高中数学 第4章 导数及其应用 4.3 导数在研究函数中的应用 4.3.3 三次函数的性质：单调区间和极值课堂讲义配套课件 湘教版选修22.pptVIP

4 3 3三次函数的性质 单调区间和极值 学习目标 1 理解函数最值的概念 了解函数最值与极值的区别和联系 2 会用导数求在闭区间上三次的多项式函数的最大值 最小值 知识链接 极值反映的是函数在某一点附近的局部性质 而不是函数在整个定义域内的性质 但是我们往往更关心函数在某个区间上哪个值最大 哪个值最小 函数的极值与最值有怎样的关系 答函数的最大值 最小值是比较整个定义区间的函数值得出的 函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的 函数的极值可以有多个 但最值只能有一个 极值只能在区间内取得 最值则可以在端点处取得 有极值的未必有最值 有最值的未必有极值 极值有可能成为最值 最值只要不在端点处取得必定是极值 所以在开区间 a b 上若存在最值 则必是极值 预习导引 三次函数的导数零点与其单调区间和极值设f x ax3 bx2 cx d a 0 f x 3ax2 2bx c a 0 填写下表 当a 0时 u v u v 递增 递增 递增 上递减 x u 在x v 无 无 当a 0时 u v u v 递减 递减 递减 递增 极小值 极大值 要点一求三次函数的单调区间和极值点例1求下列函数的单调区间和极值点 1 f x 2x3 3x2 6x 1 2 f x 2x3 9x2 12x 7 解 1 f x 6x2 6x 6 6 x2 x 1 由于f x 恒正 f x 在 上递增 无极值点 2 f x 6x2 18x 12 6 x2 3x 2 6 x 1 x 2 f x 在 1 和 2 上均为负 在 1 2 上为正 f x 在 1 和 2 上递减 在 1 2 上递增 f x 在x 1处取到极小值 在x 2处取到极大值 规律方法对此类题目 只要理解了f x 的符号对函数f x 取极值的影响 所有问题便迎刃而解 所以重要的是方法的领悟 要点二求函数在闭区间上的最值例2求下列各函数的最值 1 f x x4 2x2 3 x 3 2 2 f x x3 3x2 6x 2 x 1 1 解 1 f x 4x3 4x 令f x 4x x 1 x 1 0 得x 1 x 0 x 1 当x变化时 f x 及f x 的变化情况如下表 2 f x 3x2 6x 6 3 x2 2x 2 3 x 1 2 3 f x 在 1 1 内恒大于0 f x 在 1 1 上为增函数 故x 1时 f x 最小值 12 x 1时 f x 最大值 2 即f x 的最小值为 12 最大值为2 规律方法 1 求函数的最值 显然求极值是关键的一环 但仅仅是求最值 可用下面简化的方法求得 求出导数为零的点 比较这些点与端点处函数值的大小 就可求出函数的最大值和最小值 2 若函数在闭区间 a b 上连续且单调 则最大 最小值在端点处取得 2 f x 3ex exx2 f x 3ex exx2 2exx ex x2 2x 3 ex x 3 x 1 在区间 2 5 上 f x ex x 3 x 1 0 即函数f x 在区间 2 5 上单调递减 x 2时 函数f x 取得最大值f 2 e2 x 5时 函数f x 取得最小值f 5 22e5 要点三函数最值的应用例3设函数f x tx2 2t2x t 1 x r t 0 1 求f x 的最小值h t 2 若h t 2t m对t 0 2 恒成立 求实数m的取值范围 解 1 f x t x t 2 t3 t 1 x r t 0 当x t时 f x 取最小值f t t3 t 1 即h t t3 t 1 2 令g t h t 2t m t3 3t 1 m 由g t 3t2 3 0得t 1 t 1 不合题意 舍去 当t变化时g t g t 的变化情况如下表 对t 0 2 当t 1时 g t max 1 m h t 1 故实数m的取值范围是 1 跟踪演练3设函数f x 2x3 9x2 12x 8c 1 若对任意的x 0 3 都有f x c2成立 求c的取值范围 2 若对任意的x 0 3 都有f x c2成立 求c的取值范围 解 1 f x 6x2 18x 12 6 x 1 x 2 当x 0 1 时 f x 0 当x 1 2 时 f x 0 当x 2 3 时 f x 0 当x 1时 f x 取极大值f 1 5 8c 又f 3 9 8c f 1 x 0 3 时 f x 的最大值为f 3 9 8c 对任意的x