高考数学二轮复习 专题八 数学思想方法与高考数学文化 第2讲 分类讨论思想、转化与化归思想课件 文.pptVIP

第2讲分类讨论思想 转化与化归思想 数学思想解读1 分类讨论的思想是当问题的对象不能进行统一研究时 就需要对研究的对象按某个标准进行分类 然后对每一类分别研究 给出每一类的结论 最终综合各类结果得到整个问题的解答 实质上分类讨论就是 化整为零 各个击破 再集零为整 的数学思想 2 转化与化归思想方法用在研究 解决数学问题时 思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化到另一种情形 也就是转化到另一种情境使问题得到解决 这种转化是解决问题的有效策略 同时也是获取成功的思维方式 探究提高1 指数函数 对数函数的单调性取决于底数a 因此 当底数a的大小不确定时 应分01两种情况讨论 2 利用等比数列的前n项和公式时 若公比q的大小不确定 应分q 1和q 1两种情况进行讨论 这是由等比数列的前n项和公式决定的 解析 1 当n 1时 a1 s1 2a1 2 解得a1 2 因为sn 2an 2 当n 2时 sn 1 2an 1 2 两式相减得 an 2an 2an 1 即an 2an 1 则数列 an 为首项为2 公比为2的等比数列 则s5 s4 a5 25 32 探究提高1 圆锥曲线形状不确定时 常按椭圆 双曲线来分类讨论 求圆锥曲线的方程时 常按焦点的位置不同来分类讨论 2 相关计算中 涉及图形问题时 也常按图形的位置不同 大小差异等来分类讨论 应用3由变量或参数引起的分类讨论 例3 已知f x x aex a r e为自然对数的底 1 讨论函数f x 的单调性 2 若f x e2x对x r恒成立 求实数a的取值范围 解 1 f x 1 aex 当a 0时 f x 0 函数f x 是 上的单调递增函数 当a 0时 由f x 0得x lna 所以函数f x 在 lna 上的单调递增 在 lna 上的单调递减 探究提高1 1 参数的变化取值导致不同的结果 需对参数进行讨论 如含参数的方程 不等式 函数等 本题中参数a与自变量x的取值影响导数的符号应进行讨论 2 解析几何中直线点斜式 斜截式方程要考虑斜率k存在或不存在 涉及直线与圆锥曲线位置关系要进行讨论 2 分类讨论要标准明确 统一 层次分明 分类要做到 不重不漏 训练3 2015 全国 卷 已知函数f x lnx a 1 x 1 讨论f x 的单调性 2 当f x 有最大值 且最大值大于2a 2时 求a的取值范围 探究提高1 一般问题特殊化 使问题处理变得直接 简单 特殊问题一般化 可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律 从而达到成批处理问题的效果 2 对于某些选择题 填空题 如果结论唯一或题目提供的信息暗示答案是一个定值时 可以把题中变化的量用特殊值代替 即可得到答案 应用2函数 方程 不等式之间的转化 例5 已知函数f x 3e x 若存在实数t 1 使得对任意的x 1 m m z且m 1 都有f x t 3ex 试求m的最大值 解 当t 1 且x 1 m 时 x t 0 f x t 3ex ex t ex t 1 lnx x 原命题等价转化为 存在实数t 1 使得不等式t 1 lnx x对任意x 1 m 恒成立 令h x 1 lnx x 1 x m 探究提高1 函数与方程 不等式联系密切 解决方程 不等式的问题需要函数帮助 2 解决函数的问题需要方程 不等式的帮助 因此借助于函数与方程 不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简 一般可将不等关系转化为最值 值域 问题 从而求出参变量的范围 探究提高1 第 1 题是正与反的转化 由于不为单调函数有多种情况 先求出其反面 体现 正难则反 的原则 题目若出现多种成立的情形 则不成立的情形相对很少 从后面考虑较简单 因此 间接法多用于含有 至多 至少 及否定性命题情形的问题中 2 第 2 题是把关于x的函数转化为在 0 4 内关于p的一次函数大于0恒成立的问题 在处理多变元的数学问题时 我们可以选取其中的参数 将其看作是 主元 而把其它变元看作是参数 训练6 已知函数f x x3 3ax 1 g x f x ax 5 其中f x 是f x 的导函数 对满足 1 a 1的一切a的值 都有g x 0 则实数x的取值范围为 1 分类讨论思想是将一个较复杂的数学问题分解 或分割 成若干个基础性问题 通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略 对问题实行分类与整合 分类标准等于增加一个已知条件 实现了有效增设 将大问题 或综合性问题 分解为小问题 或基础性问题 优化解题思想 降低问题难度 常见的分类讨论问题 1 集合 注意集合中空集 讨论 2 函数 对数函数或指数函数中的底数a 一般应分a 1和0 a 1的讨论 函数y ax2 bx c有时候分a 0和a 0的讨论 对称轴位置的讨论 判别式的讨论 3 数列 由sn求an分n 1和n 1的讨论 等比数列中分公比q 1和q 1的讨论 4 三角函数 角的象限及函数值范围的讨论 5 不等式 解不等式时含参数的讨论 基本不等式相等条件是否满足的讨论 6 立体几何 点线面及图形位置关系的不确定性引起的讨论 7 平面解析几何 直线点斜式中k分存在和不存在 直线截距式中分b 0和b 0的讨论 轨迹方程中含参数时曲线类型及形状的讨论 8 去绝对值时的讨论及分段函数的讨论等 2 转化与化