Matlab实例源码教程如何用MATLAB求解非线性微分方程.doc

Matlab实例源码教程：如何用MATLAB求解非线性微分方程做一个最基本的假设：你们都看过高数。一。老湿发话了：童鞋们，求解一下这个方程，判断她是否稳定。要是稳定，那么她是否存在极限环：一看明白了，这不就是传说中的范德普方程。地球人都知道她稳定并有极限环。现在我们就看看如何用MATLAB求解她的轨迹。二。一般的计算机求解方程的方法无外乎是这样：首先把该方程改写成一个规范的形式，一般使用状态空间表示法；而后调用已有的算法进行求解；最后对得出的结果进行处理，比如画图之类的。接下来就对这三大步分别作出解释。三。输入待求解的方程。首先我们知道，状态空间的标准形式(自由系统)是：这里X是列向量，F是作用于列向量的函数，可以是线性也可以是非线性。范德普方程可以改写成这样的标准形式:MATLAB中关于输入输入待解方程的语句特别简单。需要先定义一个普通函数，函数名任意，姑且叫做myFcn，格式如下function xdot = myFcn (t, x)需要注意的是，函数必须含有t, x两个参数，名称可以自己任意定。xdot是这个函数本身的返回值，只出现在这个函数内部，因此也可以任意定。定义中的x被视为是一个列向量，x(i)表示列向量中的第i个分量。那么F函数的每一个分量即简单地用表达时给出即可。其中的自变量可以引用x(i)。以范德普方程为例：xdot = x(2) ; u(1-x(1)2)*x(2)-x(1)于是，这两句话便构成了待解函数。四。调用MATLAB函数进行求解通常人工求解微分方程需要知道初始值，计算机求解也不例外。另外，由于非线性方程一般只有数值解，故计算精度也可以调整。这些都是可以自己调整的参数。调用MATLAB计算求解常微分方程的模式很简单，格式为：t, x = ode45(myFcn, 开始时间结束时间, 初始值列向量, options)注意到求解出来的结果是t, x即一堆数，所以需要我们进行后处理比如画图之类的。ode45表示了MATLAB中的一种内置计算微分方程的算法，最为常用，出于娱乐目的，就先用这个。表示待求解的方程，如myFcn。开始时间结束时间表示求解的时间段，不必定义间隔。初始值列向量就不用多说了。通常在求解之前定义一个变量x0列向量表示初始值，然后输入起来就方便多了。options本身是一个变量。注意，她的名称不固定，但是他是一个以结构体为类型的变量。options很重要，稍后讨论。五。进行后处理。在得到t, x后可以自己用plot神马的进行画图。不过我一般不这样，各位看官不必惊慌。六。options的用法。options在MATLAB帮助中是这样定义格式的：options = odeset (“Name”, Value, “Name”, Value, )意思是，options这个变量要用到odeset这个函数来对他进行赋值。而odeset这个函数的参数必须是成对出现的：一个名称对应一个数值。我们要用到的是这样的：options= odeset(“OutputFcn”, odephas2, “reltol”, 1e-5);注意，odeset中的参数名称不可任意定，因为都是预定义好的。”OutputFcn”使用预定义的函数进行输出，而与定义的函数有好几种，使用进行选择，我们选odephas2即画相平面图(phase portrait)。之后的那个参数表示相对误差的最大允许值，不说也明白。有一个问题，用odephas2画出的图图不好看，因为上面打了好多圈圈。解决办法是找到该文件，修改其中所有的plot语句即可，把那个”-o”去掉就行了。七。就是这个样了。总结一下，求解范德普方程可以用如下语句：首先是函数定义：function xdot = myFcn (t, x)xdot = x(2) ; u(1-x(1)2)*x(2)-x(1)其次是主程序：% Solving options predeterminedoptions=odeset(OutputFcn,odephas2,reltol,1e-5);% Solving vdp equation withdifferent ini conditionsfor a = -3 : 0.1 : 3b1=sqrt(25-a2);b2=-sqrt(25-a2);% Solve the problemt,y=ode45(myFcn, 0 20