高中数学 第二章 推理与证明 2.1 合情推理与演绎推理 2.1.2 演绎推理课件 新人教A版选修22(1).pptVIP

2 1 2演绎推理 主题1演绎推理的含义看下面两个推理 回答问题 所有导体通电时都发热 铁是导体 所以铁通电时发热 两个平面平行 其中一个平面内的任意直线必平行于另一个平面 如果直线a是其中一个平面内的一条直线 那么a平行于另一个平面 1 这两个推理中的第一句都说的是什么 提示 都说的是一般原理 2 这两个推理中第二句 第三句又说的是什么呢 提示 第二句都说的是特殊实例 而第三句说的是由一般原理对特殊实例做出的判断 结论 演绎推理的定义从 的原理出发 推出某个 的结论 我们把这种推理称为演绎推理 演绎推理又称 一般性 特殊情况下 逻辑推理 微思考 演绎推理的结论一定正确吗 提示 演绎推理的结论不会超出前提所界定的范围 所以在演绎推理中 只要前提和推理形式正确 其结论一定正确 主题2演绎推理的一般模式1 所有金属都导电 因为铁是金属 所以铁导电 以上推理是演绎推理吗 其推理形式有何特点 提示 是演绎推理 此推理形式可分为三部分 第一句描述的是一般原理 第二句描述的是大前提里的特殊情况 第三句是根据一般原理对特殊情况做出的判断 2 演绎推理的结论是否正确 是如何得出结论的 提示 推理的结论正确 演绎推理的结论是根据一般原理 对特殊情况做出的判断 结论 1 演绎推理的一般模式 三段论 1 大前提 已知的 2 小前提 所研究的 3 结论 根据一般原理 对特殊情况做出的 一般原理 特殊情况 判断 2 三段论 的格式 1 大前提 m是p 2 小前提 s是 3 结论 s是p m 3 从集合的角度理解 1 大前提 x m且x具有性质p 2 小前提 y s且s m 3 结论 y具有性质 p 微思考 1 演绎推理有哪些特点 提示 演绎推理的前提是一般性原理 演绎所得的结论是蕴含于前提之中的个别特殊事实 结论完全蕴含于前提之中 在演绎推理中 前提和结论存在着必然的联系 只要前提是真实的 推理形式是正确的 那么结论也必然是正确的 2 合情推理与演绎推理的主要区别是什么 提示 1 一般特殊 2 合情推理的结论是猜想 结论具有不可靠性 3 演绎推理是严格的证明 结论可靠 预习自测 1 因为四边形abcd是矩形 所以四边形abcd的对角线相等 补充以上推理的大前提 a 正方形都是对角线相等的四边形b 矩形都是对角线相等的四边形c 等腰梯形都是对角线相等的四边形d 矩形都是对边平行且相等的四边形 解析 选b 由结论推得大前提 2 已知 abc中 a 30 b 60 求证 a b 证明 因为 a 30 b 60 所以 a b 所以a b 画线部分是演绎推理的 a 大前提b 小前提c 结论d 三段论 解析 选b 结合三段论的特征可知 该证明过程省略了大前提 在同一个三角形中大角对大边 因此画线部分是演绎推理的小前提 3 已知幂函数f x x 是增函数 而y x 1是幂函数 所以y x 1是增函数 下列说法正确的是 a 大前提错误导致结论错b 小前提错误导致结论错c 推理的方式错误导致结论错d 大前提与小前提都错误导致结论错 解析 选a 大前提为 f x x 是增函数 在f x x 中 当 0时 f x 为增函数 显然大前提是错误的 4 用演绎推理证明 y sinx是周期函数 时的大前提是 小前提是 解析 y sinx是三角函数 而三角函数是周期函数 因此大前提为三角函数是周期函数 小前提应该为y sinx是三角函数 答案 三角函数是周期函数y sinx是三角函数 5 将下列演绎推理写成三段论的形式 1 平行四边形对角线互相平分 菱形是平行四边形 所以菱形的对角线互相平分 2 两平行直线 同位角相等 a和 b是两平行直线的同位角 则 a b 3 三角形的内角和等于180 rt abc的内角和为180 解析 1 平行四边形的对角线互相平分 大前提 菱形是平行四边形 小前提 菱形的对角线互相平分 结论 2 两直线平行 同位角相等 大前提 a和 b是同位角 小前提 a b 结论 3 三角形的内角和等于180 大前提 rt abc是三角形 小前提 rt abc的内角和为180 结论 类型一用三段论的形式表示演绎推理 典例1 试将下列演绎推理写成三段论的形式 1 太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行 海王星是太阳系中的大行星 所以海王星以椭圆形轨道绕太阳运行 2 所有导体通电时发热 铁是导体 所以铁通电时发热 3 一次函数是单调函数 函数y 2x 1是一次函数 所以y 2x 1是单调函数 4 等差数列的通项公式具有形式an pn q p q是常数 数列1 2 3 n是等差数列 所以数列1 2 3 n的通项具有an pn q p q是常数 的形式 解题指南 解答本例的关键在于分清大前提 小前提和结论 还要准确利用三段论的形式 解析 1 大前提 太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行 小前提 海王星是太阳系中的大行星 结论 海王星以椭圆形轨道绕太阳运行 2 大前提 所有导体通电时发热 小前提 铁是导体 结论 铁通电时发热 3 大前提 一次函数都是单调函数 小前提 函数y 2x 1是一次函数 结论 y 2x 1是单调函数 4 大前提 等差数列的通项公式具有形式an pn q p q是常数 小前提 数列1 2 3 n是等差数列 结论 数列1 2 3 n的通项具有an pn q p q是常数 的形式 方法总结 用三段论写推理过程的技巧 1 关键 用三段论写推理过程时 关键是明确大 小前提 三段论中大前提提供了一个一般原理 小前提提供了一种特殊情况 两个命题结合起来 揭示一般原理与特殊情况的内在联系 2 何时省略 有时可省略小前提 有时甚至也可将大前提 小前提都省略 3 如何寻找 在寻找大前提时可找一个使结论成立的充分条件作大前提 拓展延伸 判断演绎推理是否正确要四看 1 看推理形式是否为由一般到特殊的推理 只有由一般到特殊的推理才是演绎推理 这是最易出错的地方 2 看大前提是否正确 大前提往往是定义 定理 性质等 注意其中有无前提条件 3 看小前提是否正确 注意小前提必须在大前提范围之内 4 看推理过程是否正确 即看由大前提 小前提得到的结论是否正确 巩固训练 1 将下列推理写成三段论的形式 1 正方形对角线相互垂直 2 0 33是有理数 解析 1 因为每个菱形的对角线相互垂直 大前提 正方形是菱形 小前提 所以正方形的对角线相互垂直 结论 2 因为所有的循环小数是有理数 大前提 0 33是循环小数 小前提 所以0 33是有理数 结论 2 1 判断下面推理是否正确 为什么 因为奇数3 5 7 11是质数 9是奇数 所以9是质数 2 将下列推理写成 三段论 的形式 向量是既有大小又有方向的量 故零向量也有大小和方向 矩形的对角线相等 正方形是矩形 所以正方形的对角线相等 解析 1 错误 推理形式错误 演绎推理是由一般到特殊的推理 3 5 7 11只是奇数的一部分 是特殊事例 2 向量是既有大小又有方向的量 大前提零向量是向量 小前提所以零向量也有大小和方向 结论 每一个矩形的对角线相等 大前提正方形是矩形 小前提正方形的对角线相等 结论 类型二演绎推理在几何中的应用 典例2 已知平面 平面 直线l l a 如图所示 求证 l 解题指南 本例可由线面垂直的定义证明l 证明 在平面 内任取一条直线b 平面 是经过点a与直线b的平面 设 a 如果两个平行平面同时和第三个平面相交 那么它们的交线平行 大前提 且 a b 小前提所以a b 结论 如果一条直线与一个平面垂直 那么这条直线和这个平面内的任意一条直线都垂直 大前提l a 小前提所以l 结论 如果一条直线和两条平行线中的一条垂直 那么它也与另一条垂直 大前提a b 且l 小前提所以l b 结论 如果一条直线和一个平面内的任意一条直线都垂直 那么这条直线和这个平面垂直 大前提因为l b 且直线b是平面 内的任意一条直线 小前提所以l 结论 方法总结 几何证明中演绎推理应用的两个关注点 1 大前提的正确性 几何证明往往采用演绎推理 它往往不是经过一次推理就能完成的 常需要几次使用演绎推理 每一个推理都暗含着大 小前提 前一个推理的结论往往是下一个推理的前提 在使用时不仅要推理的形式正确 还要前提正确 才能得到正确的结论 2 大前提可省略 在几何证明问题中 每一步都包含着一般原理 都可以分析出大前提和小前提 将一般原理应用于特殊情况 就能得出相应结论 提醒 在应用 三段论 进行推理的过程中 大前提 小前提或推理形式中任一错误 都可能导致结论错误 巩固训练 如图 在锐角 abc中 ad bc于点d be ac于点e d e是垂足 求证 1 abd是直角三角形 2 ab的中点m到d e的距离相等 证明 1 因为有一个内角是直角的三角形是直角三角形 大前提 在 abc中 ad bc 即 adb 90 小前提 所以 abd是直角三角形 结论 2 连接dm em 因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 大前提 又因为dm是rt abd斜边上的中线 小前提 所以dm ab 结论 同理em ab 所以dm em 即m到d e的距离相等 类型三演绎推理在代数中的应用 典例3 1 已知lg2 m 计算lg0 8 2 已知函数f x x2 alnx在区间 1 2 内是增函数 g x x a在区间 0 1 内是减函数 则a 解题指南 1 利用lg2求lg8 再求lg0 8 2 利用导数结合单调性求a 解析 1 因为lgan nlga a 0 大前提lg8 lg23 小前提所以lg8 3lg2 3m 结论因为lg lga lgb a 0 b 0 大前提lg0 8 lg 小前提所以lg0 8 lg8 1 3lg2 1 3m 1 结论 答案 3m 1 2 f x 2x 依题意f x 0 x 1 2 即a 2x2 x 1 2 因为上式恒成立 所以a 2 又g x 1 依题意g x 0 x 0 1 即a 2 x 0 1 因为上式恒成立 所以a 2 由 得a 2 答案 2 延伸探究 本例3 2 中 不改变条件 求证 当x 0时 方程f x g x x2 2x 3有唯一解 证明 由本例 2 可知a 2 所以f x x2 2lnx g x x 2 所以方程f x g x x2 2x 3等价于x 2 2lnx 3 0 设h x x 2 2lnx 3 则h x 1 令h x 0 由x 0 得x 2 0 解得x 1 令h x 0 得x 2 0 解得0 x 1 列表分析 知h x 在x 1处取最小值0 当x 0且x 1时 h x 0 所以h x 0在 0 上只有一个解 即当x 0时 方程f x g x x2 2x 3有唯一解 方法总结 应用三段论解题的技巧及常见错误 1 技巧 应用三段论证明问题时 要充分挖掘题目外在和内在条件 小前提 根据需要引入相关的适用的定理和性质 大前提 并保证每一步的推理都是正确的 严密的 才能得出正确的结论 2 常见的解题错误 条件理解错误 小前提错 定理引入和应用错误 大前提错 推理过程错误等 拓展延伸 代数中的演绎推理在演绎推理中 前提和结论之间存在着必然的联系 只要前提是真实的 推理形式是正确的 结论必定是正确的 而一些代数运算或证明 都是在一些前提条件下进行的 因此在运算或证明的过程中都会用到演绎推理 巩固训练 1 已知a b c是不为1的正数 x y z r 且有ax by cz和求证 a b c顺次成等比数列 证明 令ax by cz k 所以x logak y logbk z logck 因为所以所以lga lgc 2lgb 所以b2 ac 因为a b c是不为1的正数 所以a b c顺次成等比数列 2 设g