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北京理工大学2009-2010学年第一学期2009级硕士研究生矩阵分析终考试题一、（10分）设为 3维线性空间上的一个线性变换，已知在基下的矩阵表示为 （1）求在基下的矩阵表示；（2）求的核与值域。解：（1）令，则，；设在基下矩阵表示为，则。（2）令且，则，即求，其基础解系为；故的基为，即。值域为二、（10分）已知Hermite二次型求酉变换并将化为标准形的Hermite二次型。解：由题设，其中其特征多项式，故；当时，特征矩阵所以属于的单位特征向量。当时，特征矩阵所以属于的单位特征向量为，。令，得。三、（15分）求矩阵的奇异值分解表达式。解： ，其特征值为，所以的奇异值为，故，。当时，特征矩阵所以属于的单位特征向量为。当时，特征矩阵所以属于的单位特征向量为取，所以。由的零特征值对应的次酉矩阵，所以故。四、（10分）设为一个型的复矩阵，证明：矩阵的谱范数为酉不变范数，即对任意的阶酉矩阵和任意的阶酉矩阵都有。证明：由于与酉相似，所以它们谱相同，故所以。五、（15分）已知矩阵，这里表示3阶单位矩阵，（1）求证：矩阵幂级数绝对收敛；（2）求矩阵幂级数的收敛和。（1）证明：由得，。又，所以收敛半径，所以。所以矩阵幂级数绝对收敛。（2）由于，所以。六、（20分）分别求下列矩阵的矩阵函数和。（1）（2）解：（1）当时， ；故。当时，；故。（2）的Jordan标准形为令，由，可得，。由得，取；由得，取；由得，取。故，所以当时， ；故。当时，；故。七、（10分）设为一个复数，为一个阶复矩阵，证明：证明：设，则而所以八、（5分）已知函数矩阵计算。（2010级不考）九、（5分）已知不相容线性方程组求其最佳最小二乘解。解：系数矩阵所以其满秩分
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