量子力学答案(第二版)苏汝铿第2章课后答案2#01.pdf

第一组 第二章 2 24一 个 质 量 为m的 非 相 对 论 性 粒 子 在 一 势 场 中 运 动 势 场 是 222 2 2 UxyzAxyx yBzz 其中0A 0B 1 是任意 的 求 1 能量的本征值 2 现在使势变成 new U 对于z 及任何 x y new U U 对于z 及任何 x y new U 求基态能量 解 1 作坐标变换 uxy vxy z 于是有 uv xuxv x uv y uv 2222 222 2 xuvu v 2222 222 2 yuvu v 22 22 z 22 2xyxy 222 1 xyxy 222 1 1 2 uuv 22 11 1 1 22 uv 薛定谔方程 2 2 2 U x y zE m 可化为如下形式 2222 2222 222 11 22 1 1 222 AuAvBE muv 上述方程式可用分离变量法解之 记 R u S v T 上式化为 2222 2222 222 22111 1 1 0 222 d Rd Sd T AuAvBBE m R duS dvT d 上式又可以化为 22 2 1 2 21 1 22 d R AuE m R du 22 2 2 2 21 1 22 d S AvE m S dv 22 2 3 2 1 2 d T BE m T d 其中 2 123 0EEEBE 对于一维谐振子有 22 22 2 1 22 d mxxEx m dx 其能量的本征值为 1 2 n En 类比得方程 的本征值分别为 111 1 2 2 n En 1 1 2 A m 222 1 2 2 n En 2 1 2 A m 333 1 2 n En 3 B m 123 0 1 2n n n 所以能量的本征值为 2 123 2 112233 111 22 222 nnnn EEEEB nnnB 2 当 new z U z U 即 0 0 new U U 时 方程 1 中的方程 均不变 因此其本征值 12 nn EE不变 方程 变为 22 2 1 3 2 1 1 1 0 2 00 d T BE m T d T 1 0 0T 而无边界的一维谐振子的波函数为 2 2 1 2 H x nnn xN ex 其中 Hnx 为厄米多项式 n N为归一化常数 最低级的几个厄米多项式是 0 H1 1 H2 2 2 H42 显然当0n 时零级厄米多项式的解是不能满足方程 的 而1n 一级厄米多项式在大 于零的区间的解是可以满足方程 的 因此 3n E的最大能级为当1n 时 所以当势变为 new U时 基态能量为 2 001123 3 2 EB 123 0 1nnn 2 25 一个刚体具有惯性矩 z I 可以自由地在xy 平面中转动 令 为x轴与转动轴之间的夹角 求 1 能量本征值和相应的本征函数 2 若在0t 时 转子由波包 2 0 sinA 描述 求在0t 时的 t 解 1 其薛定谔方程是 22 2 2 z E I 解之得 ik Be 其中 2 z I E k 由归一化条件可得 1 2 B 由周期性边界条件可知k必须为整数 由此便得 1 2 in n e 22 2 n Z n E I 其中 0 1 2 n 2 我们已经知道 n iE tin n tC ee 2 0 sin in n C eA 1 cos2 2 A 22 24 ii AA ee 022 22 24 iE tiE tiE tii AA teeeee 2 2 22 24 ZZ it Iit Iii AA eeee 由 0t 时的 归一化条件易得 2 3 A 代入得 2 2 22 11 32 3 ZZ it Iit Iii teeee 2 26 考虑一维波函数 0 0 x xn x xAe x 其中A n 0 x是常数 1 利用薛定谔方程 求势场 U x和能量E 这时 x 可视为当x 时 0V x 的 薛定谔方程的本征函数 2 比较你所给出的势场和轨道角动量为l的氢原子态的有效径向势的异同 解 1 由 一维 薛定谔方程 22 2 2 d U xE m dx 得 22 2 1 2 d U xE m dx 又 2 22 00 1 21 dn nn dxxx xx 2 2 00 1 21 2 n nn U xE mxx xx 又x 时 0V x 这个条件代入上式 便得 2 0 1 2 E m x 于是有 2 2 0 1 2 2 n nn U x mxx x 2 轨道角动量为l的氢原子态的有效径向势 22 2 1 2 l le V mrr 可以看到 U的 2 x 项与V的 2 r 项具有相同的形式 而它们的负一次方项 则有不同 U的 1 x 项与n有关 V的 1 r 项与l无关 事实上 V的 1 r 项还是 经典的库仑势 2 27 通常在量子力学薛定谔方程中 若已知全部能谱和全部本征函数 可以反过来推出相互作 用势 这称为反散射问题 若只知道部分能谱和波函数 有时也可给出关于势场的一些性质 证明 1 若势场满足 2 2 0 d V dr 或 2 2 0 d V dr 则零点波函数满足 21 0 0 ss 或 21 0 0 ss 2 记势 场 V r中粒子的状 态为 r n l nr l 则若 2 22 1 0