第六章 保形映射.pdf

第六第六章章保保角角映射映射章章角角 保角映射在热力学 空气动力学以及电磁场理论等的研究中都有重要应保角映射在热力学 空气动力学以及电磁场理论等的研究中都有重要应 用用本章从解析函数导数的几何意义出发本章从解析函数导数的几何意义出发引出保角映射的概念引出保角映射的概念重点讨论分重点讨论分用用 本章从解析函数导数的几何意义出发本章从解析函数导数的几何意义出发 引出保角映射的概念引出保角映射的概念 重点讨论分重点讨论分 式线性映射及若干初等函数所构成的保角映射及其性质式线性映射及若干初等函数所构成的保角映射及其性质 6 1 解析映射的一般性质 6 1 解析映射的一般性质 6 26 2 分式线性映射分式线性映射 6 6 2 2 分式线性映射分式线性映射 6 36 3 确定分式线性映射的条件确定分式线性映射的条件 6 36 3 确定分式线性映射的条件确定分式线性映射的条件 6 4 分式线性映射的应用 6 4 分式线性映射的应用 6 5 指数函数和对数函数确定的映射 6 5 指数函数和对数函数确定的映射 6 1 解析映射的一般性质 6 1 解析映射的一般性质 回顾回顾 1 保角性保角性 20102010 Arg Arg Arg Arg wtwtztzt 回顾回顾 1 保角性保角性 C 1和 和 2在在w0处的夹角处的夹角C1和和C2在在z0处的夹角处的夹角 C 2 wf z 2 C 2 C 2 1 C 0 w 0 z 1 C 1 1 1 过过z0两条光滑曲线两条光滑曲线C1 C2在在 z0处夹角的大小与方向处夹角的大小与方向过过z0两条光滑曲线两条光滑曲线C1 C2在在 z0处夹角的大小与方向处夹角的大小与方向 和在映射和在映射w f z 下的像 下的像 1 2在在w0处夹角的大小与处夹角的大小与 方向相同方向相同 即时即时 映射映射w f z 具有保角性具有保角性 0 0fz 2 的几何意义的几何意义 0 fz 000 limlim f zf zwww t fz 2 的几何意义的几何意义 0 fz 00 0 000 limlim zzzz fz zzzzz t v wy z Q zfw P 0 z t w t C 0 Q Q w 0 P P z zz ww 0 z t 0 w t u O x O 0 w 0 z 0 zz 0 ww u O x O 当时当时 是映射是映射w f z 在在z0处的伸缩处的伸缩 0 fz 0 0fz 00 率率 它与它与C无关无关 即映射即映射w f z 具有具有伸缩率不变性伸缩率不变性 1 保角映射的概念1 保角映射的概念 定义定义6 1设设w f z 在点在点z0的邻域内有定义的邻域内有定义 如如 果果在在处具有保角性和伸缩率不变性处具有保角性和伸缩率不变性 则称则称果果w f z 在在 z0 处具有保角性和伸缩率不变性处具有保角性和伸缩率不变性 则称则称 映射映射w f z 在在z 处是保角映射处是保角映射 如果如果w f z 在区域在区域映射映射w f z 在在z0 处是保角映射处是保角映射 如果如果w f z 在区域在区域 D内的每一点都是保角映射内的每一点都是保角映射 则称则称w f z 是区域是区域 D f 上的保角映射上的保角映射 定理定理6 1 若若w f z 在在z0处解析处解析 且则且则 0 0 fz f 在在 处是保角映射处是保角映射 若若f 在区域在区域 D解析解析w f z 在在z0处是保角映射处是保角映射 若若w f z 在区域在区域 D解析解析 且在且在D内内则则w f z 是区域是区域 D上的保角上的保角 形形 0 fz 且在且在D内内则则w f z 是区域是区域 D上的保角上的保角 形形 0 fz 映射映射 例例1 w z2在在z 0处是保角映射处是保角映射 但在但在z 0处不处不例例z 在在z处是保角映射处是保角映射 但在但在z处不处不 具有保角性具有保角性 解 因为所以当解 因为所以当z 0时时 因此在因此在2 wz 0 w z 0处处 w z2是保角映射是保角映射 当当0时时 在在 平面内取过平面内取过0点的两条射线为点的两条射线为当当z 0时时 在在 z平面内取过平面内取过 z 0点的两条射线为点的两条射线为 arg0z 正实轴正实轴 和和 arg0 z i zre y z v w gz 正实轴正实轴 和和 g 2 wz 222i zr e 不保角不保角 2 x O u O2 2 2关于保角映射的般理论关于保角映射的般理论2 2 关于保角映射的关于保角映射的一一般理论般理论 实际上实际上定定的逆定也成立的逆定也成立此此实际上实际上 定定理理6 1的逆定的逆定理理也成立也成立 因因此此 映射映射 w f z 是区域是区域 D上的保角映射的上的保角映射的充分必要充分必要映射映射 w f z 是区域是区域 D上的保角映射的上的保角映射的充分必要充分必要 条件是条件是f z 在在D内解析内解析 并且并且 0 fz 条件是条件是f z 在在 内解析内解析 并且并且 fz 并且可以证明并且可以证明 如果如果f z 是区域是区域D上不恒为常数的解析函数上不恒为常数的解析函数 则则 点集点集 G f D 是是 w 平面上的区域平面上的区域 即解析函数把区域即解析函数把区域 映射成区域映射成区域 即具有即具有保域性保域性映射成区域映射成区域 即具有即具有保域性保域性 基本问题基本问题 基本问题基本问题 1 给定两个区域给定两个区域 D和和G 是否存在双方单值的保是否存在双方单值的保 给定两个区域给定两个区域和和 是否存在双方单值的保是否存在双方单值的保 角映射角映射 把把D映射成映射成G 存在性问题存在性问题 2 如果存在这样的映射如果存在这样的映射 如何求出如何求出 实现性问题实现性问题 关于存在性问题 有下面的关于存在性问题 有下面的Riemann定理定理 定理定理6 2 如果如果 D和和G分别是分别是 z平面和平面和 w平面平面平面平面 上边界多于个点的单连通区域上边界多于个点的单连通区域则存在双方单值则存在双方单值上边界多于上边界多于一一个点的单连通区域个点的单连通区域 则存在双方单值则存在双方单值 的保角映射的保角映射w f z 把把D映射成映射成G 的保角映射的保角映射w f z 把把D映射成映射成G Riemann定理中的保角映射定理中的保角映射f z 不不一一定惟定惟一一 Riemann定理中的保角映射定理中的保角映射f z 不定惟不定惟 但如果再加一些条件但如果再加一些条件 如如 0000 Arg f zwfz 其中其中 则存在惟一的保则存在惟一的保 000 02zD wG 角映射角映射w f z 使得使得 Gf D 关于实现性问题关于实现性问题 可利用下面的可利用下面的边界对应原理边界对应原理关于实现性问题关于实现性问题 可利用下面的可利用下面的边界对应原理边界对应原理 定理定理6 3 设设D是是z平面内由一条分段光滑平面内由一条分段光滑Jordan 曲线曲线C围成的区域围成的区域 f z 是是D及其边界及其边界C上的解析函数 上的解析函数 并把并把C双方单值地映射成双方单值地映射成 w平面上的光滑曲线平面上的光滑曲线 如如 果果 C的正向映射成的正向映射成 的正向的正向则在映射则在映射f 下下 C果果 C的正向映射成的正向映射成 的正向的正向 则在映射则在映射w f z 下下 C 的内部区域的内部区域D映射成映射成 正向的左侧正向的左侧 若若 也是也是Jordan的内部区域的内部区域 映射成映射成 正向的左侧正向的左侧 若若 也是也是Jo d 曲线曲线 则映射成 的内部则映射成 的内部 区域区域 如果如果C的正向映射成的正向映射成 的负向 的负向 则则C的内部区域映射成 的右侧的内部区域映射成 的右侧 若 也是若 也是 Jordan曲线曲线 则映射成 的外部则映射成 的外部 区域区域 对于对于C不是不是Jordan曲线的情况也可得出类似的曲线的情况也可得出类似的 边界对应原理结论边界对应原理结论 并且在边界的个别点不满足双并且在边界的个别点不满足双 方单值的情况也成立方单值的情况也成立 但在这些点不能保证保角性但在这些点不能保证保角性 结论 结论 在解析映射下在解析映射下 C 的内部不是映射的内部不是映射 方单值的情况也成立方单值的情况也成立 但在这些点不能保证保角性但在这些点不能保证保角性 成像 的内部就是映射成像 的外部成像 的内部就是映射成像 的外部 如果如果C或 中或 中 有直线有直线 则按直线的某侧来理解则按直线的某侧来理解有直线有直线 则按直线的某则按直线的某一一侧来理解侧来理解 方法1方法1 在在C内任取一点内任取一点z0 如果如果z0的像的像w0在在 内部 则 内部 则C 的内部映射的内部映射 成成 的内部的内部如果如果 的像的像 C C C C 成成 的内部的内部 如果如果z0的像的像 w0在在 外部外部 则则C 的内部的内部 0 z 0 w 0 z 0 z 0在 在 外部外部 则则的内部的内部 映射 的外部映射 的外部 0 w 方法方法2 2 在在C 上取三个点上取三个点如果环绕方如果环绕方 zzz 方法方法2 2 在在C 上取三个点上取三个点如果环绕方如果环绕方 123 zzz 向与它们的像在向与它们的像在 上的环绕上的环绕 123 zzz 123 www 123123 方向相同方向相同 则则C的内部映射成 的内部的内部映射成 的内部 123 www 如果环绕方向相反如果环绕方向相反 则则C的内部映射成 的外部的内部映射成 的外部 C zC z 3 w 2 w C 3 zC 3 z 3 w 1 w 1 w 3 w 1 w 1 z 1 z 2 w 2 w 2 z 2 z 例例2 求区域求区域在映射在映射 100D例例2 求区域求区域在映射在映射 1 0 0Dz xyxy w f z z2下的像下的像G f D w f z z 下的像下的像G f D 解显然解显然 w z2 在在D内处处可内处处可 y z D 导 且因此导 且因此 f z 是是 0 fz z D 上保角映射上保角映射 由由 222 2wzxyxyi 2wzxyxyi Ox 可知可知 D的边界的边界 1 0 0CDx y xyxy 可知可知 的边界的边界 yyy 在在w平面上的像为平面上的像为 2 u v v 因因D的内点映射成的内点映射成w平面上的点平面上的点 0 2 1 zi 0 4 wi 的内点的内点 又因为又因为故故G 2G 根据根据 应该是应该是G 的的边界对应原理边界对应原理 0 4wi y z v w 的内点的内点 又因为又因为故故 G 2 Gu v v D y z v w w z2 4i C 2i z 0 OxOu D G W f x 三者已知其二 求其一三者已知其二 求其一 w f z f D 边界对应定理边界对应定理G w f z f z DG 只能给出几种特殊情况下的映射只能给出几种特殊情况下的映射 分式线性映射 指数 对数函数 分式线性映射 指数 对数函数 幂函数 方根幂函数 方根 分式线性映射分式线性映射 6 2 6 2 分式线性映射分式线性映射 1 分式线性映射的概念分式线性映射的概念 2 几种简单的分式线性映射几种简单的分式线性映射 3 分式线性映射的基本性质分式线性映射的基本性质 4 唯一确定分式线性映射的条件唯一确定分式线性映射的条件 5 分式线性映射的典型例子分式线性映射的典型例子 1 1 分式线性映射的概念分式线性映射的概念1 1 分式线性映射的概念分式线性映射的概念 是复常数是复常数 azb 是复常数是复常数 azb w czd a b c d0adbc 称为称为分式线性映射 分式线性映射 为为所所 dwadbc 注注1 因因为为所所以以 2 dz czd 0adbc dw 保证了映射是保角映射保证了映射是保角映射 否则即否则即w 常数常数 d 0 d w z 那么映射的值域是那么映射的值域是 w平面上的一点平面上的一点 azb 注注2 由可得由可得 0 azb wadbc czd 0 dwb zadbc 即分式线性映射的逆映射也是分式线性映射即分式线性映射的逆映射也是分式线性映射 0 zadbc cwa 即分式线性映射的逆映射也是分式线性映射即分式线性映射的逆映射也是分式线性映射 注注3 两个分式线性映射两个分式线性映射 11 111 1 0 ab wa db c cd 11 cd 22 0 a zb a db c 2222 22 0 a db c c zd 复合仍是分式线性映射复合仍是分式线性映射复合仍是分式线性映射复合仍是分式线性映射 0 azb dbdbdb 111 12222 0 wadbca db ca db c czd 注注4 分式线性映射分式线性映射 0 azb wadbc czd z 如果如果c 0 则由知于是则由知于是0 0 0 da wz wz 其中其中 ab dd 如果如果c 0 则则 dd B wA C zC 其中其中所以所以一一般的分式线般的分式线 abcadd ABC 其中其中所以般的分式线所以般的分式线 2 ABC ccc 性映射是由下列简单的分式线性映射复合而成性映射是由下列简单的分式线性映射复合而成 性映射是由下列简单的分式线性映射复合而成性映射是由下列简单的分式线性映射复合而成 1 bzw 2 azw 1 3 z w 过程如下过程如下 z 2 3211 23 1 1 1 z zzzzaBzC B wzwA zzC z z 几种简单的分式线性映射几种简单的分式线性映射2 2 几种简单的分式线性映射几种简单的分式线性映射 为方便起见为方便起见 令令w平面与平面与z平面重合平面重合 wzb 1 平移映射平移映射 这是扩充这是扩充 平面到扩充平面到扩充 平面的双方单值映射平面的双方单值映射 这是扩充这是扩充z平面到扩充平面到扩充w平面的双方单值映射平面的双方单值映射 在在此映射下此映射下 z沿着复数沿着复数 wz b w 在在此映射下此映射下 z沿着复数沿着复数 b 所表示的向量方向平所表示的向量方向平 z b 移距离移距离 b 得到像得到像w o 2 旋转映射旋转映射 i 是实数是实数 2 旋转映射旋转映射 i we z 是实数是实数 它把点它把点z以原点为中心旋转以原点为中心旋转 角角 0时按逆时时按逆时它把点它把点z以原点为中心旋转以原点为中心旋转 角角 0时按逆时时按逆时 针针 1 时放大时放大 01时缩小时缩小 而而 z z o 时放大时放大 0 r 0 b为实数为实数 即相似和平移映射也满即相似和平移映射也满 足要求足要求 但它们是平凡的但它们是平凡的 没有实际意义没有实际意义 例例2证明 把上半平面映射成上半平面证明 把上半平面映射成上半平面Im0z azb Im0w 的分式线性映射可写为 的分式线性映射可写为 azb w czd 0且bdRdb 其中其中 0且a b c dRadbc 证证明明 1 根据边界对应定理根据边界对应定理 则则Im0z Im0w 明明根据边界对应定理根据边界对应定理则则z 112233 设 xuxu xu 313111 232232 wuxxwuzx wuwuzxxx 232232 azb w czd 其中 kk a b c df xuR czd 2 1 ImIm0 22 wwazbazbadbc wz iiczdczd czd 22iiczdczd czd 0adbc 证明 证明 2 根据边界对应定理 则 根据边界对应定理 则Im0z Im0w 设 112233 设 xuxu xu 313111 wuxxwuzx 相相 313111 232232 wuwuzxxx azb 相相 同同 azb w czd 其中 kk a b c df xuR 123123 与顺序相同x xxu u u 即复变函数即复变函数w在在x轴处的旋转角为轴处的旋转角为0 2k 考察 dwadbc 当当R时时d dR若若d d0 2 考察 dz czd 当当z R时时 dw dz R 若若dw dz 00adbc 例例3求把上半平面求把上半平面映射成上半平面映射成上半平面I0例例3求把上半平面求把上半平面映射成上半平面映射成上半平面Im0z Im0w 的分式线性映射 且使的分式线性映射 且使z 0 z i 分别映射至分别映射至w 0 w 1 i 解 解 为何只给了两个点的映射关系 一般需要为何只给了两个点的映射关系 一般需要3个关系 个关系 azb w czd 0且a b c dRadbc 其中其中 因为其中的因为其中的a b c d都是都是实数实数 故虽然给定了 故虽然给定了 2个点个点 但是三个实数的对应关系但是三个实数的对应关系 2个点个点 但是三个实数的对应关系但是三个实数的对应关系 0 0 b 0 z w 1 2 i a wicd 0z 2 z i 2z w 2 b 0 c d 1ad bc 0a 1 w z 2 b 0 c d 1ad bc 0a 例例求把上半面求把上半面映射成单位映射成单位 2 上半平面映射到单位圆内部上半平面映射到单位圆内部 例例4求把上半求把上半平平面面映射成单位映射成单位圆圆Im0z 内部内部的分式线性映射的分式线性映射1w y w v i 内部内部的分式线性映射的分式线性映射 1w z y w i Ox Ou1 1 1 1 方法一方法一 解 在解 在x 轴上取三点使得轴上取三点使得 123 1 0 1 zzz 它们依次对应于它们依次对应于轴上点轴上点 11i 它们依次对应于它们依次对应于u 轴上轴上三三点点 123 1 1 wwi w 并且并且与与的环绕方向相同的环绕方向相同 于是所求的分式线性映射为于是所求的分式线性映射为 并且并且与与的环绕方向相同的环绕方向相同 123 zzz 123 www 于是所求的分式线性映射为于是所求的分式线性映射为 1111 11wz 1111 11 10 10 wz wiiz iz w 化简可得化简可得 1 iz w 注注同样同样 如果选取其他对不同点如果选取其他对不同点 也能求出也能求出注注同样同样 如果选取其他如果选取其他三三对不同点对不同点 也能求出也能求出 满足要求满足要求 但形式不同的的分式线性映射但形式不同的的分式线性映射满足要求满足要求 但形式不同的的分式线性映射但形式不同的的分式线性映射 方法二方法二方法二方法二 解 实轴映射成单位圆周解 实轴映射成单位圆周 设上半平面中的点设上半平面中的点 z 映射成圆心映射成圆心w 0 由保对称性和由保对称性和 边界对应原理边界对应原理 关于实轴的对称点映射成关于实轴的对称点映射成w 0关于的对关于的对 1w y wv 称点称点z z y Ox Ou 则所求映射为则所求映射为其中其中k是待定常数是待定常数 由由 z wk 则所求映射为则所求映射为其中其中k是待定常数是待定常数 由由 wk z 于于映射成映射成上的点上的点 所以所以0z 1w 于于映射成映射成上的点上的点 所以所以0z1w 0 1kkk 1 0 kkk 设设为实数为实数则则 i i z 设设 为实数为实数 则则 i ke Im0 i z we z 上半平面映为单位圆内部的分式线性映射一般形式上半平面映为单位圆内部的分式线性映射一般形式 说明说明 取取时时 3 zi 与方法相同与方法相同 说明说明 取取时时 3 2 i 1 zi w iz zi 与方法与方法一一相同相同 取时取时 0i zi w zi 例例5求把上半平面求把上半平面映射成圆域内部映射成圆域内部Im0z 例例5 求把上半平面求把上半平面映射成圆域内部映射成圆域内部Im0z 0 wwR 的分式线性映射的分式线性映射 使使 0 0 w iww i 解由例解由例4中的解法二可知 映射中的解法二可知 映射 i zi e zi 为实数为实数 把上半平面映射成单位圆内部把上半平面映射成单位圆内部Im0z 1 再作相似映射与平移映射 得再作相似映射与平移映射 得 z 1 w 0 w R O O O i zi 00 e i zi wRwRw zi 这样这样 映射成且映射成且 1 0 wwR 0 w iw 因为因为 2 ei i w zR 2 e w zR zi 再由已知条件再由已知条件可见可见即即 0i i i 再由已知条件再由已知条件可见可见即即 0 w i i ei 2 所以要求的分式线性映射是所以要求的分式线性映射是所以要求的分式线性映射是所以要求的分式线性映射是 zi wRiw 0 wRiw zi 例例6求把单位圆内部求把单位圆内部映射成单位圆内映射成单位圆内1z 3 单位圆内部映射到单位圆内部单位圆内部映射到单位圆内部 例例6求把单位圆内部求把单位圆内部映射成单位圆内映射成单位圆内1z 部的分式线性映射部的分式线性映射 1w w vy z 1 a a OuO x 解 在内取一点解 在内取一点z1 设设z1的像为的像为w1 0 1z 1 因为因为z1 关于圆周的对称点是关于圆周的对称点是1z 2 1 z 而条件而条件 y z 1 w v z a a O x a Ou 要求要求分式线性映射把分式线性映射把映射成映射成所以根据所以根据11要求要求分式线性映射把分式线性映射把映射成映射成所以根据所以根据1z 1 w 分式线性映射的保对称性分式线性映射的保对称性映射成映射成w 0关于关于 1 z 分式线性映射的保对称性分式线性映射的保对称性 映射成映射成w1 0关于关于 2 z 1w 的对称点的对称点w 这样的分式线性映射为这样的分式线性映射为1w 的对称点的对称点 2 w 这样的分式线性映射为这样的分式线性映射为 1 zz wkk 1 1z z 其中其中是复常数是复常数 kk 其中其中是复常数是复常数kk 容易验证容易验证 当时当时 1z 1 1 z z 1z 因为映射成所以当时因为映射成所以当时 1z 1 w 1z 1 1 z kkw z 1z 设设 为实数为实数 则所求的分式线性映射为则所求的分式线性映射为 i ke 1 i z we z 为实数为实数 1z 注注 旋转映射旋转映射 为实数为实数 也满足要求也满足要求 但但 i we z 它是平凡的它是平凡的 没有实际意义没有实际意义 例例7求把单位圆内部求把单位圆内部映射成单位圆内映射成单位圆内1z 例例7求把单位圆内部求把单位圆内部映射成单位圆内映射成单位圆内1z 部的分式线性映射 且部的分式线性映射 且1w 0 2 i f arg 22 i f 2 fg 22 f i z we 为实数为实数 解解 分式线性映射为分式线性映射为 1 we z 为实数为实数 解解 分式线性映射为分式线性映射为 只有只有 复数复数 实数实数 两个未知量两个未知量 故故只有只有 复数复数 实数实数 两个未知量两个未知量 故故 只需要只需要3个实数对应的条件 个实数对应的条件 ii i z 0 22 ii f 2 1 i z wf ze i z 2 z 4 232 i i fe 2 2 zi wf z i 2322 f zi 4 其它需要用到分式线性映射的保形映射其它需要用到分式线性映射的保形映射 例例8 求一个分式线性映射求一个分式线性映射 把由两圆周把由两圆周 39 816CzCz 12 39 816CzCz 所围成的偏心圆环域所围成的偏心圆环域D映射成中心在映射成中心在w 0的同心圆的同心圆 环域环域G 且使其外半径为且使其外半径为1 y 2 C z v w 1 C 2 C D 1 2 G xOuO 解解 设所求分式线性映射把设所求分式线性映射把z平面内两点平面内两点z1和和z2解解 设所求分式线性映射把设所求分式线性映射把z平面内两点平面内两点z1和和z2 分别映射成分别映射成w平面内的平面内的w1 0和和w2 由于由于w1和和w2同同 同时关于同心圆环域同时关于同心圆环域G 的两个边界圆周对称的两个边界圆周对称 由分由分 式线性映射的保对称性式线性映射的保对称性 z1和和z2 应同时关于圆周应同时关于圆周C1 称称此此应在应在的连线的连线和和C2对对称称 因因此此 z1和和z2 应在应在C1和和C2的的圆心圆心连线连线上 上 即在实轴上即在实轴上 设设根据对称性根据对称性 zxzx 即在实轴上即在实轴上 设设根据对称性根据对称性 1122 zxzx 1212 3 3 81 8 8 256 xxxx 1212 解方程得解方程得 或或 12 0 24xx 12 24 0 xx 下面只考虑的情形下面只考虑的情形 12 0 24xx 这时于是这时于是所求所求的的分式线分式线 0 0 24 ww 所求分式线所求分式线 性映射的形式为性映射的形式为 24 z wk z k为复常数为复常数 由由可知可知圆周圆周映射成外边界映射成外边界 1 因为因为z 0在和的内部在和的内部 1 39Cz 2 816Cz 由由可知可知圆周圆周C2映射成外边界映射成外边界 0 0w 1 w 在在C取取则则于是于是24z 24 1w 在在C2取取则则于是于是24 z 24 1 w 24 24 1wk 24 1 2424 wk 2z 由此可得即由此可得即 为实数为实数 2 i ke 2 24 i z we z 现讨论在z平面内两个圆 或直线 即半径无穷大的两个圆 或直线 即半径无穷大的 圆圆 相交所包围的区域相交所包围的区域的映射情况 根据前面的讨论可知圆圆 相交所包围的区域相交所包围的区域的映射情况 根据前面的讨论可知 I 当二圆周上没有点映射成无穷远点时当二圆周上没有点映射成无穷远点时 这二圆周的弧这二圆周的弧 所围成的区域映射成二圆弧所围成的区域所围成的区域映射成二圆弧所围成的区域 II 当二圆周上有一个点映射成无穷远点时当二圆周上有一个点映射成无穷远点时 这二圆的这二圆的 所围成的区域映射成二圆弧所围成的区域所围成的区域映射成二圆弧所围成的区域 弧所围成的区域映射成一圆弧与一直线所围成的区域弧所围成的区域映射成一圆弧与一直线所围成的区域 III 当二圆周交点中的一个映射成无穷远点时当二圆周交点中的一个映射成无穷远点时 这二圆 周的弧所围成的区域映射成角形区域 这二圆 周的弧所围成的区域映射成角形区域 当一条直线和圆周相切时 且交点映射到无穷远 当一条直线和圆周相切时 且交点映射到无穷远 点时点时则此区域映射成两条平行线组成的带形区域则此区域映射成两条平行线组成的带形区域点时点时 则此区域映射成两条平行线组成的带形区域则此区域映射成两条平行线组成的带形区域 例 中心在 z 1 与 z 1 半径为2的二圆弧所 围区域 在映射 zi w i 下映射成什么区域 zi i y i z 1 x 1O i C1 C2 i 解 所设的两个圆弧的交点为 i与i 且相互正交 交点 i映射成无穷远点 i映射成原点 因此所给的 区域经映射后映射成以原点为顶点的角形区域 张 角等于 2角等于 2 21C取与正实轴的交点对应点是 1 21 21 12 12 22 Cz ii 取与正实轴的交点对应点是 21 12 12 22 222122 ii wi i 此点在第三象限的分角线C1 上 由保角性知C2 映射为第二象限的分角线C2 映射的角形区如图所示映射的角形区如图所示 y v i y z v w C2 x 1 1O O u C1 C2 C1 O i C1 例9 求把下图中由圆弧C2与C3所围成的交角为 的 月牙域映射成角形域 0 arg w 0 的一个映射 w z i 0 C1C2 0 O 1O i w z w CC z i 0 C1C2 iz iz ew i 2 0 O 1O i iz i 0 e i w O iz i 1O1 解 令C1 C2的交点z i与z i分别映射成 平面中的 0与 将所给牙域映射成 平面中的角域的映射是具有 将所给月牙域映射成 平面中的角形域的映射是具有 以下形式的分式线性函数 以下形式的分式线性函数 iz k 其中其中k为待定的复常数为待定的复常数 iz k 其中其中k为待定的复常数为待定的复常数 1 111 i zkikki 令111 1 zkikki i zi 令 1 zi iC zi 这样就把映射成 平面上的正实轴 根据保角性 所给的月牙域映射成角形域 0 2 0arg i i zizi 根据保角性 所给的月牙域映射成角形域 由此得所求的映射为 0 0 2 i zizi wiee zizi 由此得所求的映射为 例例 求求把把映射成映射成 1 Im1Dz zz zi w i 例例 求求把把映射成映射成 什么样的区域什么样的区域 zi 什么样的区域什么样的区域 z i w 1 zi z zi O D 1O 6 5 指数函数与幂函数所确定的映射 6 5 指数函数与幂函数所确定的映射 1 幂函数构成的映射幂函数构成的映射 2 指数函数与对数函数构成的映射指数函数与对数函数构成的映射指数函数与对数函数构成的映射指数函数与对数函数构成的映射 1 1指数函数与对数函数指数函数与对数函数1 1 指数函数与对数函数指数函数与对数函数 构成的映射构成的映射 指数函数在全平面解析指数函数在全平面解析 且处且处 z we zz ee 处不为零处不为零 因此因此 它是全平面上的保角映射它是全平面上的保角映射 设则设则 i zxiy we ix iyx ix iyx weeey z w 1 0 x z O 1 0 xx 0 x we O O x0 z w 0 xx 0 x we 2 i O O x0 0 0 we 2 i O x0 0 0 2xxy z w 2 0 y O z O 0 yy 0 argwy 0 y O O z w arg0w 0 O O 0y 0 3 设设 12 02 yy z we 角形区域角形区域 we 双方单值双方单值 带形区域带形区域 12 Imyzy 角形区域角形区域 12 argywy 双方单值双方单值 w z 2 argwy 12 yy 2 yy 1 argwy 2 gy O O 1 yy w z 2 yy 2 argwy O O 1 0yy 1 argowy 特殊情形特殊情形 z we 方单值方单值 带形区域带形区域 0 上半平面上半平面Im0w 0argw z w i 双双方单值方单值0Imz 0argw i OO z we 0Im2z 平面从原点沿正平面从原点沿正 双方单值双方单值 0Im2z 平面从原点沿正平面从原点沿正 实轴有割痕区域实轴有割痕区域 z w i 2 0arg2w O O 若将带形区域映射成角形区域若将带形区域映射成角形区域 一般应用指数函数一般应用指数函数 例例1 求把带形区域映射成单位求把带形区域映射成单位0Imz 圆内部的双方单值保角映射圆内部的双方单值保角映射 1w w z i w O O 解解 z e i w i O z ei 因此所求映射为因此所求映射为 z ei w ei 例例2 求映射把如图所示的半带状域映成上半单位圆 求映射把如图所示的半带状域映成上半单位圆 i z z i i t i w te wt 1 1 i 1 1 z we we 例例3 求把带形域求把带形域a Re z 0 的个的个 映射映射 z s sz a tis Im w 0 的的一一个个 映射映射 t z s t O a bOb aO w i w i t ba w e O O i i z a b a we 区域区域上上指数函数的反函数指数函数的反函数是是对数对数I区域区域上上指数函数的反函数指数函数的反函数是是对数对数Imz 函数主值函数主值在复平面除去原点与负实轴的区在复平面除去原点与负实轴的区l函数主值函数主值在复平面除去原点与负实轴的区在复平面除去原点与负实轴的区ln wz 域域内内因此因此 1 域域D内内 因此因此 1 ln0 z z y D 是是 上的保角映射上的保角映射 l xo D 是是D上的保角映射上的保角映射 lnwz 对数函数可以把对数函数可以把角形区角形区对数函数可以把对数函数可以把角形区角形区 域映射成带形区域域映射成带形区域域映射成带形区域域映射成带形区域 lnwz 带形区域带形区域 上半平面上半平面Im 0z 双方单值双方单值 带形区域带形区域 0Imw 上半平面上半平面Im 0z 0argz w z i O O 0Im2z 平面从原点沿负平面从原点沿负 实轴有裂痕区域实轴有裂痕区域 lnwz w 实轴有裂痕区域实轴有裂痕区域 双方单值双方单值 z w i 2 argw z O O 2 2幂函数构成的映射幂函数构成的映射2 2 幂函数构成的映射幂函数构成的映射 幂函数在全平面解析 且幂函数在全平面解析 且 n wz 1 d d n w nz z dz 如果如果则则故该映射在故该映射在点处处点处处0 z d 0 d w 0z 如果如果则则故该映射在故该映射在点处处点处处 dz 保角保角 设则在映射下设则在映射下 ii zrewe n wz n rn 由此可见由此可见 映射把映射把z平面上以原点为起点平面上以原点为起点 n wz 的射线映射成的射线映射成w平面上的射线特别平面上的射线特别 0 0 n 地地 把正实轴映射成正实轴因此把正实轴映射成正实轴因此 arg0z arg0 w 2 映射将角形区域映射成角映射将角形区域映射成角 n wz 0 2 0 n w 形区域形区域 0 0n n w z 0 0 n OO 特殊情况特殊情况 特殊情况特殊情况 角形区域角形区域 2 0 n wz 角形区域角形区域02 w z 角形区域角形区域0 n 角形区域角形区域 O n 2 上岸上岸 O O n 沿正实轴割开的沿正实轴割开的 平面平面 下岸下岸 沿正实轴割开的沿正实轴割开的w平面平面 映射成正实轴的上岸映射成正实轴的上岸 0 0 映射成正实轴的上岸映射成正实轴的上岸 0 2 映射成正实轴的下岸映射成正实轴的下岸 2 2 n 映射成正实轴的下岸映射成正实轴的下岸 2 n wz 角形区域角形区域0argz n 上半平面上半平面0argw z w O n OOO 同时同时 把把z平面上的圆周平面上的圆周映射成映射成w n wz zr 同时同时 把把z平面上的圆周平面上的圆周映射成映射成wwzz 平面上的圆周平面上的圆周 n wr 在区域内在区域内 是双方是双方 0 2 0argz n n wz n 单值的保角映射单值的保角映射 用类似的方法可以讨论用类似的方法可以讨论它也是把角形它也是把角形 1 n 用类似的方法可以讨论用类似的方法可以讨论它也是把角形它也是把角形 n wz 区域映射成角形区域的映射区域映射成角形区域的映射 不同点只是角形区域不同点只是角形区域区域映射成角形区域的映射区域映射成角形区域的映射 不同点只是角形区域不同点只是角形区域 的顶角变成原来顶角的的顶角变成原来顶角的 1 实际上它是的逆实际上它是的逆 n wz n 映射映射 z w 0 O 0 n OOO 若将角形区域映射成角形区域若将角形区域映射成角形区域 一一般应用幂函数般应用幂函数 若将角形区域映射成角形区域若将角形区域映射成角形区域 般应用幂函数般应用幂函数 例例1求把角形区域求把角形区域映射成单位映射成单位0argz 例例1 求把角形区域求把角形区域映射成单位映射成单位0arg 4 z 圆内部圆内部的双方单值保角映射的双方单值保角映射 1w 圆内部圆内部的双方单值保角映射的双方单值保角映射 w z w 4 O 解解i O O 解解 4 z i i w O 4 zi 因此所求映射为因此所求映射为 4 z w zi 因此所求映射为因此所求映射为 例例2求把在单位圆求把在单位圆的内部的内部 从原点沿正从原点沿正1z 例例2 求把在单位圆求把在单位圆的内部的内部 从原点沿正从原点沿正1z 实轴的半径上有割痕的区域实轴的半径上有割痕的区域 即在单位圆内去即在单位圆内去1z 掉掉 映射成单位圆内部的映射成单位圆内部的Im0 0Re1zz 1w 双方单值保角映射双方单值保角映射 z w OO OO 解解 1 1 2 1 1 z z z z1 O z2 2 1 zz 2 1 1z O O zi z4 w 32 zz 2 43 zz 4 4 zi w zi z3 z4 O O O O 1 22 22 11 22 11 11 zz wii 11 22 11zz 例例3求把和的公共求把和的公共32z 32z 部分映射成上半平面的双方单值保角映射部分映射成上半平面的双方单值保角映射 z w i z w i O O 解解圆圆和和交于两点交于两点32z 32z i 解解圆圆和和交于两点交于两点32z 32z i 并且交角等于并且交角等于因此因此映射映射把把与与 zi i并且交角等于并且交角等于因此因此 映射映射把把与与 3 1 z zi zi i分别映射成分别映射成平面上的原点和无穷远点平面上的原点和无穷远点 而而zi 分别映射成分别映射成平面上的原点和无穷远点平面上的原点和无穷远点 而而 1 z 将所给区域映射成以原点为顶点的角形区域将所给区域映射成以原点为顶点的角形区域 且顶且顶将所给区域映射成以原点为顶点的角形区域将所给区域映射成以原点为顶点的角形区域 且顶且顶 角等于角等于当当0时时应在角形区域的平分线应在角形区域的平分线 1角等于角等于当当z 0时时 应在角形区域的平分线应在角形区域的平分线 3 1 1z 上上 所以负实轴为该角形区域的角平分线所以负实轴为该角形区域的角平分线 于是该于是该上上 所以负实轴为该角形区域的角平分线所以负实轴为该角形区域的角平分线 于是该于是该 角形区域为角形区域为角形区域为角形区域为 57 argz 1 arg 66 z z 1 z i1 zi z zi O i O 5 6 i zez 21 zez w 2 z O 3 2 wz O 3 O 33 5 2 i zizi i 2 wei zizi 例例4求