得a1 2 所以 数列 an 是首项为2 公比为2的等比数列 故an 2n 2 由 1 得 所以tn 1 由 tn 1 1000 因为29 512 1000 1024 210 所以n 10 于是 使 tn 1 成立的n的最小值为10 评析本题考查等差数列与等比数列的概念 等比数列通项公式与前n项和等基础知识 考查运算求解能力 6 2013江西理 17 12分 正项数列 an 的前n项和sn满足 n2 n 1 sn n2 n 0 1 求数列 an 的通项公式an 2 令bn 数列 bn 的前n项和为tn 证明 对于任意的n n 都有tn 解析 1 由 n2 n 1 sn n2 n 0 得 sn n2 n sn 1 0 由于 an 是正项数列 所以sn 0 sn n2 n 于是a1 s1 2 n 2时 an sn sn 1 n2 n n 1 2 n 1 2n 综上 数列 an 的通项为an 2n 2 证明 由于an 2n bn 则bn tn 1 评析本题考查数列的概念和应用裂项相消法求和 考查学生的运算求解和应用知识的能力 能否合理分析通项成为本题求和的关键 考点二数列的前n项和及性质1 2013课标全国 理 16 5分 等差数列 an 的前n项和为sn 已知s10 0 s15 25 则nsn的最小值为 答案 49 解析由sn na1 d得解得a1 3 d 则sn 3n n2 10n 所以nsn n3 10n2 令f x x3 10 x2 则f x x2 x x 当x 时 f x 递减 当x 时 f x 递增 又6 7 f 6 48 f 7 49 所以nsn的最小值为 49 评析本题考查了数列与函数的应用 考查了数列的基本运算 利用导数求最值 本题易忽略n的取值范围 2 2016浙江理 13 6分 设数列 an 的前n项和为sn 若s2 4 an 1 2sn 1 n n 则a1 s5 答案1 121 解析解法一 an 1 2sn 1 a2 2s1 1 即s2 a1 2a1 1 又 s2 4 4 a1 2a1 1 解得a1 1 又an 1 sn 1 sn sn 1 sn 2sn 1 即sn 1 3sn 1 由s2 4 可求出s3 13 s4 40 s5 121 解法二 由an 1 2sn 1 得a2 2s1 1 即s2 a1 2a1 1 又s2 4 4 a1 2a1 1 解得a1 1 又an 1 sn 1 sn sn 1 sn 2sn 1 即sn 1 3sn 1 则sn 1 3 又s1 是首项为 公比为3的等比数列 sn 3n 1 即sn s5 121 评析本题考查了数列的前n项和sn与an的关系 利用an 1 sn 1 sn得出sn 1 3sn 1是解题的关键 3 2017课标全国 文 17 12分 设数列 an 满足a1 3a2 2n 1 an 2n 1 求 an 的通项公式 2 求数列的前n项和 解析 1 因为a1 3a2 2n 1 an 2n 故当n 2时 a1 3a2 2n 3 an 1 2 n 1 两式相减得 2n 1 an 2 所以an n 2 又由题设可得a1 2 从而 an 的通项公式为an n n 2 记的前n项和为sn 由 1 知 则sn 思路分析 1 条件a1 3a2 2n 1 an 2n的实质就是数列 2n 1 an 的前n项和 故可利用an与sn的关系求解 2 利用 1 求得的 an 的通项公式 然后用裂项相消法求和 易错警示 1 要注意n 1时 是否符合所求得的通项公式 2 裂项相消后 注意留下了哪些项 避免遗漏 4 2017北京文 15 13分 已知等差数列 an 和等比数列 bn 满足a1 b1 1 a2 a4 10 b2b4 a5 1 求 an 的通项公式 2 求和 b1 b3 b5 b2n 1 解析本题考查等差数列及等比数列的通项公式 数列求和 考查运算求解能力 1 设等差数列 an 的公差为d 因为a2 a4 10 所以2a1 4d 10 解得d 2 所以an 2n 1 2 设等比数列 bn 的公比为q 因为b2b4 a5 所以b1qb1q3 9 解得q2 3 所以b2n 1 b1q2n 2 3n 1 从而b1 b3 b5 b2n 1 1 3 32 3n 1 方法总结求解有关等差数列和等比数列问题的关键是对其基本量 首项 公差 公比 进行求解 对于数列求和问题 常用的方法有公式法 裂项相消法 错位相减法 倒序相加法和分组转化法等 5 2014课标 17 12分 已知数列 an 满足a1 1 an 1 3an 1 1 证明是等比数列 并求 an 的通项公式 2 证明 解析 1 由an 1 3an 1得an 1 3 又a1 所以是首项为 公比为3的等比数列 an 因此 an 的通项公式为an 2 证明 由 1 知 因为当n 1时 3n 1 2 3n 1 所以 于是 1 所以 评析本题考查了等比数列的定义 数列求和等问题 放缩求和是本题的难点 6 2016四川 19 12分 已知数列 an 的首项为1 sn为数列 an 的前n项和 sn 1 qsn 1 其中q 0 n n 1 若a2 a3 a2 a3成等差数列 求数列 an 的通项公式 2 设双曲线x2 1的离心率为en 且e2 2 求 解析 1 由已知 sn 1 qsn 1 sn 2 qsn 1 1 两式相减得到an 2 qan 1 n 1 又由s2 qs1 1得到a2 qa1 故an 1 qan对所有n 1都成立 所以 数列 an 是首项为1 公比为q的等比数列 从而an qn 1 由a2 a3 a2 a3成等差数列 可得2a3 a2 a2 a3 所以a3 2a2 故q 2 所以an 2n 1 n n 2 由 1 可知 an qn 1 所以双曲线x2 1的离心率en 由e2 2解得q 所以 1 1 1 q2 1 q2 n 1 n 1 q2 q2 n 1 n n 3n 1 7 2015山东 18 12分 设数列 an 的前n项和为sn 已知2sn 3n 3 1 求 an 的通项公式 2 若数列 bn 满足anbn log3an 求 bn 的前n项和tn 解析 1 因为2sn 3n 3 所以2a1 3 3 故a1 3 当n 1时 2sn 1 3n 1 3 此时2an 2sn 2sn 1 3n 3n 1 2 3n 1 即an 3n 1 所以an 2 因为anbn log3an 所以b1 当n 1时 bn 31 nlog33n 1 n 1 31 n 所以t1 b1 当n 1时 tn b1 b2 b3 bn 1 3 1 2 3 2 n 1 31 n 所以3tn 1 1 30 2 3 1 n 1 32 n 两式相减 得2tn 30 3 1 3 2 32 n n 1 31 n n 1 31 n 所以tn 经检验 n 1时也适合 综上可得tn 评析本题考查数列的前n项和sn与通项an间的关系 错位相减法等常见解题方法 背景常规 考向清楚明确 但运算量较大 8 2014江西 17 12分 已知首项都是1的两个数列 an bn bn 0 n n 满足anbn 1 an 1bn 2bn 1bn 0 1 令cn 求数列 cn 的通项公式 2 若bn 3n 1 求数列 an 的前n项和sn 解析 1 因为anbn 1 an 1bn 2bn 1bn 0 bn 0 n n 所以 2 即cn 1 cn 2 所以数列 cn 是以1为首项 2为公差的等差数列 故cn 2n 1 2 由bn 3n 1知an cnbn 2n 1 3n 1 于是数列 an 的前n项和sn 1 30 3 31 5 32 2n 1 3n 1 3sn 1 31 3 32 2n 3 3n 1 2n 1 3n 相减得 2sn 1 2 31 32 3n 1 2n 1 3n 2 2n 2 3n 所以sn n 1 3n 1 评析本题主要考查等差数列的有关概念及求数列的前n项和 考查学生的运算求解能力 在利用错位相减法求和时 计算失误是学生失分的主要原因 9 2014山东 19 12分 已知等差数列 an 的公差为2 前n项和为sn 且s1 s2 s4成等比数列 1 求数列 an 的通项公式 2 令bn 1 n 1 求数列 bn 的前n项和tn 解析 1 s1 a1 s2 2a1 2 2a1 2 s4 4a1 2 4a1 12 由题意得 2a1 2 2 a1 4a1 12 解得a1 1 所以an 2n 1 2 bn 1 n 1 1 n 1 1 n 1 当n为偶数时 tn 1 当n为奇数时 tn 1 所以tn 评析本题考查等差数列的通项公式 前n项和公式和数列的求和 分类讨论的思想和运算求解能力 逻辑推理能力 1 2013广东理 19 14分 设数列 an 的前n项和为sn 已知a1 1 an 1 n2 n n n 1 求a2的值 2 求数列 an 的通项公式 3 证明 对一切正整数n 有 c组教师专用题组 解析 1 依题意 得2s1 a2 1 又s1 a1 1 所以a2 4 2 当n 2时 2sn nan 1 n3 n2 n 2sn 1 n 1 an n 1 3 n 1 2 n 1 两式相减得2an nan 1 n 1 an 3n2 3n 1 2n 1 整理得 n 1 an nan 1 n n 1 即 1 又 1 故数列是首项为 1 公差为1的等差数列 所以 1 n 1 1 n 所以an n2 3 证明 当n 1时 1 当n 2时 1 当n 3时 此时 1 1 1 综上 对一切正整数n 有 2 2015课标 17 12分 sn为数列 an 的前n项和 已知an 0 2an 4sn 3 1 求 an 的通项公式 2 设bn 求数列 bn 的前n项和 解析 1 由 2an 4sn 3 可知 2an 1 4sn 1 3 可得 2 an 1 an 4an 1 即2 an 1 an an 1 an an 1 an 由于an 0 可得an 1 an 2 又 2a1 4a1 3 解得a1 1 舍去 或a1 3 所以 an 是首项为3 公差为2的等差数列 通项公式为an 2n 1 6分 2 由an 2n 1可知bn 设数列 bn 的前n项和为tn 则tn b1 b2 bn 12分 3 2016北京 15 13分 已知 an 是等差数列 bn 是等比数列 且b2 3 b3 9 a1 b1 a14 b4 1 求 an 的通项公式 2 设cn an bn 求数列 cn 的前n项和 解析 1 等比数列 bn 的公比q 3 1分 所以b1 1 b4 b3q 27 3分 设等差数列 an 的公差为d 因为a1 b1 1 a14 b4 27 所以1 13d 27 即d 2 5分 所以an 2n 1 n n 6分 2 由 1 知 an 2n 1 bn 3n 1 因此cn an bn 2n 1 3n 1 8分 从而数列 cn 的前n项和sn 1 3 2n 1 1 3 3n 1 n2 13分 评析本题考查了等差 等比数列的通项公式和前n项和公式 属容易题 4 2015浙江 20 15分 已知数列 an 满足a1 且an 1 an n n 1 证明 1 2 n n 2 设数列 的前n项和为sn 证明 n n 证明 1 由题意得an 1 an 0 即an 1 an 故an 由an 1 an 1 an 1得an 1 an 1 1 an 2 1 a1 a1 0 由0 an 得 1 2 即1 2 2 由题意得 an an 1 所以sn a1 an 1 由 和1 2得1 2 所以n 2n 因此 an 1 n n 由 得 n n 评析本题主要考查数列的递推公式与单调性 不等式性质等基础知识 同时考查推理论证能力 分析问题和解决问题的能力 一 填空题 每题5分 共25分 1 2017无锡普通高中高三上学期期中 设数列 an 的前n项和为sn 已知4sn 2an n2 7n n n 则a11 三年模拟 a组2015 2017年高考模拟 基础题组 时间 25分钟分值 40分 答案 2 解析由4sn 2an n2 7n n n 可得当n 2时 4sn 1 2an 1 n 1 2 7 n 1 将以上两式相减可得4an 2an n 1 2n 1 7 即an an 1 n 4 所以an an 1 n 4 n 2 易得a1 3 所以a2 3 2 4 1 a3 1 3 4 2 依次可算得a11 2 2 2017江苏启东中学第一学期第一次月考 9 设a 0 若an 且数列 an 是递增数列 则实数a的取值范围是 答案 2 3 解析由于 an 是递增数列 则即解得2 a 3 实数a的取值范围为 2 3 3 2017常州一中质量检测 6 设数列 an 的前n项和为sn 若s2 4 an 1 1 2sn n n 则s5 答案121 解析由an 1 1 2sn可得sn 1 sn 1 2sn 故sn 1 3sn 1 从而sn 1 3 又s2 4 所以s1 1 所以sn 3n 1 即sn 从而s5 121 4 2016江苏泰州一模 12 f x 是r上的奇函数 当x 0时 f x 2x ln 记an f n 5 则数列 an 的前8项和为 答案 16 解析由已知条件可知a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 f 4 f 3 f 2 f 1 f 0 f 1 f 2 f 3 f 4 f 4 24 ln 16 5 2015江苏连云港期末 8 已知数列 an 的前n项和为sn a1 1 当n 2时 an 2sn 1 n 则s2016 答案1008 解析n 2时 an 2sn 1 n an 1 2sn n 1 两式相减得 an 1 an 1 n 2 n 2时 a2 2a1 2 又a1 1 a2 0 a2 a1 1 当n 1时符合 式 所以an 1 an 1 n n 当n是奇数时 an 1 n是偶数时 an 0 所以 s2016 1008 二 解答题 共15分 6 2016江苏苏州一模 19 已知数列 an 满足 a1 an 1 an p 3n 1 nq n n p q r 1 若q 0 且数列 an 为等比数列 求p的值 2 若p 1 且a4为数列 an 的最小项 求q的取值范围 解析 1 q 0 an 1 an p 3n 1 a2 a1 p p a3 a2 3p 4p 由数列 an 为等比数列 得 解得p 0或p 1 当p 0时 an 1 an an 符合题意 当p 1时 an 1 an 3n 1 当n 2时 an a1 a2 a1 a3 a2 an an 1 1 3 3n 2 3n 1 又 a1 31 1 an 3n 1 3 符合题意 p 0或p 1 2 解法一 若p 1 则an 1 an 3n 1 nq 当n 2时 an a1 a2 a1 a3 a2 an an 1 1 3 3n 2 1 2 n 1 q 3n 1 n n 1 q 又 a1 31 1 1 1 1 q an 3n 1 n n 1 q 数列 an 的最小项为a4 对任意n n 有 3n 1 n n 1 q a4 27 12q 恒成立 即3n 1 27 n2 n 12 q对任意n n 恒成立 当n 1时 有 26 12q q 当n 2时 有 24 10q q 当n 3时 有 18 6q q 3 当n 4时 有0 0 q r 当n 5时 n2 n 12 0 所以有q 恒成立 令cn n 5 n n 则cn 1 cn 0 即数列 cn 为递增数列 q c5 综上所述 3 q 解法二 因为p 1 an 1 an 3n 1 nq 又a4为数列 an 的最小项 所以即所以3 q 此时a2 a1 1 qa2 a3 a4 当n 4时 令bn an 1 an bn 1 bn 2 3n 1 q 2 34 1 0 所以bn 1 bn 因为b4 a5 a4 0 所以0 b4 b5 b6 即a4 a5 a6 a7 综上所述 当3 q 时 a4为数列 an 的最小项 即所求q的取值范围为 一 填空题 每题5分 共25分 1 2017泰州中学第一次质量检测 数列 an 定义如下 a1 1 a2 3 an 2 an n 1 2 若am 4 则正整数m的最小值为 b组2015 2017年高考模拟 综合题组 时间 30分钟分值 50分 答案8069 解析由an 2 an 得 n 2 an 2 nan 2 n 1 an 1 即数列 nan 成等差数列 其首项为1 公差为2a2 a1 6 1 5 所以nan 1 5 n 1 5n 4 即an 5 因此am 4 5 4 m 8068 所以正整数m的最小值为8069 方法拓展证明 an 是等差数列的方法 1 定义法 an 1 an d d为常数 an 为等差数列 2 等差中项法 2an 1 an an 2 an 是等差数列 3 通项法 an为n的一次函数 an 为等差数列 4 前n项和法 sn an2 bn an 为等差数列 2 2017苏州高三上学期期中 已知数列 an 满足 an 1 an 1 an 1 a1 1 数列 bn 满足 bn an an 1 则数列 bn 的前10项的和s10 答案 解析由an 1 an 1 an 1 得 1 即 1 又a1 1 n 1 n 从而an 又 bn an an 1 bn 数列 bn 的前10项的和s10 1 思路分析由an 1 an 1 an 1 得出 1 结合a1 1可求 an 的通项公式 进而得出 bn 的通项公式 最后利用裂项相消法求s10 3 2017江苏华罗庚中学调研 13 已知正项数列 an 满足a1 1 数列 bn 为等比数列 且an 1 bn an 若 2 则a22 答案 解析由an 1 bn an可得bn 所以b1 b2 b3 b21 又数列 bn 为等比数列 且 2 所以令b1 b2 b3 b21 s 则s2 b1b2b3 b21 b21b20 b2b1 b1b21 b2b20 b21b1 221 所以s 即a22 4 2016江苏扬州一模 13 已知数列 an 中 a1 a 0 a 2 an 1 n n 记sn a1 a2 an 若sn 2015 则n 答案1343 解析分情况讨论 若0 a 1 则a1 a 0 a1 1 a2 3 a 2 a2 3 a3 1 a 0 a3 1 a4 2 a 2 a4 3 a5 a 0 a5 1 可知该数列每四项为一个循环 且a1 a2 a3 a4 6 又2015 6 335 5 且a1 a 5 a1 a2 3 a1 a2 a3 4 a 5 a1 a2 a3 a4 6 当0 a 1时 不存在正整数n使sn 2015 若1 a 2 则a1 a 1 a1 2 a2 3 a 1 a2 2 a3 a 1 a3 2 可知该数列每两项为一个循环 且a1 a2 3 又2015 3 671 2 a1 a 2时满足题意 此时n 671 2 1 1343 5 2015南京 盐城一模 14 已知数列 an 满足a1 1 a2 a1 an 1 an 2n n n 若数列 a2n 1 单调递减 数列 a2n 单调递增 则数列 an 的通项公式为an 答案 解析因为a2 a1 a2n 1 单调递减 a2n 单调递增 所以a2n a2n 2 a2 a1 a3 a2n 1 因为 an 1 an 2n 所以an 1 an 1 n 12n 利用累加法可得 当n 2时 an a1 1 2 2 1 3 22 1 n 2n 1 an a1 1 当n 1时 a1 1 满足上式 所以an 二 解答题 共25分 6 2016江苏南京 盐城二模 20 已知数列 an 的前n项和为sn 且对任意正整数n 都有an