高考数学一轮复习 第十一章 推理与证明 11.1 合情推理与演绎推理课件.ppt

高考数学 江苏省专用 第十一章推理与证明 11 1合情推理与演绎推理 2015江苏 23 10分 0 105 已知集合x 1 2 3 yn 1 2 3 n n n 设sn a b a整除b或b整除a a x b yn 令f n 表示集合sn所含元素的个数 1 写出f 6 的值 2 当n 6时 写出f n 的表达式 并用数学归纳法证明 a组自主命题 江苏卷题组 五年高考 f n t n 下面用数学归纳法证明 当n 6时 f 6 6 2 13 结论成立 假设n k k 6 时结论成立 那么n k 1时 sk 1在sk的基础上新增加的元素在 1 k 1 2 k 1 3 k 1 中产生 分以下情形讨论 1 若k 1 6t 则k 6 t 1 5 此时有f k 1 f k 3 解析 1 f 6 13 2 当n 6时 k 2 3 k 1 2 结论成立 2 若k 1 6t 1 则k 6t 此时有f k 1 f k 1 k 2 1 k 1 2 结论成立 3 若k 1 6t 2 则k 6t 1 此时有f k 1 f k 2 k 2 2 k 1 2 结论成立 4 若k 1 6t 3 则k 6t 2 此时有f k 1 f k 2 k 2 2 k 1 2 结论成立 5 若k 1 6t 4 则k 6t 3 此时有f k 1 f k 2 k 2 2 k 1 2 结论成立 6 若k 1 6t 5 则k 6t 4 此时有f k 1 f k 1 k 2 1 k 1 2 结论成立 综上所述 结论对满足n 6的自然数n均成立 易错警示因为f n 的表达式是分段形式 所以n由k变成k 1时需要验证分段表达式中的不同形式 考点一合情推理1 2017课标全国 文改编 9 5分 甲 乙 丙 丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩 老师说 你们四人中有2位优秀 2位良好 我现在给甲看乙 丙的成绩 给乙看丙的成绩 给丁看甲的成绩 看后甲对大家说 我还是不知道我的成绩 根据以上信息 则以下四种说法正确的是 乙可以知道四人的成绩 丁可以知道四人的成绩 乙 丁可以知道对方的成绩 乙 丁可以知道自己的成绩 b组统一命题 省 区 市 卷题组 答案 解析本题主要考查逻辑推理能力 由题意可知 甲看乙 丙的成绩 不知道自己的成绩 说明乙 丙两人是一个优秀一个良好 则乙看了丙的成绩 可以知道自己的成绩 丁看了甲的成绩 也可以知道自己的成绩 故 正确 2 2017北京文 14 5分 某学习小组由学生和教师组成 人员构成同时满足以下三个条件 i 男学生人数多于女学生人数 ii 女学生人数多于教师人数 iii 教师人数的两倍多于男学生人数 若教师人数为4 则女学生人数的最大值为 该小组人数的最小值为 答案 6 12 解析设男学生人数为x 女学生人数为y 教师人数为z 由已知得且x y z均为正整数 当z 4时 8 x y 4 x的最大值为7 y的最大值为6 故女学生人数的最大值为6 x y z 当x 3时 条件不成立 当x 4时 条件不成立 当x 5时 5 y z 此时z 3 y 4 该小组人数的最小值为12 3 2015山东 11 5分 观察下列各式 40 41 42 43 照此规律 当n n 时 答案4n 1 解析由题知 4n 1 4 2016山东 12 5分 观察下列等式 1 2 2 3 3 4 4 5 照此规律 答案 解析观察前4个等式 由归纳推理可知 n n 1 考点二演绎推理1 2017北京理 14 5分 三名工人加工同一种零件 他们在一天中的工作情况如图所示 其中点ai的横 纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数 点bi的横 纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数 i 1 2 3 记qi为第i名工人在这一天中加工的零件总数 则q1 q2 q3中最大的是 记pi为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数 则p1 p2 p3中最大的是 答案 q1 p2 解析本题考查推理的基础知识和直线的斜率 考查转化与化归思想及分析问题和解决问题的能力 设线段aibi的中点为ci xi yi 由题意知qi 2yi i 1 2 3 由题图知y1最大 所以q1 q2 q3中最大的是q1 由题意知pi i 1 2 3 的几何意义为点ci xi yi 与原点o连线的斜率 比较oc1 oc2 oc3的斜率 由题图可知oc2的斜率最大 即p2最大 2 2016课标全国 16 5分 有三张卡片 分别写有1和2 1和3 2和3 甲 乙 丙三人各取走一张卡片 甲看了乙的卡片后说 我与乙的卡片上相同的数字不是2 乙看了丙的卡片后说 我与丙的卡片上相同的数字不是1 丙说 我的卡片上的数字之和不是5 则甲的卡片上的数字是 答案1和3 解析丙的卡片上的数字之和不是5 则丙有两种情况 丙的卡片上的数字为1和2 此时乙的卡片上的数字为2和3 甲的卡片上的数字为1和3 满足题意 丙的卡片上的数字为1和3 此时乙的卡片上的数字为2和3 甲的卡片上的数字为1和2 这时甲与乙的卡片上有相同的数字2 与已知矛盾 故情况 不符合 所以甲的卡片上的数字为1和3 3 2014北京改编 8 5分 学生的语文 数学成绩均被评定为三个等级 依次为 优秀 合格 不合格 若学生甲的语文 数学成绩都不低于学生乙 且其中至少有一门成绩高于乙 则称 学生甲比学生乙成绩好 如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好 并且不存在语文成绩相同 数学成绩也相同的两位学生 那么这组学生最多有人 答案3 解析设学生人数为n 因为成绩评定只有 优秀 合格 不合格 三种情况 所以当n 4时 语文成绩至少有两人相同 若此两人数学成绩也相同 与 任意两人成绩不全相同 矛盾 若此两人数学成绩不同 则此两人有一人比另一人成绩好 也不满足条件 因此 n 4 即n 3 当n 3时 评定结果分别为 优秀 不合格 合格 合格 不合格 优秀 符合题意 故n 3 4 2016北京理改编 8 5分 袋中装有偶数个球 其中红球 黑球各占一半 甲 乙 丙是三个空盒 每次从袋中任意取出两个球 将其中一个球放入甲盒 如果这个球是红球 就将另一个球放入乙盒 否则就放入丙盒 重复上述过程 直到袋中所有球都被放入盒中 则乙盒中红球个数a与丙盒中黑球个数b的大小关系为 答案a b 解析设袋中共有2n个球 最终放入甲盒中k个红球 放入乙盒中s个红球 依题意知 甲盒中有 n k 个黑球 乙盒中共有k个球 其中红球有s个 黑球有 k s 个 丙盒中共有 n k 个球 其中红球有 n k s 个 黑球有 n k n k s s个 所以乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 评析本题考查推理与论证能力 对考生综合与分析的能力要求较高 5 2013重庆理 22 12分 对正整数n 记in 1 2 n pn 1 求集合p7中元素的个数 2 若pn的子集a中任意两个元素之和不是整数的平方 则称a为 稀疏集 求n的最大值 使pn能分成两个不相交的稀疏集的并 解析 1 当k 4时 中有3个数与i7中的3个数重复 因此p7中元素的个数为7 7 3 46 2 先证当n 15时 pn不能分成两个不相交的稀疏集的并 若不然 设a b为不相交的稀疏集 使a b pn in 不妨设1 a 则因1 3 22 故3 a 即3 b 同理6 a 10 b 又推得15 a 但1 15 42 这与a为稀疏集矛盾 再证p14符合要求 当k 1时 i14可分成两个稀疏集之并 事实上 只要取a1 1 2 4 6 9 11 13 b1 3 5 7 8 10 12 14 则a1 b1为稀疏集 且a1 b1 i14 当k 4时 集中除整数外剩下的数组成集 可分解为下面两稀疏集的并 a2 b2 当k 9时 集中除正整数外剩下的数组成集 可分解为下面两稀疏集的并 a3 b3 最后 集c m i14 k i14 且k 1 4 9中的数的分母均为无理数 它与p14中的任何其他数之和都不是整数 因此 令a a1 a2 a3 c b b1 b2 b3 则a和b是不相交的稀疏集 且a b p14 综上 所求n的最大值为14 注 对p14的分拆方法不是唯一的 评析本题是新定义问题 考查了阅读能力 分析问题 解决问题的能力 难度较大 要求较高 2014陕西 14 5分 观察分析下表中的数据 猜想一般凸多面体中f v e所满足的等式是 c组教师专用题组 答案f v e 2 解析观察表中数据 并计算f v分别为11 12 14 又其对应e分别为9 10 12 容易观察并猜想f v e 2 一 填空题 每题5分 共20分 1 2017江苏新海高级中学月考 11 已知 整数对 按如下规律排成一列 1 1 1 2 2 1 1 3 2 2 3 1 1 4 2 3 3 2 4 1 则第60个 整数对 是 三年模拟 a组2015 2017年高考模拟 基础题组 时间 35分钟分值 55分 答案 5 7 解析把 整数对 中两个数字的和相同的分为一组 得知第n组中每个 整数对 中两个数字的和均为n 1 且第n组共有n个 整数对 则前n组一共有个 整数对 注意到 60 因此第60个 整数对 处于第11组 每个 整数对 中两个数字的和为12的组 的第5个位置 结合题意可知每个 整数对 中两个数字的和为12的组中各对数依次为 1 11 2 10 3 9 4 8 5 7 因此第60个 整数对 是 5 7 2 2016江苏扬州中学质检 13 不等式 x 1 x2 4x 3 0有多种解法 其中有一种解法如下 在同一直角坐标系中作出y x 1和y x2 4x 3的图象 然后进行求解 请类比上述解法 求解以下问题 设a b z 若对任意x 0 都有 ax 2 x2 2b 0 则a b 答案 1 解析在同一坐标系中画出y ax 2和y x2 2b的图象 若对任意x 0 都有 ax 2 x2 2b 0 则两个图象应如图所示 则由a b z得 a b 1 3 2016江苏姜堰联考 13 把正整数按一定的规律排成了如图所示的三角形数表 设aij i j n 是这个三角形数表中从上往下数第i行 从左往右数第j个数 如a42 8 若aij 2015 则i j 12 43 5 76 8 10 129 11 13 15 1714 16 18 20 22 24 答案110 解析由三角形数表可以看出 奇数行中的数都是奇数 偶数行中的数都是偶数 2015 2 1008 1 所以2015为第1008个奇数 又每一行中奇数的个数就是行数 且前31个奇数行内奇数的个数的和为31 1 2 961 前32个奇数行内奇数的个数的和为32 1 2 1024 故2015在第32个奇数行内 所以i 63 因为第31个奇数行的最后一个奇数是961 2 1 1921 所以第63行的第一个数为1923 所以2015 1923 2 j 1 故j 47 从而i j 63 47 110 4 2015江苏徐州适应性训练 7 在平面中 abc中ce平分 acb 则ce分 abc面积所成的比 将这个结论类比到空间 在三棱锥a bcd中 平面dec平分二面角a cd b且与ab交于点e 则类比得到的结论为 答案 解析由已知条件得在图 1 中 点e到边ac和边bc的距离相等 因此 类比知在图 2 中 点e到平面acd和平面bcd的距离相等 设为h 所以 二 解答题 共35分 5 2017江苏赣榆高级中学月考 9 在 abc中 三个内角a b c的对边分别为a b c 若 试问a b c是否成等差数列 若不成等差数列 请说明理由 若成等差数列 请给出证明 解析a b c成等差数列 证明如下 3 1 c b c a a b a b b c b2 a2 c2 ac 在 abc中 由余弦定理 得cosb 0 b 180 b 60 a c 120 2b a b c成等差数列 6 2017江苏新海高级中学周练 21 数列 an 的前n项和记为sn 已知a1 1 an 1 sn n n 证明 1 数列是等比数列 2 对于任意正整数n都有sn 1 4an 证明 1 an 1 sn 1 sn an 1 sn n 2 sn n sn 1 sn 即nsn 1 2 n 1 sn 2 故是以1为首项 2为公比的等比数列 2 由 1 可知 4 n 2 sn 1 4 n 1 4 sn 1 4an n 2 又a2 3s1 3 s2 a1 a2 1 3 4 4a1 对于任意正整数n 都有sn 1 4an 7 2016江苏南京一中联考 20 已知两个无穷数列 an bn 分别满足 an 1 an 2 4 且a1 1 b1 1 1 若数列 an bn 都为递增数列 求数列 an bn 的通项公式 2 若数列 cn 满足 存在唯一的正整数r r n 使得cr 1 cr 称数列 cn 为 梦r数列 设数列 an bn 的前n项和分别为sn tn 若数列 an 为 梦5数列 求sn 若 an 为 梦r1数列 bn 为 梦r2数列 是否存在正整数m 使得sm 1 tm 若存在 求m的最大值 若不存在 请说明理由 解析 1 数列 an bn 都为递增数列 an 1 an 2 b2 2b1 bn 2 2bn 1 n n an 2n 1 bn 2 数列 an 满足 存在唯一的正整数r 5 使得ar 17 数列 an 中 sm 1 max 1 3 2m 1 m 1 2 而数列 bn 中 bm必然为正 否则tm 1 b2 2m 1 1 21 2m 2 2m 1 30 m 7 dm m 7 为递增数列 d7 0 进而 cm m 7 为递增数列 且c8 0 tm min sm 1 max 不存在正整数m 7 使得sm 1 tm m 6 当m 6时 构造 an 1 3 1 3 5 7 9 bn 1 2 4 8 16 32 64 此时r1 2 r2 4 所以存在正整数m 使得sm 1 tm 且m的最大值为6 对应的r1 2 r2 4 一 填空题 每题5分 共20分 1 2017江苏赣榆高级中学月考 12 将正奇数排列成如下形式 其中aij表示第i行第j个数 i n j n 例如a32 9 若aij 2009 则i j 135791113151719 b组2015 2017年高考模拟 综合题组 时间 40分钟分值 45分 答案60 解析2009是第1005个奇数 则1 2 3 i 1 1005 验证i 45时 式成立 所以i 45 易得出第45行第1个数是44 45 1 1981 1981 2 j 1 2009 j 15 2009是第45行第15个数 则i j 60 2 2017江苏扬州期中 如下是一个数表 第一行依次写着从小到大的正整数 然后把每行相邻的两个数的和写在这两个数的下方 得到下一行 数表从上到下与从左到右均为无限项 则这个数表中的第13行第10个数为 1234567 35791113 812162024 20283644 答案216 解析观察数表可知 每行数分别构成公差为20 21 22 23 的等差数列 所以第13行的公差为212 每行第一个数分别为1 3 2 1 20 8 22 2 21 20 23 3 22 故第13行第一个数为212 12 211 7 212 第10个数为7 212 9 212 16 212 216 3 2016江苏姜堰期中 12 过点p 1 0 作曲线c y ex的切线 切点为t1 设t1在x轴上的投影是点h1 过点h1再作曲线c的切线 切点为t2 设t2在x轴上的投影是点h2 依此下去 得到第n n n 个切点tn 则点t2015的坐标为 答案 2014 e2014 解析设t1 x1 由y ex得y ex 故在t1处的切线方程为y x x1 又切线过p 1 0 所以0 1 x1 从而x1 0 所以t1 0 1 所以h1 0 0 同理设t2 x2 所以曲线在t2处的切线方程为y x x2 因为切线过h1 0 0 所以0 0 x2 从而x2 1 即t2 1 e 所以h2 1 0 依此顺推得tn n 1 en 1 hn n 1 0 从而t2015 2014 e2014 4 2015江苏如皋期末 9 设函数f x x 0 观察 f1 x f x f2 x f f1 x f3 x f f2 x f4 x f f3 x 根据以上事实 由归纳推理可得 当n n 且n 2时 fn x f fn 1 x 答案 解析由f x x 0 得 f1 x f x f2 x f f1 x f3 x f f2 x f4 x f f3 x 当n 2且n n 时 fn x f fn 1 x 解析 1 当 3 8时 an 1 3an 2 an 1 1 3 an 1 又a1 1 2 an 1 是以2为首项 3为公比的等比数列 an 1 2 3n 1 an 2 3n 1 1 2 设数列 an 的公差为d d 0 则an a1 n 1 d dn d 1 由an 1 得an 1 an 2 an 4 dn d 3 dn 1 dn d 1 2 dn d 1 4 d2n2 4d d2 n d 3 d2n2 2 1 d dn 1 d 2 1 d 4对任意n n 恒成立 即 1 4 由 知an 2n 1 则sn n2 假设存在满足条件的四项子数列 由2017为奇数 知这四项三个奇数一个偶数或者一个奇数三个偶数 若三个奇数一个偶数 设s1 s2x 1 s2y 1 s2z是满足条件的四项 x y z n x y 则1 2x 1 2 2y 1 2 4z2 2017 2 x2 x y2 y z2 1007 这与1007为奇数矛盾 不合题意 舍去 若一个奇数三个偶数 设s1 s2x s2y s2z是满足条件的四项 x y z n 且互不相等 则12 4x2 4y2 4z2 2017 x2 y2 z2 504 由504为偶数知 x y z中一个偶数两个奇数或者三个偶数 i 若x y z中一个偶数两个奇数 不妨设x 2x1 y 2y1 1 z 2z1 1 则2 y1 z1 251 这与251为奇数矛盾 ii 若x y z均为偶数 不妨设x 2x1 y 2y1 z 2z1 则 126 继续奇偶分析知x1 y1 z1中两个奇数一个偶数 不妨设x1 2x2 y1 2y2 1 z1 2z2 1 则 y2 z2 31 因为y2 y2 1 z2 z2 1 均为偶数 所以x2为奇数 不妨设0 y2 z2 当x2 1时 y2 z2 30 y2 14 检验得y2 0 z2 5 x2 1 当x2 3时 y2 z2 22 y2 10 检验得y2 1 z2 4 x2 3 当x2 5时