三角形内外角平分线有关命题的证明及应用.doc

三角形内外角平分线有关命题的证明及应用湖北省襄阳市襄州区黄集镇初级中学张昌林在中考和一些竞赛题目中常有与三角形内外角平分线有关的题目，若平时不注意总结是很难一下子解决的下面来一起学习一下命题1 如图，点D是ABC两个内角平分线的交点，则D=90+A证明：如图：1，2122A18012D=180得：12AD由得：12=180D把代入得：180DADD=90+A点评 利用角平分线的定义和三角形的内角和等于180，不难证明.命题2 如图，点D是ABC两个内角平分线的交点，则D=90A证明：如图：DB和DC是ABC的两条外角平分线，D=18012=180（DBE+DCF）=180（A+4+A+3）=180 （A+180）=180 A90=90 A；点评 利用角平分线的定义和三角形的一个外角等于与它不相邻两外角的和以及三角形的内角和等于180，可以证明.命题3 如图3，点E是ABC一个内角平分线与一个外角平分线的交点，则E=A证明：如图3：1=2，3=4，A+21=241+E=4代入得：E=A点评 利用角平分线的定义和三角形的一个外角等于与它不相邻两外角的和，很容易证明.命题4如图，点E是ABC一个内角平分线BE与一个外角平分线CE的交点，证明:AE是ABC的外角平分线.证明：如图3：BE是ABC的平分线,可得：EH=EFCE是ACD的平分线, 可得：EG=EF过点E分别向AB、AC、BC所在的直线引垂线，所得的垂线段相等.即EF=EG=EHEG=EHAE是ABC的外角平分线 点评 利用角平分线的性质和判定能够证明应用上面的结论能轻松地解答一些相关的比较复杂的问题，下面来一起看例1如图5，PB和PC是ABC的两条外角平分线已知A=60，请直接写出P的度数.三角形的三条外角平分线所在的直线形成的三角形按角分类属于什么三角形？解析：由命题2的结论直接得：P=90 A=90 60=60根据命题2的结论P=90 A，知三角形的三条外角平分线所在的直线形成的三角形的三个角都是锐角，则该三角形是锐角三角形点评 此题直接运用命题2的结论很简单同时要知道三角形按角分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形例 如图6，在ABC中，延长BC到D,ABC与ACD的角平分线相较于点，BC与CD的平分线交与点，以此类推，若A=96，则= 度解析：由命题的结论不难发现规律A可以直接得：=96=3点评此题是要找出规律的但对要有命题的结论作为基础知识例（2011湖北鄂州市中考第一大题填空题第八小题，此题分）如图7，ABC的外角ACD的平分线CP的内角ABC平分线BP交于点P，若BPC=40，则CAP=_解析：此题直接运用命题的结论可以知道是ABC的一个外角平分线，结合命题的结论知道BAC=2BPC, CAP=(180BAC )= (1802BPC )=50点评对命题3、4研究过的读者此题不难，否则将是一道在考试的时候花时间也不一定做的出来的题目例(2003年山东省“KLT快乐灵通杯”初中数学竞赛试题)如图，在RtABC中，ACB=90，BAC=30，ACB的平分线与ABC的外角平分线交与E点，连接AE，则AEB= 度解析：有题目和命题的结论可以知道AE是ABC的一个