2012年普通高等学校招生全国统一考试数学 江苏卷 解答.doc

网2012年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学注意事项：考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共4页，均为非选择题（第1题-第20题，共20题）。本卷满分为160分。考试时间为120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。2.答题前请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。4.作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。5.如需作图，须用2B铅笔绘，写清楚，线条，符号等须加黑加粗。参考公式：棱锥的体积V=Sh ，其中S为底面积，h 为高。一.填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡的相应位置上。1. 已知集合A=1,2,4,B=2,4,6，则AB= 。解析 考查集合的并集运算知识。答案：1,2,4,62. 某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比是3：3：4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取 名学生。解析 考查分层抽样的有关知识。答案：153. 设a,bR，（i为虚数单位），则a+b的值为 。解析 考查复数的代数形式及除法运算。答案：84. 右图是一个算法流程图，则输出的k的值是 。解析 考查选择结构的流程图的认知。答案：55. 函数的定义域为 。解析 考查函数定义域的计算。答案：解：，且，解得：6. 现有10个数，它们能构成一个以1为首项，-3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是 。 解析 考查等比数列与古典概型等基础知识。答案：DABC解：等比数列的 10个数中，有5个数为负，第一个数为1，共有6个数小于8，它小于8的概率是。7. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=3cm，AA1=2cm，则四棱锥A-BB1D1D的体积为 cm3 。解析 考查几何体的体积计算方法。答案：6解：连结AC，且设AC与BD交于O，又四边形ABCD为正方形，则AOBD,易证平面ABCD平面BB1D1D于BD,所以AO平面BB1D1D于O. 四棱锥A-BB1D1D的体积为8. 在平面直角坐标系xOy中，若双曲线的离心率为，则m的值为 。 解析 考查双曲线标准方程及离心率等基础知识。答案：2解：9. 如图，在矩形ABCD中，AB=，BC=2，点E是BC的中点，点F在边CD上，若，则的值是 。 解析 考查平面向量的运算及解析法等知识。答案：解：以A为坐标原点、AB为轴、建立直角坐标系，则：，可设。由，计算可得：，10. 设是定义在R上且周期为2的函数，在区间-1,1上， 其中a,bR，若，则a+3b值为 。解析 考查函数的表示法、周期性等基础知识。答案：-10解：，联立，解得：，a+3b=-10。11. 设为锐角，若，则的值为 。解析 考查两角和正弦公式、二倍角公式的应用，整体思想的应用。答案：解：设，12. 在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是 。 解析 考查圆的方程、两圆位置关系、直线与圆的位置关系等基础知识，考查数形结合法的应用。答案：解：圆C的方程为，设直线上的一点位P，则：当圆C与圆P相外切、且直线PC与直线垂直时，k的值最大。即圆C（4，0）到直线的距离为2，解得：13.已知函数的值域为，若关于的不等式的解集为(m, m+6)，则实数c的值为 。解析 考查基本初等函数的性质，二次函数、二次不等式、二次方程之间的联系。方法一：由值域为推出，m和m+6为方程两根，由根与系数关系：，联立解得：方法二：由值域为推出，对应的方程的两根之差为，故有，解得。答案：914. 已知正数a，b，c满足：，则的取值范围是 。 答案:e，7解析 考查等价转化、数形结合等方法的综合运用，属于难题。（方法一）由已知得：，设，可以变为：，在上递减，在上递增。利用图像求得解集区域，得y范围是。（方法二） 二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.15、（本小题满分14分）在ABC中，已知。（1）求证：tanB=3tanA；（2）若，求A的值。解析 本题主要考查平面向量的数量积、三角函数的基本关系式、两角和的正切公式、解三角形，考查运算求解能力和推理论证能力。满分14分。（1）证明：设ABC的三边分别为，由，得：，由正弦定理，可得：，由以上等式可得：角A与B不能同时为直角、不能同时为钝角，0且0。两边同时除以，得tanB=3tanA。（2）解：由，可求得：，解得：或，又0，A为锐角，所以。16. （本小题满分14分）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1B1=A1C1，D、E分别是棱BC、CC1上的点（点D不同于点C），且ADDE，F是B1C111BC的中点。 求证：(1)平面ADE平面BCC1 B1； (2)直线A1F/平面ADE。解析 本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力。满分14分。17. （本小题满分14分）如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米。某炮位于坐标原点。已知炮弹发射后的轨迹在方程表示的曲线上，其中k与发射方向有关。炮的射程是指炮弹落地点的横坐标。 (1)求炮的最大射程；(2)设在第一象限有一个飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由。解析 本题主要考查函数、方程和基本不等式等基础知识，考查数学阅读能力和解决实际问题的能力。满分14分。（解法一）（解法二）18. （本小题满分16分）若函数在处取得极大值或极小值，则称为函数的极值点。已知a、b是实数，1和-1是函数的两个极值点。 (1)求a和b的值；(2)设函数的导函数，求的极值点；(3)设，其中，求函数的零点个数。解析 本小题主要考查函数的概念、性质及导数等基础知识，考查运算求解能力、运用数形结合、分类讨论的思想方法分析和解决问题的能力。满分16分。（3）解法一：（3）解法二：19.（本小题满分16分）ABPOxy（第19题）如图，在平面直角坐标系xOy中椭圆的左、右焦点分别为，已知点和都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率。（1）求椭圆的方程；（2）设A、B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线AF1与直线BF2平行，A F2与B F1交于点P。 （i）若，求直线AF1的斜率；（ii）求证：是定值。解析 本小题主要考查求椭圆的定义、标准方程及几何性质、直线方程、两点间的距离公式等基础知识，考查运算求解能力和推理论证的能力。满分16分。解：（1）将点和的坐标代入椭圆方程，得：解得：。所以椭圆的方程为。（2）（i）（解法一）左焦点为，设直线的方程为：，代入椭圆的方程，化简，得：，因为A是椭圆上位于x轴上方的点，所以，同理：设直线的方程为：，代入椭圆的方程，化简，得：，因为B是椭圆上位于x轴上方的点，所以，又，得：故有：+=化简，得：。（解法二）（解法三）（2）（i i）（解法1）（解法2）（解法3）（解法4）所以20. （本小题满分16分）已知各项均为正数的两个数列和满足。（1）设，求证：数列是等差数列；（2）设，且是等比数列，求和的值。解析 本小题主要考查求等差数列和等比数列的基本性质、基本不等式等基础知识，考查学生分析探究及逻辑推理的能力。满分16分。解：（1）所以数列是等差数列。（2）（方法一）解：设等比数列的公比为。由，得：， 可得：，代入，可得：。（方法二）绝密启用前 2012年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学(附加题)注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1本试卷共2页，均为非选择题（第21题第23题）。本卷满分为40分。考试时间为30分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。2答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。3请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。4作答试题必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答，在其它位置作答一律无效。5如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。21选做题本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答若多做，则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤AEBDCOA选修4 - 1：几何证明选讲（本小题满分10分） 如图，AB是圆O的直径，D、E为圆上位于AB异侧的两点，连结BD并延长至点C，使BD = DC，连结AC、AE、DE求证：E=C解析 本题主要考查三角形、圆的基础知识，考查推理论证能力。满分10分。（方法一）证明：连结AD，AB是圆O的直径，ADB为直角，所以ADBC，又因为BD = DC，ABC为等腰三角形，且AC=AB，B=C。又因为所对的圆周角相等，B=E。故E=C。（方法二）B选修4 - 2：矩阵与变换（本小题满分10分）已知矩阵A的逆矩阵，求矩阵A的特征值解析 本题主要考查矩阵的基础知识，考查运算求解能力。满分10分。C选修4 - 4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在极坐标中，已知圆C经过点，圆心为直线与极轴的交点，求圆C的极坐标方程解析 本题主要考查直线和圆的极坐标方程等基础知识，考查转化问题的能力。满分10分。D选修4 - 5：不等式选讲（本小题满分10分）已知实数x，y满足：求证：解析 本题主要考查绝对值不等式的基础知识，考查推理论证能力。满分10分。【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22（本小题满分10分）设为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中