旋转体体积的求法(个人用讲义)与习题.doc

简单旋转体体积求法（个人用讲义）与习题一，旋转体体积的求法旋转体主要由两个元素构成，一个是旋转面，一个旋转轴。解决此类题目的一般步骤如下：1建立坐标轴2画出旋转面3观察旋转面的位置：大学阶段常见的旋转面主要为曲边三角形与曲边梯形。4看准题目中出现的旋转轴的位置：大学常见的旋转轴一般为坐标轴，极少数出现与坐标平行的直线。考研会出现任意直线旋转，等到相应的教育程度时再讨论。主要我们讨论以坐标轴为旋转轴与以平行于坐标轴的直线为坐标轴的情况。5从题中找出旋转面的曲边方程6求出单个截面圆的面积方程7求定积分二具体操作：下面我们将分两类情况来求旋转体体积1旋转轴是旋转面所在直线的情况（如图）：求其绕x轴旋转得到的旋转体体积看到题目后，我们先画出图，我们可以想象出来，这个旋转体绕x轴旋转后得到的是一个无直接公式的旋转体。但是我们可以利用定积分求解。旋转体都有一个特点，那就是用垂直于旋转轴的平面去切旋转体，得到的截面都是圆。还记得我们圆柱的体积公式怎么来的吗，其实就是用无数个和圆柱底面圆一样大的圆堆在一起而来的。所以我们有V=Sh其实就是V=S+S+S+S+S（一共有h个S相加）。那好，我们现在来类比圆柱的公式，写出公式，积分符号，就是那个扭来扭去的符号带上上下限，就具有了加法的性质，也可以从它的名字，积分，积就是堆积可以得出定积分就是相加的意义。那好，用平行于旋转轴的平面去截这个旋转体，得到的都是圆，每个圆的半径，其实是不是就是f(x)，从图中也可以看出半径，那么这个圆的面积就是f(x)2(即R2)，这就是截面圆面积的方程了。现在是不是就是要找有多少个圆堆在一起，这是不是就是看这个区间长度，如图可知是a到b。则如前所说可求体积公式为：2旋转轴不是旋转面所在直线的情况：（如右图）看懂了第一种情况后，再看第二种情况就不难了。现在题目要你求的是这个曲边四边形绕x轴旋转的体积，其实，它的体积是不是就是在上面的那个函数绕x轴旋转得到的旋转体的体积减去下面那个函数关于x轴旋转的体积。就可以得到阴影部分绕x轴旋转一周得到的旋转体的体积公式，用了类似割补法的方法，就好像如果我们求阴影部分的面积，可以用ABMN的面积减去DCMN的面积，是一样的方法。这是最常考察的两种情况，那么我们现在来进行一次总结，这两类旋转体的体积其实第二种是建立在第一种的基础上的，题目一拿到手，先看是不是有一条边是旋转轴的，如果是的画，直接就可以利用公式求出结果。如果不是，是第二种，运用割补法的思想，把要求的转化为两个用第一种方法可以求的相减。三例题例1 求如图直角三角形绕x轴旋转而成的圆锥体的体积.解 可求得过点O及P(h,r)的直线方程为由公式得例2由y=x3, x=2, y=0所围成的图形, 分别绕x轴及y轴旋转, 计算所得两个旋转体的体积. 解：绕x轴旋转的体积为：绕y轴旋转体的体积为：点评：例题一可以看作是直角三角形绕直角边旋转，建立如图的坐标系后，满足第一类旋转体体积求法。找到曲边的函数，本题为直线。而后算出截面圆的面积表达式，然后定积分。例题二的第一小也符合第一类旋转体积分，所以同样，代入公式就可以计算。第二小题是第二类，我们可以将旋转体的体积看作是直线x=2绕y轴旋转得到的体积（圆柱的体积）减去那个曲边绕y轴旋转的旋转体体积就可以得到阴影部分绕y轴旋转的体积了。关键是要学会建立正确的坐标系，画出正确的旋转面图，有一定的空间想象能力，实在不行，看到符合条件的就带入公式计算。四，习题1求y=x2，y=2绕y轴旋转的旋转体体积2求y=x2，y=2绕x轴旋转的旋转体体积