高中数学 第四章 定积分 4.1 定积分的概念 4.1.1 定积分的背景——面积和路程问题课件 北师大版选修22.ppt

第四章定积分 1定积分的概念 1 1定积分的背景 面积和路程问题 1 了解过剩估计值与不足估计值 2 通过分割自变量的区间 会用过剩估计值和不足估计值估计曲边梯形的面积 物体运动的路程 1 定义 由直线x a x b a b y 0及曲线y f x 所围成的图形称为曲边梯形 如图中阴影部分 2 求解估计面积或路程问题的步骤 1 分割区间 2 求面积或路程的过剩估计值 3 求面积或路程的不足估计值 4 求估计值的误差 题型一 题型二 例1 估计由曲线y x2 2 直线x 1 x 0及y 0围成的图形的面积 并求出估计值的误差 将区间 0 1 10等分 解首先将区间 0 1 10等分 如图 所求图形的面积 即曲边梯形的面积 s的过剩估计值s1 0 2 0 199 0 196 0 191 0 184 0 175 0 164 0 151 0 136 0 119 1 715 如图 曲边梯形的面积s的不足估计值s2 0 199 0 196 0 119 0 1 1 615 s1 s2 1 715 1 615 0 1 无论用s1还是用s2来表示曲边梯形的面积s 误差都不会超过0 1 题型一 题型二 反思当函数y f x 是增函数时 用第一个分点的函数值为高作第一个矩形 依次作下去 所得矩形的面积为过剩估计值 用区间左端点的函数值为高作第一个矩形 依次作下去 所得矩形的面积为不足估计值 当函数y f x 是减函数时 正好相反 题型一 题型二 变式训练1 试求由直线y 2x x 2 x轴围成的三角形的面积的过剩估计值 不足估计值及估计值的误差 将区间 0 2 6等分 题型一 题型二 例2 有一辆汽车在笔直的公路上变速行驶 在时刻t的速度为v t 3t2 2 单位 km h 估计该汽车在0 t 2 单位 h 这段时间内行驶的路程s 将区间 0 2 10等分 分析 汽车在0 t 2这段时间内行驶的路程就是曲线v t 3t2 2与直线t 0 t 2 v t 0围成的图形的面积 所以用估计曲边梯形面积的方法估计汽车行驶的路程 题型一 题型二 解 将区间 0 2 10等分 则汽车行驶路程的过剩估计值为s1 3 0 22 0 42 0 62 0 82 12 1 22 1 42 1 62 1 82 22 20 0 2 13 24 km 不足估计值为s1 3 0 0 22 0 42 0 62 0 82 12 1 22 1 42 1 62 1 82 20 0 2 10 84 km 估计值的误差为s1 s1 13 24 10 84 2 4 km 所以无论用s1还是用s1来表示汽车行驶的路程 误差都不会超过2 4km 题型一 题型二 变式训练2 一个物体运动的速度为v t 20t t 1 2 试估计该物体在这段时间内经过的路程 将区间 1 2 5等分 解 将区间 1 2 5等分 则该物体在这段时间内经过的路程的过剩估计值为s1 20 1 2 1 4 1 6 1 8 2 0 2 32 不足估计值为s1 20 1 1 2 1 4 1 6 1 8 0 2 28 估计值的误差为s1 s1 32 28 4 所以无论用s1还是用s1来表示该物体在这段时间内经过的路程 误差都不会超过4 12345 12345 12345 3在求曲线y f x 与直线x a x b b a x轴围成的平面图形的面积的估计值时 在分割后的小区间 xi xi 1 上的矩形的高 a 只能是f xi b 只能是f xi 1 c 可以为f xi 或f xi 1 d 可以为f a 1 答案 c 12345 4在区间 0 3 内插入2015个分点 则可得个小区间 小区间的长度是 12345 5在估计由抛物线f x 2x2 直线x 0 1 x 0 9以及x轴所围成的平面图形的面积时 若将区间 0 1 0 9 4