高中数学 第一章 三角函数 1.2 任意角的三角函数2课件 新人教A版必修4.ppt

1 2 2同角三角函数的基本关系 同角三角函数基本关系问题思考1 填写下表 你能从中发现同一个角的三角函数值之间有什么关系 2 填空 同角的三角函数基本关系 1 平方关系 同一个角 的正弦 余弦的平方和等于1 即sin2 cos2 1 3 做一做 1 sin22019 cos22019 a 0b 1c 2019d 2019 2 若sin cos 0 则tan 解析 1 由平方关系知sin22019 cos22019 1 答案 1 b 2 14 已知sin cos 的值 能否求出cos sin tan 的值 已知sin cos 的值 怎样求出sin cos 的值 提示利用两种关系式的变形可以解决上述问题 5 填空 同角三角函数基本关系式的变形 1 平方关系sin2 cos2 1的变形 sin2 1 cos2 cos2 1 sin2 1 sin2 cos2 sin cos 2 1 2sin cos sin cos 2 1 2sin cos sin tan cos 思考辨析判断下列说法是否正确 正确的在后面的括号内打 错误的打 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 探究一 探究二 探究三 核心素养提升 思维辨析 利用同角三角函数关系求值角度1已知某个三角函数值 求其余三角函数值 分析已知角的正弦值或余弦值 求其他三角函数值 应先判断三角函数值的符号 然后根据平方关系求出该角的正弦值或余弦值 再利用商数关系求解该角的正切值即可 探究一 探究二 探究三 核心素养提升 思维辨析 探究一 探究二 探究三 核心素养提升 思维辨析 已知某个三角函数值求其余三角函数值的步骤第一步 由已知三角函数的符号 确定其角终边所在的象限 第二步 依据角的终边所在象限分类讨论 第三步 利用同角三角函数关系及其变形公式 求出其余三角函数值 探究一 探究二 探究三 核心素养提升 思维辨析 角度2已知tan 求关于sin 和cos 齐次式的值 例2 已知tan 2 则 分析在这里 注意到所求式子都是关于sin cos 的分式齐次式 或可化为分式齐次式 将其分子 分母同除以cos 的整数次幂 就把所求值的式子用tan 表示 将tan 2整体代入 就能快速求其值 探究一 探究二 探究三 核心素养提升 思维辨析 解析 1 注意到分式的分子和分母均是关于sin cos 的一次齐次式 可将分子分母同除以cos cos 0 然后整体代入tan 2的值 探究一 探究二 探究三 核心素养提升 思维辨析 探究一 探究二 探究三 核心素养提升 思维辨析 已知tan 求关于sin 和cos 齐次式的值的基本方法已知角 的正切值 求由sin 和cos 构成的齐次式 次数相同 探究一 探究二 探究三 核心素养提升 思维辨析 角度3利用sin cos sin cos 与sin cos 三者之间的关系求值 探究一 探究二 探究三 核心素养提升 思维辨析 探究一 探究二 探究三 核心素养提升 思维辨析 1 由 sin cos 2 1 2sin cos sin cos 2 1 2sin cos 可知如果已知sin cos sin cos sin cos 三个式子中任何一个的值 那么就可以利用平方关系求出其余的两个 探究一 探究二 探究三 核心素养提升 思维辨析 2 sin cos 的符号的判定方法 1 sin cos 的符号的判定方法 由三角函数的定义知 当 的终边落在直线y x上时 sin cos 即sin cos 0 当 的终边落在直线y x的上半平面区域内时 sin cos 即sin cos 0 当 的终边落在直线y x的下半平面区域内时 sin cos 即sin cos 0 当 的终边落在直线y x的下半平面区域内时 sin cos 即sin cos 0 如图 所示 探究一 探究二 探究三 核心素养提升 思维辨析 探究一 探究二 探究三 核心素养提升 思维辨析 探究一 探究二 探究三 核心素养提升 思维辨析 探究一 探究二 探究三 核心素养提升 思维辨析 探究一 探究二 探究三 核心素养提升 思维辨析 利用同角三角函数关系化简 例4 化简下列各式 分析 1 对分子利用诱导公式一化简 对分母利用平方关系的变形化简 2 先对被开方式通分化简 再化简根式 探究一 探究二 探究三 核心素养提升 思维辨析 探究一 探究二 探究三 核心素养提升 思维辨析 三角函数式的化简过程中常用的方法 1 化切为弦 即把非正弦 非余弦的函数都化成正弦 余弦函数 从而减少函数名称 达到化简的目的 2 对于含有根号的 常把根号下式子化成完全平方式 去根号 达到化简的目的 3 对于化简含高次的三角函数式 往往借助于因式分解 或构造sin2 cos2 1 以降低函数次数 达到化简的目的 探究一 探究二 探究三 核心素养提升 思维辨析 探究一 探究二 探究三 核心素养提升 思维辨析 3 原式 cos2 sin2 cos4 cos2 sin2 sin4 3sin2 cos2 cos4 2sin2 cos2 sin4 sin2 cos2 2 1 因为180 270 所以sin 0 探究一 探究二 探究三 核心素养提升 思维辨析 利用同角三角函数关系证明恒等式角度1一般恒等式的证明 探究一 探究二 探究三 核心素养提升 思维辨析 探究一 探究二 探究三 核心素养提升 思维辨析 探究一 探究二 探究三 核心素养提升 思维辨析 三角恒等式的证明方法非常多 其主要方法有 1 从左向右推导或从右向左推导 一般由繁到简 2 左右归一 即证明左右两边都等于同一个式子 3 化异为同法 即针对题设与结论间的差异 有针对性地变形 以消除差异 探究一 探究二 探究三 核心素养提升 思维辨析 角度2给出限制条件的恒等式证明问题 例6 已知tan2 2tan2 1 求证 sin2 2sin2 1 分析切化弦 利用sin2 cos2 1将余弦转化为正弦 整理得证 探究一 探究二 探究三 核心素养提升 思维辨析 含有条件的三角恒等式的证明的基本方法同前面 但应注意条件的利用 常用方法有 直推法 从条件直推到结论 代入法 将条件代入到结论中 转化为三角恒等式的证明 换元法 探究一 探究二 探究三 核心素养提升 思维辨析 探究一 探究二 探究三 核心素养提升 思维辨析 探究一 探究二 探究三 核心素养提升 思维辨析 案例 开放探究题 从已知条件sin cos 且 0 可以得到以下结论 1 2 3 探究一 探究二 探究三 核心素养提升 思维辨析 探究一 探究二 探究三 核心素养提升 思维辨析 对于此类结论开放型试题 在解题的过程中需明确方向 然后顺着这个方向进行 在此过程中充分运用各种关系进行衍生 显然本题的求解方向为同角三角函数之间的关系 更为重要的是 本题中所运用的恒等式如下 sin cos 2 1 2sin cos sin cos 2 1 2sin cos sin cos 2 sin cos 2 2 sin cos 2 sin cos 2 4sin cos 探究一 探究二 探究三 核心素养提升 思维辨析 忽视角的取值范围致误 以上解题过程及结果错在什么地方 你发现了吗 如何避免这类错误 提示错解中没有注意到角 0 从而可推出sin 0 cos 0 因此解是唯一的 探究一 探究二 探究三 核心素养提升 思维辨析 探究一 探究二 探究三 核心素养提升 思维辨析 在利用sin cos sin cos 之间的关系解题时 往往易忽略角的取值范围造成增根或丢根 在已知sin cos 的值求sin cos 或sin cos 的值时 需开方 因此要由角的范围确定取 还是 1 2 3 4 5 答案b 1 2 3 4 5 答案c 1 2 3 4 5 答案c 1 2 3 4 5 答案sin 1 2 3 4 5 5 求证 2 1 sin 1 cos 1 sin cos 2 证法一左边 2 2sin 2cos 2sin cos 1 sin2 cos2 2sin cos 2 cos sin 1 2 cos sin cos sin 2 1 sin cos 2 右边 所以原式成立 证法二