高中数学课程中的函数.pdf

首都师范大学数学科学学院 王尚志 整体地把握高 中数学课 程是我们编写数学课程 标准的基本理念之一 我们应该强调基础知识 基本 技能和基本能力 我们还应该强调整体地把握高中数 学 帮助学生在头脑 中形成一个有效的知识 网络 整 体把握高中数学课程包括很 多方 面 在这里 我们希 望通过揭示高中数学课程的基本脉络 知识主线 以及这些基本脉络之间的关系 提供整体认识高中数 学课程的一个角度 在这篇文章 中 我们将介绍 函数 在高中数学课程 中的位置和作用 以后 我们还会陆 续介绍对高中数学课程的其他基本脉络的认识和理 解 供高中教师和学生参考 1 为什么 函数 是高中数学课程的基本脉络 之一 为什么把必修数学 1作为其他必修课程 的基础 最主要的原 因是突出函数的作用和意义 2 0 世纪初 现代数学教育 的领军 人物英 国数 学 家贝利和德国数学家克莱因 积极地推动 了数学教育 改革 在他们所倡导的数学教育改革 中 内容的改革 是其 主 要 组 成 部 分 克 莱 因 提 出 了 一 个 重 要 的 思 想 以函数概念和思想统一数学教育的内容 他认 为 函数概念 应该成为数学教育 的灵魂 以函数概 念为中心 将全部数学教材集 中在它周围 进行充分 地综合 1 0 0多年来 经过几 代人 的努力 函数和 函 数 的思想 进入 了中小学 数学 成 为 了 中小 学 数 学课 程 的基本脉络 函数 是数 学 的基本 研究对 象 贯 穿 在数 学 的方 方 面 面 当然 也 是 贯 穿整 个 高 中数 学 课 程 始 终 的重 要 思想之一 为了更好地理 解高 中数学课 程 需要弄清 大学 中学 小学数学课程中函数思想的发展脉络 1 1 函数 与小 学 初 中的数 学课 程 函数思想在小学数学课程 中就有所体现 我们认 为在义务教育阶段学生对 函数相关 内容的学习可以 分为 以下几 个 阶段 1 对量 的认识 是理 解 函数 的基 础 也 是 小学 数 学 的核 心概 念 在小 学 数 学课 程 中 学 生学 习一 些 生 活中的量 物理中的量 图形 中的量等等 例如 路程 速度 时问 长度 角度 面积 重量 质量等等 我们知 道 量是认识数的基础 在开始阶段 数和量常常是交 织在一起 通常我们总称之为数量 数是用来 刻画量 的大小 的一种工具 这是认识量的第一个重要阶段 2 在对 这些量 的 学 习 中 用 不 同的方 法 度量 同 一 个量 是认识量的一个 提升 我们不仅要 帮助学生 理解度 量 同一个 量 可 以有 不 同 的度 量 方 法 和不 同 的 度量单位 还需要帮助学生理解不同度量方法所得到 的数量之间的换算关系 例如 米和厘米都是度量长 度的单位 摄 氏度和华 氏度都是测量温度的单位 这 些度量工作常常需要不 同的测量方法 不同单位的换 算 这是学生最早学会 的数量 间的对应关系 本质上 说 这就是函数关系 这是认识函数关系的一个阶段 3 小学三四年级 通过一些具体 的实例 帮助 学 生探索 日常生 活 中的一些 规律 例 如 路程 速度 和 时间的关系 总价 单价和数量之间的关系 这是对于 函数认识的又一个阶段 虽然没有形式地引入变量和 函数 的概 念 但 是 我 们 知道 速 度 一定 路 程 和 时 间 的关 系就 是一 个 函数关 系 时问 的变 化会 引起 路 程 的 变化 这是特殊 的线性函数 正 比例函数 同样地 当总 价一定 单 价 和 数 量 之 间 也是 一 种 函数 关 系 这 是一个反 比例函数 在很多时候 我们也把路程 速度 和时 间 的关 系称 作一 个行 程 的模 型 函数 是 一种 数学 模型 用模型来刻画规律 这是在这一阶段 帮助学生 逐 步形 成 的数学 的思 想 4 在以上学习的基础上 需要帮助学生进行一 次抽象 引入 了正 比例关系 反比例关系的概念 这是 我们 对 函数理 解 的又一 次 提升 5 从 常量 到变 量 这是 认 识 函数 思 想 的另 一 个 飞跃 对 变 量 的理 解 在 小 学 就 开 始 做 了 在 初 中 阶 段 我们 正式 引入 了变 量 的概 念 通 过大 量 的事 实 帮 助学生了解 在 日常生活 中 其他学科 中存在各种变 量 例如 在一些情景中 时间 路程 速度 加速度 温 度 湿度是变量等等 进 而讨论 了一些变量之间的依 赖关 系 有 些变 量 和 变 量 之 间存 在 着依 赖 关 系 一 个 量的变化引起另一个量 的变化 例如 在物理 中刻 画 物体运动时 路程随着时间的变化而变化 又如 世界 人 口数 量是 随着 时 间的变 化而 变化 的 这 些变 量之 问 维普资讯 都有着密切的依赖关系 这样的例 子 比比皆是 也有 的变量之间没有依赖关系 例如 在一些情景 中 速度 和湿度就没有依赖关系 在 以上基础上 建立起了反映变量之间相互依赖 关系的概念 函数关系 虽然这样的描述并不是十 分严格 但是 这是 认识 函数关 系 的重 要 视角 有 人认 为这是对函数的初步认识 这种说 法不完全 变量 与 变量的依赖关系 从一个方面 揭示了函数的本质 函 数是连接一个变量与另一个变量之间关系的一座桥 学习了映射 会对 桥 有更深入的理解 这种对函数的认识 不仅在中学 阶段是重要 的 在大学的数学学习中仍然是非常重要的 6 认 识 函数 的另一 个 角度 是 函数 图象 用 图象 来认识具体 函数的性质和意义 这是初 中函数教学的 一 个基点 函数可以看做构架 数 和 形 结合的一座 基本桥 梁 7 在初中 不仅引入 了函数概念 还帮助 学生 认识和理解 了一些基本的函数模型 例 如 线性 函数 厶 的模型 即 k x b 反比例函数的模型 即 一 三 一 元二次函数模 型 即 一口 b x C 以及分段 函 数 我们讨论 了这些模型的性质 也讨论 了这些模 型 和 日常生活的联系 初步地认识了函数是反映 日常生 活规律 反映数学规律的最基本的数学模型 1 2 函数 与大 学数学 高中的数学教师不仅应该 了解 函数在中小学数 学 中的作用 与脉 络 也应 该 了解 函数 在大 学学 习 中 的 作用 与脉络 在 大学 数学 学习 中 专业 不 同 所 需 要学 习的数学内容也有所不同 有文科 的数学 也有一些 特殊专业 的数学 有 工 科 的 数学 不 同的 工科 对 数 学 的要求也各不相 同 还有数学系的数学 以下我们 以 大学数学系的数学为例 理解 函数在大学数学学习中 的作用 在 大学 数学 系的数学 中 以 函数 为研 究对 象 的课 程是极 其丰 富 的 例 如 数 学 分 析 实变 函数 复 变 函 数 常微分方程 偏微分方程 数值计算 泛函分析 等 等 除了这些课程 函数和函数的思想 映射的思想 在 其他的数学课程中发挥了重要的作用 例如 连续 同 胚 映射 同胚 就是 反 映拓 扑 空 间之 间联 系 的概 念 同 态 同构是反映代数结构之间联系的基本概念 等等 2 高中数学课程中 函数 内容的结构 综 上所述 函数 在 小学 初 中 大 学 的数学 课 程 中 占有极其 重要的位置 高 中也是 学习 函数 的一个阶 段 我们 有 必 要 理 解 这 个 阶段 对 于学 习 函数 的 定 位 我们用下面的框图来反映函数在高 中数学课程 中 的脉络 以帮助高中教师对 函数的课程 内容有一个整 体 的 了解 2 1 函数 概念 的认 识 对 于 函数概 念 的认 识 应该 是 函数 教学 的重 点之 一 它不仅仅是依赖一节两节课完成的 对函数概念 的理解应该贯穿在整个高中的数学教学 中 在高 中的 数学教学中 建议教师从三个角度帮助学生不断地加 深对 函数 概念 的认 识 第一个角度是变量与变量的依赖关系 在我们思 考问题 时 什么是 不变 的 什 么是 变 的 发生变 化 的量 之间有 没 有关系 如何 来描 述这些 变 量 以及变 量 之间 的依赖关系 这些思考 不仅在高 中数学学习 中 大学 数学学习中以及在数学的实际应用中 都是非常重要 的 对 变量之间的依赖关系 的认识 有人把 它当做 认识函数的 低级阶段 这种看法是值得商榷的 第 二个 角度是 用对 应或 映射 的 观点 来刻 画 函数 这是高中函数教学的一个重点 也是一个难点 我们 和老师们多次讨论过这个问题 为 了深入讨论 我们 先 用对 应 或映射 的观点 叙述 一下 函数 的定义 给定非空实数集合 X y 给定对应关系 厂 如果 x中每一个 元素 根据对应关系 厂 都有 y中唯一 确定的元素 f 与之对应 那么我们就把此对应关 系 厂叫做集合 X 到集合 y的函数 或把 厂 X y 或 维普资讯 Y 一 厂 z 称 为一个 函数 j 对这个定义的理解究竟难 在哪儿 呢 一个难点 在于为什么要规定 y 中唯一确定 的元素 f z 与之 对应 如何向学生解释清楚这件事情 由于文章篇幅 所限 我们仅仅提供以下思路 供读者参考 1 在 日常生活和 自然界中 大量 的例子都具有 以下特点 例如 马路上行驶的一辆汽车 每取一个时 刻 t 汽车与我们的距离是唯一存在的 汽车的速度是 唯一存在的 它们拥有共同的特征 即结果 的唯一性 函数就 是描 述这些 实例 的数 学概 念 函数 的定 义 就是 从大量实际背景 中抽象 出来的 在讲述 函数定义时 应该把函数概念与大量的实例结合起来 揭示 函数概 念 形成 的来龙 去脉 2 函数 是描 述 变 化 的基 本 工 具 对 于变 化 的 结果 的来 说 有 的是 确 定 的 有 的是 不 确定 的 例 如 在进行随机实 验之前 我们是无法确定 实验 的结果 的 函数仅仅研究那些有确定结果 的 变化 对于结 果不确定 的变化 我们用其 他的数学模 型来进行 研 究 变化结 果 的确定 性是 唯一 性 的背景 3 有的时候 变化的结果是确定的 但不能用一 个数量来刻画 而是用 一组数量或者两个 三个 数量 来刻画 在数学上 我们可 以采用拓 展的函数概念来 研 究 这 种 情 况 例 如 可 以 建 立 以 下 函 数 F R 一R 它表示对于 R 中的每一个点 在 R 中有唯一 的一个点与之对应 它也是函数 在这里 有唯一的结 果 是重要 的 反映 了 函数 概念 最本 质 的东西 第三个认识 函数的角度是函数图象 函数图象完 整地给出了一个 函数的全貌 可以帮助我们从整体上 了解函数的性质 正如前面指出的 函数是数形结合 的一 座天 然桥梁 在 大 学 的学 习 中 这 种 认 识 还 会 得 到进一步的抽象 我们通常称之为 特殊的关系 这三个角度构成了高中阶段认识函数 的整体 在 大学 还 会进 一步 拓展 对 函数概 念 的认识 2 2 对 基本 函数 模型 的认 识和 把握 在前面的框图中 我们列举了高 中学生需要掌握 的基本的函数模型 在整个高 中数学教学 中 模 型及 模型的思想是重要 的数学思想 在高 中数学 中 我们 要帮助学生建立并进一步理解一批模型 包括方程 的 模型 不等式的模型 几何的模型 一些新的运算模型 例如 向量等 随机的模型 其 中函数模型是重要的 组成部 分 1 模型扎根 函数教学的一项重要任务 是让这些基本的 函数 模型在学生的头脑 中生根 为了实现这个 目标 首先 应该把函数概念的整体理解 与每一个具体 的模 型有 机地结合起来 例如 我们可 以通过一些具体 函数 的 解 析式 函数 图象 变 量 与 变 量 的 依 赖关 系来 理解 函 数概念 其次 应帮助学 生熟练掌握这些基 本 函数 的性 质 在这些性质中 单调性非常重要 它反映了函数的 变化 还反映了函数图象的形状 此外 还应帮助学生 掌握得到这些性质的方法 代数和导数 的方法 要 把函数的性质与研究这些 性质的方法结合起来理解 掌握 一方面 帮助学生掌握每一个基本 函数模型 另 一 方面 应该帮助学生学会对这些模型进行 比较 梳 理 最后 在学习每一个基本函数模型时 应该关注这 个模型在实际 中的应用 与其他数学知识 的联系 让每一个基本函数的图形 留在学生的头脑 中 这 是学 习 函数 的一个 重要 环节 2 依托具体模型思考问题 依托具体模型思考问题 是一种重要的数学思维 模式 我们应该帮助学生养成一种习惯 借助于具体 的模型 思考抽象的问题 在高 中阶段 存在着大量的 与函数 有关 的 问题 这些 问题 大多 是依 赖 这些 具 体 的 基本模型产生出来 的 表 现形式 可能是抽象 的 我们 应该不断地强调 在分析 这些 问题 时 需要有具体模 型的支持 在数学思维 中 无论讨论什 么样抽象 的问 题 脑子里都不能空 需要有具体模型的支持 这样才 能使抽象的问题变得简洁 好的数学问题都具有一个共 同的特点 就是有背 景 不是形 式上 的 编造 3 模 型 待 定 系数法 模型与待定系数 的方法是相辅相成的 模 型揭示 了一类问题的规律 当我们讨论一个具体 问题 时 常 常采用这样的思路 首先 要分析这个问题可以用 什 么样的模型来描述 例 如 当我们确 定这是一个正 弦 函数的模型时 即 Y a s i n w x b 接着 我们需 要确定在这个具体问题中 这个模型的参数 a b 是什么 一旦确定 了这些具体 的参数 这个 问题就 自 然 而然地 得 到 了解 决 这种思 维 的方 法 我们 通 常称 之 为待定系数法 待定系数法是高中阶段解决数学 问题 的通性 通 法 也 是 解 决 函数 问 题 的 基本 方 法 这 种 方 法也是 大 学数 学学 习 中 和数 学 的 实 际 应 用 中经 常 用 到 的方 法 在这方 面 教师 已经 积 累了丰 富 的经验 2 3函数 的应 用 函数 的应 用 反 映 在 两 个方 面 一方 面 用 函数 解 决现实生活中一些简单的实际问题 另一方面 用 函 数思想讨论其他的数学问题 用函数解决现实生活中一些简单 的实际问题 建 议老师分为三个层 次来思考 第一个层次 要帮助学 生用函数去描述 问题 描 述规律 第二个层 次 学会 套用 模型 帮助学生学会利用我们所学习的基本函 维普资讯 数模型 解决一些简单的实际问题 例如 能用等差 等比数列 讨论存款的利 息问题 等等 第三个层次 帮助学生能够了解 尝试 体验数学建模的基本思想 在中学阶段 函数是解决简单实际问题的基本的数学 模型 有关数学应用和数学建模的介绍我们将通过其 他文章详细论述 用函数讨论其他数学问题 这是高中数学学 习需 要认真思考的问题 用函数讨论方程 用函数讨论不等 式 用函数讨论线性规划问题 揭示 函数思想在算法 中 的作用 用函数思想来描述随机现象 等等 所有这些 说明函数及函数思想渗透高中数学课程的方方面面 我们仅举一例做一个简单说明 在讨论线性规划 问题时 第一件事就是从实 际问题 中建立 目标 函数 第二 确定影响定义域的约束条件 第三 用不等式组 描述约束条件 第四 绘 制出 可以在纸上 也可以在 头脑中 可行域 的图形 第五 求出可行域的顶点 第 六 计算顶点 目标 函数的值 最后 根据问题决定最大 小 值 整个过程都是围绕对 函数的理解展开 的 在这篇文章里 我们对这个问题暂不展开讨论 在后继文章中 我们将与大家做进一步交流 2 4研 究 函数 的方 法 在高中阶段 我们将帮助学生掌握两种研究 函数 的基本方法 一种是利用代数运算研究 函数 的变化 一 种是利用导数 变化率 去研究 函数 的性质 在这 里 我们着重谈一下代数运算在研究函数中的作用 多项式运算是初中学习运算 的主要载体 它是求 解 方程 方 程组 的基 础 它也 是 讨 论 简 单 幂 函数 的 主 要工具 例如 在我们研究一元二次函数时 多项式的 运算 发挥 了不 可替 代 的作 用 利 用 函数 教学 提 升学 生的运算能力 是值得教师关注的问题 在等差数列 和等 比数列以及相关问题的讨论 中 多项式运算是研 究这些问题的基本工具 在高 中阶段 我们学 习了一些新 的运算模式 例 如 指数运算 对数运算 我们也可以把三角恒等变形 看做运算 这些运算保持着一些特殊的规律 这些规 律和多项式的运算规律有所不同 掌握这些规律是研 究 指数 函数 对 数 函数 和三 角 函数 的基 础 对于导数在新课程中的定位 我们将在其他 的文 章中进行讨论 整体地理解 函数在高中数学课程 中的地位和作 用 是非常值得教师思考 的问题 教学是一个 线性过 程 需要一天一天地教 但是 数学 内容之间的关系不 完全是一个线性关系 有一些内容之间存在着严格的 先后顺 序 有一些 内容 是相对 独 立 的 是 相互 影 响 的 当我们对于高中数学课程有一个整体理解 才能更好 地把握每一部分 内容 才能提高教学的效率 并帮助 学生学会整体地理解 不断地梳理 头脑 中的知识 网 络 这是一个很好 的学习数学的习惯 在高中教学 中 我们应该帮助学生养成这种好习惯 这对于学 生今后 的发 展是 非常 重要 的 3 有关函数概念的历史发展 纵观数学发展 的整个历史 可以得知 重要的数 学概念的产生和发展 对数学发展起着不可估量 的作 用 有些重要的数学概念对数学分支的产生起着奠定 性 的作 用 本文 中所 说 的函数就 是这样 的重 要概念 为了进一步理解 函数在数学发展中的作用 我们 介绍一些 函数概念发展的历史 函数 概念 是表示 数量关 系 的一 种 特定 的形 式 函 数概念发展至今 经历了漫长 曲折 的发展过程 自数 学产生之 日起 人们就以数量关 系为主要研究对象 其中就不乏函数思想 如 数的记数方法 就含着数字 与事 物 的对应 关 系 在 圆 或三 角 形 的面 积公 式 中 就 隐含着量的依存关 系 然而在早期 的数学研究 中 人 们 只是 以相对 静止 的观点 来看 待这 种关 系 函数 思想 的这些雏形没有能够构成真正意义上 的函数概念 7 j 到 了 1 7世纪 科学 家伽利 略 G Ga l i l e o 意大利 1 5 6 4 1 6 4 2 在他的著作 两门新科学 中 几乎从 头 到尾包 含 着 函数 或称 为变 量 的关 系这 一概念 用 文字 和 比例 的语 言表达 函数 的关 系 1 6 7 3年前 后 笛 卡儿 D e s c a r t e s 法 国 1 5 9 6 1 6 5 0 在 他 的解析几 何 中 开 始注意到 了一个变量对于另一个变量的依赖关系 但 由于当时 尚未意识到需要提炼一般的函数概念 因此 直 到 1 7世 纪后 期 牛 顿 莱 布 尼 兹 建 立 微 积 分 的 时 候 数学家还没有明确函数 的一般意义 绝大部分函 数是 被 当做 曲线 来研 究 的 最早 提 出函数 f u n c t i o n 概念 的 是 1 7世 纪德 国 数学 家莱 布尼 茨 最 初 莱 布尼 茨 用 函数 一 词 表示 幂 1 6 9 2年 以后 他又用函数表示在直角坐标系中 曲线上一点 的横坐标 纵 坐标 1 7 1 8年 莱 布尼茨 的 学 生约翰 贝努利 J o h a n n B e r n o u l l i 瑞 士 1 6 6 7 1 7 4 8 在莱布 尼兹 函数 概念 的基 础 上 对 函数 概 念进 行 了明确 定义 由 某个 变 量 及 任 意 的一 个 常 数 结合 而成 的数量 意思是凡变量 z和常量构成的式子都 叫做 z 的函数 他 强 调 函数 要 用公 式 来表 示 这 就是 我们 现在 所说 的解 析法 在以后近一百年中 又有欧拉 柯西 罗巴切夫斯 基 黎曼 狄雷克莱等不断地修订 函数的定义 1 8 3 7 年 德 国数学 家狄 里克雷 认为 怎样去 建 立 z 与 Y之间的对应关 系是无 关紧要 的 所 以他 的定义 是 如果对于 z的每一个值 Y总有一个完全确定的 值与之对应 则 Y是 z的函数 这个定义抓住了概念 维普资讯 的本质属性 变量 Y称 为 z的函数 只需有一个法则 存在 使得这个函数取值 范围中的每一个值 有一个 确定的 Y值和它对应就行 了 这个定义 比前面的定义 带有普遍性 为理论研究 和实 际应用提供 了方便 因 此 这个定义曾被长期地使用着 狄里克雷的函数定义 以完全清晰的方式被所有 数学家无条件地接受 至此 我们 已可 以说 函数概 念 函数的本质定义 已经形成 这就是人们常说 的经 典 函数 定义 1 9 世纪末 自从德国数学家康托创立 了集合论 人们把函数的概念提升到了更抽象的层次 这个抽象 的定义 提炼 出了函数概念 的精髓 使它去除 了各种 形式的束缚 从而有了更广泛 的应用 函数概念的定义经过二百多年来的锤炼 变革 形成了函数的现代定义 应该说 已经相当完善了 不 过数学的发展是无止境的 函数现代定义的形式并不 意味着函数概念发展的历史终结 近二十年来 数学 家们又把函数归结为一种更广泛的概念 关系 设集合 X y 定义 X与 y的积集 X y如下 X Y一 z I z X Y Y 积集 X y中的一个子集 R称为 X 与 y的一个 关系 若 z R 则称 z与 Y有关系 R 否则 称 z 与 Y无关 系 设 为 X 到 y的 关 系 即 f C X Y 如 果 z z 则 那 么称 为 X 到 y 的 函数 这是 现代 函数 的定义 它在形式上 回避 了 对 应 术语 使用的全部是集合 的语言 一扫原来定义中 关于 对应 含义存在 的模糊性 而使函数概念更为准 确 正确 应用的范围更为广泛 了 7 关系说 给出了函数最一般 最形式化和最严格 的定义 目前 有些 国家 的中学教材已经采用这一 定 义 但 由于这一定义中的函数的原始思想 反映变 化过程 中量与量之间的相互依赖的关系 完全被抽象 的形式淹没 了 没有原始定义生 动直 观 所 以许多 国 家的中学教材 包括中国 没有采用关系说 从上 面的历史我们 可以看出 函数概念发展 至 今 经历了漫长的过程 函数概念的不断扩展使得 函 数概念不断地抽象化 精确化 同时又为我们研究 函 数提供 了不 同的视角 使我们能从多个角度对 函数进 行认识 从而能更深刻 更全面地理解函数的本质 参考文献 1 数学课程标准研制 组 数学课程 标准解读 实验 I M 江 苏 江苏教育 出版社 2 0 0 4 2 王 尚志 数学 教 学研 究 与案 例 I M 北 京 高 等教 育 出版 社 2 0 0 6 3 王 尚志 张 饴 慈 等 整 体把 握 与 实 践 高 中数 学 新 课 程 I M 北京 高等教 育出版社 2 0 0 5 4 张顺燕 数学的源与流I M 北京 高等教育