（江苏专用）2018年高考数学总复习 必做03 二项式定理及其应用试题（含解析）.docVIP

1 专题专题 3 3 二项式定理及其应用二项式定理及其应用 三年高考三年高考 1 2016 年高考四川理数改编 设i为虚数单位 则 6 xi 的展开式中含x4的项为 答案 15x4 解析 试题分析 二项式 6 xi 展开的通项 6 16 rr r r tc xi 令64r 得2r 则展开式中 含 4 x的项为 24 24 6 15c x ix 考点 二项展开式 复数的运算 名师点睛 本题考查二项式定理及复数的运算 复数的概念及运算也是高考的热点 几乎 是每年必考内容 属于容易题 一般来说 掌握复数的基本概念及四则运算即可 二项式 6 xi 的展开式可以改为 6 ix 则其通项为 6 6 rrr c ix 即含 4 x的项 为 4 6 444 6 15c ixx 2 2016 年高考北京理数 在 6 1 2 x 的展开式中 2 x的系数为 用 数字作答 答案 60 解析 试题分析 根据二项展开的通项公式 16 2 rrr r tcx 可知 2 x的系数为 22 6 2 60c 故 填 60 考点 二项式定理 名师点睛 1 所谓二项展开式的特定项 是指展开式中的某一项 如第n项 常数项 有 理项 字母指数为某些特殊值的项 求解时 先准确写出通项 rrnr nr bact 1 再把系数与 字母分离出来 注意符号 根据题目中所指定的字母的指数所具有的特征 列出方程或不等 式来求解即可 2 求有理项时要注意运用整除的性质 同时应注意结合n的范围分析 3 2016 高考新课标 1 卷 5 2 xx 的展开式中 x3的系数是 用数字填写答 案 答案 10 2 考点 二项式定理 名师点睛 确定二项展开式指定项的系数通常是先写出通项 1r t 再确定 r 的值 从而确定 指定项系数 4 2016 高考天津理数 28 1 x x 的展开式中x2的系数为 用数字作答 答案 56 解析 试题分析 展开式通项为 2 816 3 188 1 1 rrrrrr r tcxc x x 令1637r 3r 所以 7 x的 33 8 1 56c 故答案为56 考点 二项式定理 名师点睛 1 求特定项系数问题可以分两步完成 第一步是根据所给出的条件 特定项 和 通项公式 建立方程来确定指数 求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件 即n r均 为非负整数 且n r 第二步是根据所求的指数 再求所求解的项 2 有理项是字母指数为整数的项 解此类问题必须合并通项公式中同一字母的指数 根据 具体要求 令其为整数 再根据数的整除性来求解 5 2016 高考山东理数 若 ax2 1 x 5的展开式中x5的系数是 80 则实数a 答案 2 解析 试题分析 因为 5 10 255 2 155 1 r rrrrr r tcaxc ax x 所以由 5 1052 2 rr 因此 25 2 5 802 c aa 考点 二项式定理 名师点睛 本题是二项式定理问题中的常见题型 二项展开式的通项公式 往往是考试的 重点 本题难度不大 易于得分 能较好的考查考生的基本运算能力等 3 6 2015 高考湖南 理 6 已知 5 a x x 的展开式中含 3 2 x的项的系数为 30 则 a 答案 16 解析 r rrr r xact 2 5 51 1 令1 r 可得6305 aa 7 2015 高考新课标 1 理 10 25 xxy 的展开式中 52 x y的系数为 答案 30 解析 在 25 xxy 的 5 个因式中 2 个取因式中 2 x剩余的 3 个因式中 1 个取x 其余 因式取 y 故 52 x y的系数为 212 532 c c c 30 8 2015 高考湖北 理 3 已知 1 nx 的展开式中第 4 项与第 8 项的二项式系数相等 则奇 数项的二项式 系数和为 答案 9 2 解析 因为 1 nx 的展开式中第 4 项与第 8 项的二项式系数相等 所以 73 nn cc 解得 10 n 所以二项式 10 1 x 中奇数项的二项式系数和为 910 22 2 1 9 2015 高考新课标 2 理 15 4 1 axx 的展开式中 x 的奇数次幂项的系数之和为 32 则a 答案 3 解析 由已知得 4234 1 1464xxxxx 故 4 1 axx 的展开式中 x 的奇数 次幂项分别为4ax 3 4ax x 3 6x 5 x 其系数之和为441 6 1 32aa 解 得3a 10 2015 高考上海 理 11 在 10 2015 1 1x x 的展开式中 2 x项的系数为 结 果用数值表示 答案 45 4 解析 因为 1010 1019 10 201520152015 111 1 1 1 1 xxxcx xxx 所以 2 x 项只能在 10 1 x 展开式中 即为 82 10 c x 系数为 8 10 45 c 11 2014 高考湖北卷理第 2 题 若二项式 7 2 x a x 的展开式中 3 1 x 的系数是 84 则实数 a 答案 1 解析 因为 rrrrrrr xac x a xc 277 7 7 7 2 2 令327 r 得2 r 所以842 2722 7 ac 解得1 a 14 2014 山东高考理第 14 题 若 26 b ax x 的展开式中 3 x项的系数为 20 则 22 ba 的 最小值 答案 2 解析 26 b ax x 展开式的通项为 26612 3 166 rrrrrrr r b tcaxab c x x 令 1233 r 得3r 所以 由 6 333 6 20ab c 得1ab 从而 22 22abab 当且仅 当ab 时 22 ab 的最小值为2 13 2014 全国 1 高考理第 13 题 8 xyxy 的展开式中 27 x y的系数为 用数字填写答案 答案 20 14 2014 高考安徽卷理第 13 题 设na 0 是大于 1 的自然数 n a x 1的展开式为 n nx axaxaa 2 210 若点 2 1 0 iaia ii 的位置如图所示 则 a 5 答案 3 解析 由图易知 012 1 3 4aaa 则 122 12 11 3 4 nn acac aa 即 2 3 1 4 2 n a n n a 解得3a 2017 年高考命题预测 纵观近几年各地高考 我们可以发现对二项式定理的考查 重点是二项式定理的通项公式 二项式系数及项的系数 以考查基本概念 基础知识为主 如系数和 求某项的系数 求常 数项 求有理项 求所含参数的值或范围等 难度不大 属于中档题和容易题 题型为选择 题或填空题 二项式定理是高考数学相对独立的内容 二项式定理的知识在高考中经常以客 观题的形式出现 多为课本例题 习题迁移的改编题 难度不大 个别题有一定的难度 重 点考查运用二项式定理去解决问题的能力和逻辑划分 化归转化等思想方法 为此 只要我 们把握住二项式定理及其系数性质 会把实际问题化归为数学模型问题或方程问题去解决 就可顺利获解 预测 2017 年高考仍可能以二项式的通项 二项式系数 展开式系数为主 可 单独考查本节知识 也可出现与其他章节知识结合的小综合 如可能与定积分结合出题 试 题难度中等 复习建议复习建议 运用二项式定理一定要牢记通项 1 rn rr rn tc ab 注意 n ab 与 n ba 虽然相同 但具体到它们展开式的某一项时是不相同的 我们一定要注 意顺序问题 另外二项展开式的二项式系数与该项的 字母 系数是两个不同的概念 前者只 指 r n c 而后者是字母外的部分 对于二项式系数问题 应注意以下几点 求二项式所 有项的系数和 可采用 特殊值取代法 通常令字母变量的值为 1 关于组合恒等式的证 6 明 常采用 构造法 构造函数或构造同一问题的两种算法 证明不等式时 应注意 运用放缩法 求二项展开式中指定的项 通常是先根据已知条件求r 再求 1r t 有时还 需先求n 再求r 才能求出 1r t 有些三项展开式问题可以变形为二项式问题加以解决 有时也可以通过组合解决 但要注意分类清楚 不重不漏 对于二项式系数问题 首先要 熟记二项式系数的性质 其次要掌握赋值法 赋值法是解决二项式系数问题的一个重要手段 近似计算要首先观察精确度 然后选取展开式中若干项 用二项式定理证明整除问题 一般将被除式变为有关除式的二项式的形式再展开 常采用 配凑法 消去法 配合整除 的有关知识来解决 2017 2017 年高考考点定位年高考考点定位 本节内容高考的重点就是利用二项式定理的通项公式 二项式系数及项的系数 以考查基本 概念 基础知识为主 如系数和 求某项的系数 求常数项 求有理项 求所含参数的值或 范围等 题型既有选择题也有填空题 难度中等偏下 而小题目综合化是这部分内容的考查 一种趋势 考点考点 二项式定理二项式定理 备考知识梳理备考知识梳理 1 二项式定理 011 n nnrn rrnn nnnn abc ac abc abc bnn 这个公式所表示的定理叫 做二项式定理 右边的多项式叫做 n ab 的二项展开式 其中的系数 r n c 0 1 2 3 rn 叫做二项式系数 式中的 rn rr n c ab 叫做二项展开式的通项 用 1r t 表示 即展开式的第1r 项 1 rn rr rn tc ab 2 二项展开式形式上的特点 1 项数为1n 2 各项的次数都等于二项式的幂指数n 即 a与b的指数的和为n 3 字母a按降幂排列 从第一项开始 次数由n逐项减 1 直到零 字母b按升幂排列 从第一项起 次数由零逐项增 1 直到n 4 二项式的系数从 0 n c 1 n c 一直到 1n n c n n c 3 二项式系数的性质 1 对称性 与首末两端 等距离 的两个二项式系数相等 即 0n nn cc 11n nn cc mn m nn cc 2 增减性与最大值 二项式系数 r n c 当 7 1 2 n r 时 二项式系数是递增的 由对称性知 当 1 2 n r 时 二项式系数是递减的 当 n是偶数时 中间的一项 2 n n c取得最大值 当n是奇数时 中间两项 1 2 n n c 和 1 2 n n c 相等 且 同时取得最大值 3 各二项式系数的和 n ab 的展开式的各个二项式系数的和等于2n 即 01 2 rnn nnnn cccc 二项展开式中 偶数项的二项式系数的和等于奇数项的 二项式系数的和 即 0241351 2n nnnnnn cccccc 4 注意 1 分清 rn rr n c ab 是第1r 项 而不是第r项 2 在通项公式 1 rn rr rn tc ab 中 含有 1r t r n c a b n r这六个参数 只有a b n r是独 立的 在未知n r的情况下 用通项公式解题 一般都需要首先将通式转化为方程 组 求出n r 然后代入通项公式求解 3 求二项展开式中的一些特殊项 如系数最大项 常 数项等 通常都是先利用通项公式由题意列方程 求出r 再求所需的某项 有时则需先求 n 计算时要注意n和r的取值范围以及 它们之间的大小关系 4 在 1 rn rr rn tc ab 中 r n c就是该项的二项式系数 它与a b的值无关 而 1r t 项的系数是指化简后字母外的数 5 二项式的应用 1 求某些多项式系数的和 2 证明一些简单的组合恒等式 3 证明整除性 求数的末位 数的整除性及求系数 简单多项式的整除问题 4 近似 计算 当x充分小时 我们常用下列公式估计近似值 11 n xnx 2 1 11 2 n n n xnxx 5 证明不等式 规律方法技巧规律方法技巧 1 在应用通项公式时 要注意以下几点 它表示二项展开式的任意项 只要n与r确定 该项就随之确定 1r t 是展开式中的第1r 项 而不是第r项 公式中 a b的指数和为n且a b不 能随便颠倒位置 对二项式 n ab 展开式的通项公式要特别注意符号问题 在二项式定理的应用中 赋值思想 是一种重要方法 是处理组合数问题 系数问题的经典方法 2 二项定理问题的处理方法和技巧 运用二项式定理一定要牢记通项 1 rn rr rn tc ab 注 意 n ab 与 n ba 虽然相同 但具体到它们展开式的某一项时是不同的 一定要注意顺 序问题 另外二项展开式的二项式系数与该项的 字母 系数是两个不同的概念 前者只指 8 r n c 而后者是字母外的部分 前者只与n和r有关 恒为正 后者还与a b有关 可正可 负 对于二项式系数问题 应注意以下几点 求二项式所有项的系数和 可采用 特殊值 取代法 通常令字母变量的值为 1 关于组合恒等式的证明 常采用 构造法 构造 函数或构造同一问题的两种算法 证明不等式时 应注意运用放缩法 求二项展开式中 指定的项 通常是先根据已知条件求r 再求 1r t 有时还需先求n 再求r 才能求出 1r t 有些三项展开式问题可以变形为二项式问题加以解决 有时也可以通过组合解决 但要注 意分类清楚 不重不漏 对于二项式系数问题 首先要熟记二项式系数的性质 其次要掌 握赋值法 赋值法是解决二项式系数问题的一个重要手段 近似计算要首先观察精确度 然后选取展开式中若干项 用二项式定理证明整除问题 一般将被除式变为有关除式的二 项式的形式再展开 常采用 配凑法 消去法 配合整除的有关知识来解决 多项式乘法的进位规则 在求系数过程中 尽量先化简 降底数的运算级别 尽量化成加减运 算 在运算过程可以适当注意令值法的运用 例如求常数项 可令0 x 在二项式的展开式 中 要注意项的系数和二项式系数的区别 3 排列组合在二项展开式中的应用 n ab 展开式可以由次数 项数和系数来确定 1 次数的确定 从n个相同的ab 中各取一个 a或b 乘起来 可以构成展开式中的一项 展 开式中项的形式是 pq ma b 其中 p qn pqn 2 项数的确定 满足条件 p qn pqn 的 p q共1n 组 即将 n ab 展开共2n项 合并同类项后共1n 项 3 系数的确定 展开式中含 pq a b pqn 项的系数为 p n c 即p个a q个b的排列数 因此 n ab 展开式中的通项是 1 rn rr rn tc ab 0 1 2 3 rn 011 n nnrn rrnn nnnn abc ac abc abc bnn 这种方法比数学归纳法推导 二项式定理更具一般性和创造性 不仅可二项展开 也可三项展开 四项展开等 4 求几个二项式积的展开式中某项的系数或特定项时 一般要根据这几个二项式的结构特 征进行分类搭配 分类时一般以一个二项式逐项分类 分析其他二项式应满足的条件 然后 再求解结果 5 赋值法 普遍适用于恒等式 是一种重要的方法 对形如 n axb 2 n axbxc a b cr 的式子求其展开式的各项系数之和 常用赋值法 只需令1x 即可 对形如 9 n axby a br 的式子求其展开式各项系数之和 只需令1xy 即可 赋值法 是求二项展开式系数问题常用的方法 注意取值要有利于问题的解决 可以取一个值或几个 值 也可以取几组值 解题易出现漏项等情况 应引起注意 例 若 2 012 n n f xaa xa xa x 则 f x展开式中各项系数之和为 1f 奇数项系数 之和为 024 11 2 ff aa 偶数项系数之和为 135 11 2 ff aa 令0 x 可得 0 0af 6 求展开式系数最大项 如求 n axb a br 的展开式系数最大的项 一般是采用待 定系数法 设展开式各项系数分别为 1231 n a a aa 且第k项系数最大 应用 1 1 kk kk aa aa 从而解出k来 即得 7 1 利用二项式定理解决整除问题时 关键是进行合理地变形构造二项式 应注意 要证 明一个式子能被另一个式子整除 只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一 个式子整除即可 2 求余数问题时 应明确被除式 f x与除式 g x 0g x 商式 q x与余式的关系 及余式的范围 3 展开式中常数项 有理项的特征是通项中未知数的指数分别为零和整数 解决这类问题 时 先要合并通项中同一字母的指数 再根据上述特征进行分析 4 有关求二项展开式中的项 系数 参数值或取值范围等 一般要利用通项公式 运用方 程思想进行求值 通过解不等式 组 求取值范围 考点针对训练考点针对训练 1 已知 4 1 2 n x x 的展开式的前三项的系数成等差数列 1 求 4 1 2 n x x 展开式中所有的有理项 2 求 2 2 nx x 展开式中系数的绝对值最大的项 答案 8 n 1 42 149 351 8256 tx tx tx 2 10 17 11 2 67 1792 1792 txtx 解析 试题分析 根据已知条件展开式的前三项的系数成等差数列可以求出n的值 求展开式中 所有的项 将有理项选出 通过判断系数绝对值最大的两项分别为第6 7项 展开式中系数的绝对值最大的项为 5 3 5 68 2 2 tcx x 17 2 1792 x 同理 11 7 1792 tx 则其系数的绝对值的最大项为 6 t 和 7 t 2 求 n x x 32 5 2 2 5 的展开式中的常数项 其中n是017777 除以19的余数 答案 5 168 解析 试题分析 由n是017777 除以19的余数求了出10 n 再由二项展开式的通项求常数项 即可 试题解析 976011760177 77 77 m除以19的余数是10 所以10 n 设 1 r t是展开式中的常数项 则 10 3 5 10 10 32 10 101 5 2 2 5 5 2 2 5 r rr r rr r r xcx x ct 令010 3 5 r得6 r 所以 5 168 5 2 2 5 64 6 107 ct 所以展开式中的常数项为 5 168 两年模拟详解析两年模拟详解析 11 1 已知 2 nx x 二项展开式中 第 4 项的二项式系数与第 3 项的二项式系数的比为 8 3 1 求 n 的值 2 求展开式中 3 x项的系数 3 计算式子 012310 1010101010 2481024ccccc 的值 答案 1 10n 2 180 3 1 解析 试题分析 本题主要考查二项式定理的应用 二项展开式的通项公式 注意根据题意 分 析所给代数式的特点 通过给二项式的 x 赋值 求展开式的系数和 属于基础题 第一问 直接利用条件可得 3 2 8 3 n n c c 求得 n 的值 第二问 在二项展开式的通项公式中 令 x 的幂 指数等于 3 求出 r 的值 即可求得展开式中 x3项的系数 第三问 在 10 2 x x 二项展 开式中 令 x 1 可得式子 012310 1010101010 2481024ccccc 的值 3 由二项式定理可得 10 5 10 0 2 2 nrrr r xc x x 所以令 x 1 得 012310 1010101010 2481024ccccc 10 1 2 1 2 已知 2102320 012320 4 taata ta ta t 1 求 2 a的值 2 求 13519 aaaa 的值 12 3 求 02420 aaaa 的值 答案 1 9 410 2 0 3 10 3 解析 试题分析 1 求 2 a时利用二项式定理的展开式通项公式 取 x 的次数为 2 时求对应的系 数 求 2 3 中奇数项和偶数项系数和时分别令1 1tt 将得到的两式整理即可求 得 试题解析 1 9 99 210 c4410a 2 10 01220 13taaaa 令得 10 01220 13taaaa 令得 13519 0 aaaa 3 10 02420 3 aaaa 由 2 得 3 若 n x x 1 6 6 展开式中第二 三 四项的二项式系数成等差数列 1 求 n 的值及展开式中二项式系数最大的项 2 此展开式中是否有常数项 为什么 答案 1 n 7 1 15 3x 3 10 35x 2 无常数项 解析 试题分析 首先求得二项式定理的展开式通项 得到第二 三 四项的二项式系数 列出等 式关系求得n值 二项式系数最大的项为中间的一项或两项 常数项即通项中x的次数为零 的项 试题解析 1 解 由展开式中第二 三 四项的二项式系数成等差数列 得 2 2 n c 1 n c 3 n c 解之得 n 7 由于 n 7 为奇数 所以展开式中二项式系数最大的项为中间两项 它们分别是 3 1 4 36 15 47 5 1 35tcxx x 13 4 3 3 46 10 57 5 1 35tcxx x 2 由 7 2 7 6 6 177 6 1 r r r rr r tcxc x x 0 r 7 令 72 6 r 0 得 r 7 2 舍去 所以无常数项 4 已知 n x x 2 2 的展开式中 只有第六项的二项式系数最大 求该展开式中所有有理项的项数 求该展开式中系数最大的项 答案 1 6 2 2 25 2 25 77 108 153602 xxct 解析 试题分析 1 先由只有第六项的二项式系数最大求出10 n 再利用通项进行求解 2 设第 1 r t项的系数最大 利用 11 1010 11 1010 22 22 rrrr rrrr cc cc 进行求解 试题解析 由题意可知 16 2 n 10 n 2 510 10 2 2 10 101 22 r rrrr r r r xcxxct 100 nrr 且 要求该展开式中的有理项 只需令z r 2 510 10 8 6 4 2 0 r 所有有理项的项数为 6 项 设第 1 r t项的系数最大 则 11 1010 11 1010 22 22 rrrr rrrr cc cc 即 1 2 10 1 11 12 rr rr 解得 3 22 3 19 r nr 得7 r 展开式中的系数最大的项为 2 25 2 25 77 108 153602 xxct 5 已知 322 3 nxx 展开式中各项的系数之和比各项的二项式系数之和大992 1 求展开式中二项式系数最大的项 14 2 求展开式中系数最大的项 答案 1 6 3 90tx 22 3 4 270tx 2 26 3 5 405tx 解析 试题分析 1 本题考察的是二项式定理的相关知识点 要求二项式系数最大项 首先要 确定n的值 然后就能确定展开式中二项式系数最大的项 易错点主要在分不清各项系数之 和与二项式系数之和的差别 2 本题考察的是求展开式中的系数最大项 设第1k 项系数最大 只需建立两个不等式 1 12 kk kk tt tt 求出k的取值范围 再根据kn 就可以求出k的值 最后根据二项式定理展 开式的公式即可写出相应的系数最大的项 试题解析 由题意 210 4 52 33 155 1 3 1 2992 5 3 3 r nnrrrrr r ntcxxc x 1 展开式中二项式系数最大的项是 18 226 3 35 390tc xx 2222 33 33 45 3270tc xx 2 由 11 55 11 55 33 33 kkkk kkkk cc cc 解得 2626 44 33 55 3 54 5 4 3405kktc xx 为所求的系 数最大的项 考点 1 二项式定理 2 二项式系数的性质 6 解下列方程 123 5333 3 4 xxx xxxx ccca 答案 14 解析 试题分析 本题主要考察组合数公式 m n n c m nm 的应用 根据公式就可以把所给方程 化简成简单方程 就可以解出答案 本题易错点在记错公式 从而导致化简出错 本题中的 上下标较多 化简时要多加注意 试题解析 5 4 4 3 5 5 4 xxxx 得14x 7 在 n x x 2 1 4 的展开式中 前三项的系数成等差数列 求展开式中含有x的项的系数 15 求展开式中的有理项 答案 8 35 4 1 xt xt 8 35 5 2 9 256 1 x t 解析 试题分析 首先将前三项的系数写出 然后因为是等差数列 所以列出关于 n 的式子 求解 n 按通项公式列 1 r t项 判定当 r 为何值是 会出现含x的项 同样写 r r r r xct 4 3 4 81 2 1 有理项指r 4 3 4为整数 80 r 试题解析 解 n x x 2 1 4 的展开式中前三项的系数分别为 0 n c 1 2 1 n c 2 4 1 n c 由题意 知 8089 8 1 1 4 1 2201 nnn nn nccc nnn 或1 n 舍去 设展开式中含有x的项为 2 1 r 2 8 81 r r r xct r r r xx 4 3 4 r 8 4 c 2 1 则41 4 3 4 rr 含有x的项为第 5 项 它的系数为 8 35 2 1 4 8 4 c 设展开式中第1 r项为有理项 则 2 1 r 2 8 81 r r r xct r r r xx 4 3 4 r 8 4 c 2 1 当840 r时对应的项为有理项 有理项分别为 4 1 xt xt 8 35 5 2 9 256 1 x t 8 设数列 an 是等比数列 31 1232 m mm aca 公比 q 是 4 2 1 4 x x 的展开式中的第二项 按 x 的降幂排列 1 用 n x 表示通项 an与前 n 项和 sn 2 若 an 1 1 n cs1 2 n cs2 n n csn 1 1 n n c sn 1 用 n x 表示 an 1 答案 1 1n n ax 1 1 1 1 n n nx s x x x 2 11 1 1 2 2 1 1 n nn n n a x x 解析 试题分析 1 根据组合数的性质可求得m的值 根据二项展开式的通项可求得q的值 从 而可求得 nn a s 2 用倒序相加法及组合数的性质可求得 1n a 16 2 当1x 时 1 1 n sn 01231 1111111 0231 nn nnnnnnn accccncnc 又 1110 111111 110 nnn nnnnnn ancncnccc 由 mn m nn cc 得 0121 111111 21 nn nnnnnn anccccc 1 1 2n n an 当1x 时 1 1 n n x s x 231 1231 11111 1111 1111 n n nnnnn xxxx acccc xxxx 12311223311 11111111 1 1 nnn nnnnnnnn ccccxcx cx cxc x 112211 111 1 2111 1 nnn nnn xcx cxc x 1 1 1 21 1 n n x x 11 1 1 2 2 1 1 n nn n n a x x 17 9 已知二项式 2 1 2 n x x n n 展开式中 前三项的二项式系数和是56 求 求n的值 展开式中的常数项 答案 10n 45 256 解析 试题分析 前三项二项式系数分别为 012 c c c nnn 由题意根据组合数的运算可求 得n 由 知10n 根据二项式的展开式 1r t 令x的系数为 0 可求得r的值 从 而可求得其常数项 10 1 若 1 nx 的展开式中 3 x的系数是x的系数的7倍 求n 2 已知 7 1 0 axa 的展开式中 3 x的系数是 2 x的系数与 4 x的系数的等差中项 求a 3 已知 lg8 2 x xx 的展开式中 二项式系数最大的项的值等于1120 求x 答案 1 n 8 2 1010 11 55 aa 或 3 1 1 10 xx 或 解析 试题分析 不必将所有式子进行展开 本题只需要通过对二项式定理的理解求出各项的系数 18 根据各小题所给条件 其中包括融入了有关等差数列的应用 级数展开最大项的选择等 列出相应的方程 并解出方程解即本题答案 在解方程时要注意多解的适用性 舍掉不必要 的解 试题解析 1 3 x的二项式系数是 3 n c x的二项式系数是 1 n c 依题意有 31 7 nn cc 1 2 7 3 n nn n 即 2 3400 nn 整理 得 8 5 nn 解得舍去 2 依题意 得 523443 777 2 c ac ac a 即 243 213570 aaa 0a 2 51030 aa 1010 11 55 aa 解得或 3 依题意得 44lg4 8 2 1120 x cxx 4 1 lg 1 x x 即 即 2 lglg0 xx 解得lg0 x 或lg1 x 所以 1 1 10 xx 或 11 已知的展开式中 前三项系数的绝对值依次成等差数列 1 证明展开式中没有常数项 2 求展开式中的所有有理项 答案 1 详见解析 2 2 95 4 1 256 1 8 35 x xtxtt 解析 19 试题分析 1 根据二项展开式的通项求得前三项系数 根据题意 由等差中项可求得关于 n的方程 从而可求得n的值 因为此展开式至少有 3 项故2n 再根据二项展开式的通项 求第1r 项 令x的幂指数为 0 求r 当08r 且rn 时说明此展开式有常数项 否则说 明此展开式无常数项 2 由 1 可知 16 3 8 4 1 1 2 rr r r r c tx 当且仅当 4 r3 16 为整数时 1 r t为有理项 又因为08r 且rn 所以可得r的值 从而可得其有理项 2 1 r t为有理项 当且仅当 4 r3 16 为整数 8 4 0 80 rnrr 即展开式中有理项共有三项 它们是 2 95 4 1 256 1 8 35 x xtxtt 12 已知 2 012 21 n n n xaa xa xa x nn n 为常数 1 求 012 n aaaa 2 我们知道二项式 1 nx 的展开式 0122 1 n nn nnnn xcc xc xc x 若该等式两 边对 x 求导得 1 1 nnx 12321 23 nn nnnn cc xc xnc x 令 x 1 可得 123 23 n nnnn cccnc 1 2nn 利用此方法解答以下问题 求 123 12 3 n aaana 求 2222 123 123 n aaan a 20 答案 1 3 n 2 2n 2 42nn 解析 试题分析 1 利用赋值法 令1x 即可 2 由题目给出的条件可知 需要对已知 的式子进行两边求导 再利用赋值法令1x 即可 因为本题中出现了平方 所以需要两 边先同时乘以 x 再求导赋值即可 试题解析 1 013 n aaaa 即为 21 nx 的各项系数的绝对值之和且绝对值之 和为正数 令 x 1 则 013 n aaaa 3 n 2 对等式两边求导得 121 123 2 21 23 nn n nxaa xa xna x 令 x 1 得 123 12 3 n aaana 2n 3 将 121 123 2 21 23 nn n nxaa xa xna x 两边同乘 x 得 1 2 21 nnxx 23 123 23 n n a xa xa xna x 两边再对 x 求导 21 2 2 1 21 21 nn nnxxx 212221 123 23 n n aa xa xn a x 令 x 1 得 2222 123 123 n aaan a 2 42nn 13 设 123 12341 1 2 nn nnnnn f naa ca ca cacnnn 1 若数列 n a的各项均为 1 求证 0f n 2 若对任意大于等于 2 的正整数n 都有 0f n 恒成立 试证明数列 n a是等差数 列 答案 1 证明见解析 2 证明见解析 解析 试题分析 1 由二项式定理得 012233 1 n nn nnnnn xcc xc xc xc x 令1x 即可得 0123 0 1 n n nnnnn ccccc 所以 0f n 得证 2 使用数学归纳法即可证明 试题解析 1 因数列 n a满足各项为 1 即 0123 1 n n nnnnn f nccccc 由 012233 1 n nn nnnnn xcc xc xc xc x 令1x 则 0123 0 1 n n nnnnn ccccc 即 0f n 21 2 当2n 时 12 12232 2 0faa ca c 即 213 2aaa 所以数列 n a的前 3 项 成等差数列 假设当nk 时 由 123 1234 1 1 0 kk kkkkk f kaa ca ca cac 可得数列 n a的前 1k项成等差数列 因对任意大于等于 2 的正整数n 都有 0f n 恒成立 所以 1 0f k 成立 所以 123 1234 1 123 1 1 12 13 14 12 1 1 0 1 0 kk kkkkk kk kkkkk aa ca ca cac aa ca ca cac 两式相减得 1122 1 1 2 13 1 1 1 2 1 1 1 0 kkkkk kkkkkkkkk a cca ccaccac 因 11 1 mmm nnn ccc 所以 0121 1 234 12 1 1 0 kkkk kkkkkkk a ca ca cacac 即 01211 234 12 1 1 0 kkkk kkkkkkk a ca ca cacac 由假设可知 234 12 kk a a aaa 也成等差数列 从而数列 n a的前2k 项成等差数列 综上所述 若 0f n 对任意3n 恒成立 则数列 n a是等差数列 14 已知 2 012 2 1 1 1 nn n xaa xa xaxnn 求 0 a及 1 n ni i sa 试比较 n s与 2 2 32 n nn 的大小 并说明理由 答案 1 0 3na 1 43 n nn i i a 2 当1n 时 2 2 32 n n snn 当2n 或 3时 2 2 32 n n snn 当4n 时 2 2 32 n n snn 解析 试题分析 1 本题是二项式定理的应用 求二项展开式中的系数 一般用赋值法 本题 中令1x 可得 0 a 令2x 可得 01n aaa 2 由 1 知题意就是要比较4n与 2 1 32 n nn 的大小 它们都是增函数 但从增速上看 当n较大时 4n增速较大 取特 22 殊值观察结论 分别取1 2 3 4 5n 猜想当4n 时有 2 4 1 32 nn nn 可试用数学 归纳法证明 由上述过程可知 当4n 时 结论成立 假设当 nk kk n 4时结论成立 即 2 4 1 32 kk kk 两边同乘以4 得 12122 44 1 3232 1 4 342 kkkk kkkkkkk 6 而 22 4 342 4 3 2 kk kkkkkk 6 6 2k 10 4 3 2 1 0 k kkk 6 2k 10 所以 112 4 1 1 32 1 kk kk 即1nk 时结论也成立 由 可知 当4n 时 2 4 1 32 nn nn 成立 综上所述 当1n 时 2 2 32 n n snn 当2n 或3时 2 2 32 n n snn 当4n 时 2 2 32 n n snn 15 设 a b nn 且 ab 对于二项式 n ab 1 当3 4n 时 分别将该二项式表示为 pq p qn 的形式 2 求证 存在 p qn 使得等式 nabpq 与 nabpq 同时成 立 23 答案 1 322 3 3 aba abb ba 42222 6 16 abaabbab ab 2 见解析 解析 试题分析 1 由二项式定理展开整理即可 2 分n为奇偶数讨论 用待定系数法求 之 试题解析 1 当 n 3 时 3 3 3 abababab 22 3 3 a abb ba 2 分 当 n 4 时 42222 464 6 4 abaa ababb abbaabbabab 2222 6 16 aabbab ab 2 证明 由二项式定理得 kknk n n k kn bacba 1 0 若n为奇数 则 113332220 nn n nn n n n n n n bacbacbacacba 11333222 nnnnnn nnnn cabcabcabcb 分析各项指数的奇偶性易知 可将上式表示为 bvauba n 11 的形式 其中 11 u v n 也即qpbvauba n 2 1 2 1 其中aup 2 1 bvq 2 1 p q n 若n为偶数 则 2222220nn n nn n n n n n n bcbacbacacba 1133333311 nnnnnn nnnn cabcabcabcab 类似地 可将上式表示为abvuba n 22 的形式 其中 22 u v n 也即qpabvuba n 2 2 2 2 其中 2 2 up abvq 2 2 p q n 所以存在 p q n 使得等式qpba n 24 同理可得 n ba 可表示为qpba n 从而有 qpqpqp nnn bababa 综上可知结论成立 16 已知 2 1 n xnn x 展开式中各项的二项式系数和比各项的系数和大 256 求展开式中的所有无理项的系数和 求展开式中系数最大的项 答案 128 6 70 x 解析 试题分析 首先由已知得到8n 写出二项展开式的通项公式 由通项公式易知当 1 3 5 7r 时 1r t 为无理项 故无理项的系数和为 1 8 128c 357 888 ccc 考虑展开式的奇数 可知当4r 时 系数最大 试题解析 由题意展开式中各项的二项式系数和为2n 令1x 可得到各项的系数和为0 则由条件得20256 n 则8n 则 8 2 1 x x 的第1r 项为 5 4 8 2 188 2 1 1 0 1 2 8 r rrrrr r tcxxr x c 1 由通项公式易知当1 3 5 7r 时 1r t 为无理项 故无理项的系数和为 1 8 128c 357 888 ccc 2 当1 3 5 7r 时 系数为 8 r c 当0 2 4 6 8r 时 系数为 8 r c 当4r 时 系数最大 故系数最大的项为 466 5 1 70txx 4 8 c 17 在数学上 常用符号来表示算式 如记 0 n i i a 0123n aaaaa 其中in nn 1 若 0 a 1 a 2 a n a成等差数列 且 0 0a 求证 0 n i in i ac 1 2n n a 2 若 2 22 0122 1 1 n kn n k xaa xa xa x 2 0 n ni i ba 记 1 1 1 n ii nin i dbc 且不等 式 1 nn tdb 恒成立 求实数t的取值范围 25 答案 1 详见解析 2 5 1 3 解析 试题分析 1 利用 1 1 kk nn kcnc 将和项转化为符合二项式展开定理条件 本题也可利用 倒序相加法求和 2 本题关键在于求和 2 0 n ni i ba 及 1 1 1 n ii nin i dbc 对于 2 0 n ni i ba 可利用赋值法求偶数项的系数和得到 对于 1 1 1 n ii nin i dbc 则需构造符合二项式展开 定理条件 进行求和 最后根据恒成立 利用变量分离法 求最值得参数取值范围 试题解析 1 设等差数列的通项公式为 0n aand 其中d为公差 则 0 n i in i ac 12 012 n nnnn aa ca ca c 0112 0 2 nn nnnnnn a cccd ccnc 因为 1 1 kk nn kcnc 所以 12 2 n nnn ccnc 011 111 n nnn n ccc 所以 0 n i in i ac 1 02 2 nn and 1 2n n a 注 第 1 问也可以用倒序相加法证明 2 令 1x 则 2 232 0 2 14 22222 42 1 n n nn i i a 令 1x 则 2 0 1 0 n i i i a 所以 2 0 n ni i ba 1 2 42 41 2 nn 根据已知条件可知 012233 41 41 41 1 41 nnn nnnnnn dccccc 01223301234 4 4 4 4 1 1 nnnn nnnnnnnnnnn ccccccccccc 14 1 1 1 3 1 nnn 所以 3 1 n n d 26 将 41 n n b 3 1 n n d 代入不等式 1 nn tdb 得 3 41 nn t 当n为偶数时 41 33 nn t 所以 22 415 333 t 当n为奇数 41 33 nn t 所以 11 41 1 33 t 综上所述 所以实数t的取值范围是 5 1 3 18 已知数列 n a通项公式为 1 1 n n aatbn 其中 a bt为常数 且1t nn 等式 10 220 2 01220 22111xxbb xbxbx 其中 0 1 2 20 i b i 为实常数 1 若0 1ab 求 10 2 1 nn n a b 的值 2 若1 0ab 且 10 11 2 1 2222 n nn n ab 求实数t的值 答案 1 6143 2 2 解析 试题分析 1 由二项式定理求出 2n b的通项 再利用分组求和法 二项式系数的性质 倒 序相加法求和 2 对所给等式的左边先分组 而后利用二项式定理求和而将方程进行化 简 再利用方程所对应的函数的单调性以及估算求解方程 试题解析 1 10 10 2 2 2211xxx 2420 01210 10101010 111ccxcxcx 220 01220 111bbxbxbx 比较可知 210 1 2 10 n n bcn 而0 1ab 时 1 11 n n aatbnn 所以 10101010 2101010 1111 1 nnn nn nnnn a bncncc 设t 10 01210 1010101010 1 01210 n n nccccc 27 t也可以写成t 10210 10101010 10210cccc 相加得 10 210 2t 即 10 5 2t 所以 101010 1010 21010 111 5 2216143 nn nn nnn a bncc 2 当1 0ab 时 11 11 nn n aatbnt 结合 1 中结论可知 101010 1 22210 1010 11111 10 22 222 1 2 nn nnnnnn nnnnn nnn aba bbtcc 10101010111011122 2 1 1 21 12 1 1 223122tt ttt 即 101022 1 310t tt 因为 为关于t的递增的式子 所以关于t的方程最多只有一解 而观察 可知 有一解 2t 综上可知 2t 19 已知数列 n a通项公式为 1 1 n n aatbn 其中 a bt为常数 且1t nn 等式 10 220 2 01220 22111xxbb xbxbx 其中 0 1 2 20 i b i 为实常数 1 若0 1ab 求 10 2 1 nn n a b 的值 2 若1 0ab 且 10 11 2 1 2222 n nn n ab 求实数t的值 答案 1 6143 2 2t 解析 试题分析 1 由二项式定理易知 10 10 2 2 2211xxx 2420 01210 10101010 111ccxcxcx 2420 01210 1010101