高考解析几何串讲.doc

解析几何解析几何串串烧1、设经过点直线l与椭圆交于A,B两点(1) 是否存在直线,使点恰好为AB的中点？若存在求出直线若不存在,说明理由.(2) 是否存在直线,使？若存在求出直线若不存在,说明理由.(3) 求AOB的面积S的最大值(4) 求的取值范围(5) 求直线l, 使以AB为直径的圆通过原点(6) 设左焦点为, 若以为直径的圆恰好过点, 求直线方程.(7) 若,是否存在直线使点恰好落在该椭圆上.(8) 求以OA,OB为邻边的平行四边形OAPB的顶点P的轨迹方程.(9) 求三角形AOB重心的轨迹方程。(10) 若,求的方程。（可改为：若,求的方程。）(11) 设，当时求l的方程(12) 当直线l的斜率为1时，以AB为一边作正三角形ABD，求顶点D的坐标(13) 若点在直线上,是否存在直线,使得为正三角形,若存在求出直线若不存在,说明理由.(14) 若点为直线上一点, 是否存在直线使,存在求出该直线,若不存在,说明理由.(15) 设与关于轴对称,求证:过定点(16) 若过椭圆中心的的弦,求证:为定值参考答案：（1） （2） （3） （4） （5）（6） （7） （8） 即（9）即（10）（11） （12）或（13） 存在，直线 （14）不存在 （15）过定点 （16）2、抛物线焦点为F，设为抛物线的焦点弦的端点， 记AB所在直线的倾斜角为q ，过做垂直准线于点,过做垂直准线于点.证明：（1） xx= 证明：当AB与x轴垂直时，即AB为通径AB方程是：x = 设由解得：A( B(则；xx= AB与x轴不垂直时，AB方程是 消x得 ky-2py-kp=0 得 由 得xx= （或消y得）（2）为定值 证明：（3） 证明：AB与x轴垂直时，AB与x轴不垂直时， （4）证明： 证明：或消y得 （5）MFNF 证法1：式子的几何意义：， 故：，得与相似，由此可以推出：MFNF证法2：M ( N ( F ( 所以： 因此：MFNF 即：过抛物线的焦点弦的两端作准线的垂线，两垂足与焦点的连线互相垂直.注：还可证明以为直径的圆与直线相切。（证中点与的连线与垂直。）（6）以焦点弦AB为直径作圆与准线相切证明：设分别为线段和中点，连接,则,又因为（=所以，以焦点弦AB为直径的圆与准线x=-注：还可证明以为直径的圆与y轴相切；以为直径的圆与y轴相切（7）证明：A,O,N三点共线证明：,N, 因为： 所以： =2故 ， A,O,N三点共线. (同理可证B,O,M三点共线)注： 此题可改为：延长交抛物线准线于点N, 连接, 证明:轴.证明：设直线方程为，令解得=3、已知抛物线，过焦点的动直线交抛物线于两点，抛物线在两点处的切线相交于点.设为两点的中点，点为坐标原点；（1）求证：为钝角三角形；证明：由题意直线斜率存在，设直线方程为消得 得，由得所以 故为钝角，得证。（2）求证：点在抛物线的准线上； 证明：即，以A为切点的切线方程为即以B为切点的切线方程为即解得焦点即得点在抛物线的准线上.（3）求证：轴 证明：由（2）知，所以轴.（4）求证： 证明： 所以 （5）证明：. 证明： 所以.又因为，所以4、设A、B分别为椭圆的左右顶点，设点P为直线上不同于点（4,0）的任意一点，若直线AP、BP分别与椭圆相交于异于A、B的点M、N，Q1：判断B与以MN为直径的圆的位置关系（内、外、上）并证明。Q2：记直线与轴的交点为,在直线上是否存在点,使得A、N、H、P四点共圆？若存在，求出点P坐标，若不存在，说明理由。Q3：记直线与轴的交点为,在直线上求点,使得Q4：若时，求点坐标。Q5：直线上是否存在点,使得? 若存在，指出P点的个数，若不存在，请说明理由。Q6：求的范围Q7：设,求证为定值。Q8：直线MN是否过定点，若是，求出此定点，若不是，请说明理由。Q9：设为点关于x轴的对称点，直线是否过定点，若是，求出此定点，若不是，请说明理由。Q:10：设点P为直线上不同于的任意一点，若直线AP、BP分别与椭圆相交于异于A、B的点M、N，若点B总在以MN为直径的圆上，求的值。参考答案：Q1：圆内;Q2:不存在；Q3：P（4，）;Q4:P（4，）Q5:两个；Q6：Q7：4；Q8：（1，0）；Q9：（4,0）；Q10：14练习：【海淀期末19】 （本小题满分14分）已知点在抛物线上，点到抛物线的焦点F的距离为2，直线与抛物线交于两点.（）求抛物线的方程；（）若以为直径的圆与轴相切，求该圆的方程；（）若直线与轴负半轴相交，求面积的最大值.解：（）抛物线 的准线为，.1分由抛物线定义和已知条件可知，解得，故所求抛物线方程为.3分（）联立，消并化简整理得.依题意应有，解得.4分设，则，.5分设圆心，则应有.因为以为直径的圆与轴相切，得到圆半径为，.6分又 .所以 ，.7分解得. .8分所以，所以圆心为.故所求圆的方程为.9分方法二：联立，消掉并化简整理得， 依题意应有，解得.4分设，则.5分设圆心，则应有，因为以为直径的圆与轴相切，得到圆半径为.6分又 ，又，所以有，.7分解得，.8分所以，所以圆心为.故所求圆的方程为.9分（）因为直线与轴负半轴相交，所以，又与抛物线交于两点，由（）知，所以，.10分直线：整理得，点到直线的距离 ，.11分所以. .12分令，0极大由上表可得最大值为 .13分所以当时，的面积取得最大值 . .14分【海淀一模19】 （本小题共14分）已知椭圆 经过点其离心率为. （）求椭圆的方程；()设直线与椭圆相交于A、B两点，以线段为邻边作平行四边形OAPB，其中顶点P在椭圆上，为坐标原点.求的取值范围.解：（）由已知可得，所以 1分 又点在椭圆上，所以 2分 由解之，得. 故椭圆的方程为. 5分 () 由 消化简整理得：， 8分设点的坐标分别为，则. 9分 由于点在椭圆上，所以 . 10分 从而，化简得，经检验满足式. 11分 又 12分 因为，得，有，故. 即所求的取值范围是. 14分()另解：设点的坐标分别为，由在椭圆上，可得 6分整理得 7分由已知可得，所以 8分由已知当 ,即 9分把代入整理得 10分与联立消整理得 11分由得，所以 12分因为，得，有，故. 13分所求的取值范围是. 14分【东城一模(19)】（本小题共13分）已知椭圆的离心率为，且两个焦点和短轴的一个端点是一个等腰三角形的顶点斜率为的直线过椭圆的上焦点且与椭圆相交于，两点，线段的垂直平分线与轴相交于点（）求椭圆的方程；（）求的取值范围；（）试用表示的面积，并求面积的最大值解：（）依题意可得，又，可得所以椭圆方程为 （）设直线的方程为，由可得设，则，可得设线段中点为，则点的坐标为，由题意有，可得可得，又，所以（）设椭圆上焦点为，则.，由，可得所以又，所以.所以的面积为（）设，则可知在区间单调递增，在区间单调递减所以，当时，有最大值所以，当时，的面积有最大值【西城一模19】（本小题满分14分）已知抛物线的焦点为，过的直线交轴正半轴于点，交抛物线于两点，其中点在第一象限.（）求证：以线段为直径的圆与轴相切；（）若,，求的取值范围.解：（）由已知,设，则，圆心坐标为，圆心到轴的距离为， 2分圆的半径为， 4分所以，以线段为直径的圆与轴相切. 5分（）解法一：设，由,得， 6分所以， 8分由，得.又，所以 . 10分代入，得，整理得， 12分代入，得，所以， 13分因为，所以的取值范围是. 14分解法二：设，将代入，得，所以（*）， 6分由，得， 7分所以， 8分将代入（*）式，得， 10分所以，. 12分代入，得. 13分因为，所以的取值范围是. 14分【海淀二模19】(本小题共13分）在平面直角坐标系中，设点，以线段为直径的圆经过原点.（）求动点的轨迹的方程；（）过点的直线与轨迹交于两点，点关于轴的对称点为，试判断直线是否恒过一定点，并证明你的结论.解：（I）由题意可得， 2分所以，即 4分即，即动点的轨迹的方程为 5分（II）设直线的方程为,，则.由消整理得， 6分则，即. 7分. 9分直线 12分即所以，直线恒过定点. 13分【西城二模19】（本小题满分14分）已知椭圆的离心率为，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为（）求椭圆的方程；（）设直线与椭圆交于两点，且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求面积的最大值解：（）因为椭圆上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为，所以， 1分又椭圆的离心率为，即，所以， 2分所以，. 4分所以，椭圆的方程为. 5分（）方法一：不妨设的方程，则的方程为.由得， 6分设，因为，所以， 7分同理可得， 8分所以， 10分， 12分设，则， 13分当且仅当时取等号，所以面积的最大值为. 14分方法二：不妨设直线的方程.由 消去得， 6分设，则有，. 7分因为以为直径的圆过点，所以 .由 ，得 . 8分将代入上式，得 . 将 代入上式，解得 或（舍）. 10分所以（此时直线经过定点，与椭圆有两个交点），所以. 12分设，则.所以当时，取得最大值. 14分【东城二模19】（19）（本小题共13分）在平面直角坐标系中，动点到定点的距离比点到轴的距离大，设动点的轨迹为曲线，直线交曲线于两点，是线段的中点，过点作轴的垂线交曲线于点（）求曲线的方程；（）证明：曲线在点处的切线与平行；（）若曲线上存在关于直线对称的两点，求的取值范围（）解：由已