高中数学 第一章 推理与证明 1.4 数学归纳法 1.4.2 数学归纳法的应用课件 北师大版选修22.ppt

第2课时数学归纳法的应用 1 巩固用数学归纳法证明数学命题的方法和步骤 2 会用数学归纳法证明不等式问题 整除问题以及几何问题 数学归纳法 1 应用范围 作为一种证明方法 用于证明一些与正整数有关的数学命题 2 基本要求 它的证明过程必须是两步 最后还有结论 缺一不可 3 注意点 在第二步归纳递推时 从n k到n k 1时必须用上归纳假设 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 反思对于与正整数有关的不等式的证明 如果用其他方法证明比较困难 可考虑使用数学归纳法证明 使用数学归纳法的难点在第二个步骤上 这时除了一定要运用归纳假设外 还要较多地运用不等式证明的其他方法 对所要证明的不等式加以变形 寻求其与归纳假设的联系是解决问题的突破口 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 a2 a 1 例2 设a n n n 用数学归纳法证明 an 2 a 1 2n 1能被整除 分析 用数学归纳法证明整除问题 一是注意分析出n k时的假设式 二是注意通过分解因式凑出整除 题型一 题型二 题型三 证明 1 当n 1时 a3 a 1 3 a a 1 a2 a a 1 a 1 2 2a 1 a2 a 1 故当n 1时 结论成立 2 假设当n k k 1 k n 时 结论成立 即ak 2 a 1 2k 1能被a2 a 1整除 则当n k 1时 a k 1 2 a 1 2 k 1 1 a ak 2 a 1 2 a 1 2k 1 a ak 2 a 1 2k 1 a 1 2 a 1 2k 1 a a 1 2k 1 a ak 2 a 1 2k 1 a2 a 1 a 1 2k 1 因为ak 2 a 1 2k 1和a2 a 1均能被a2 a 1整除 且a n 所以当n k 1时 结论成立 根据 1 和 2 可知原结论成立 题型一 题型二 题型三 反思应用数学归纳法证明整除问题时 关键是 凑项 采用增项 减项 拆项和因式分解等方法 也可以说将式子 硬提公因式 即将n k时的项从n k 1时的项中 硬提出来 后面的式子相应变形 使之与n k 1时的项相同 从而达到利用归纳假设的目的 题型一 题型二 题型三 变式训练2 用数学归纳法证明 对于任意非负整数n an 11n 2 122n 1能被133整除 证明 1 当n 0时 a0 112 12 133 命题成立 2 假设当n k k 0 k z 时命题成立 即ak 11k 2 122k 1能被133整除 则当n k 1时 ak 1 11k 3 122k 3 11 11k 2 122 122k 1 11 11k 2 11 122k 1 122 11 122k 1 11 11k 2 122k 1 133 122k 1 能被133整除 即当n k 1时命题成立 根据 1 和 2 可知对于任意非负整数n命题都成立 题型一 题型二 题型三 例3 有n个圆 其中每两个圆都相交于两点 并且每三个圆都不相交于同一点 求证 这n个圆把平面分成f n n2 n 2个部分 分析 由n k到n k 1时 研究第 k 1 个圆与其他k个圆的交点个数问题 题型一 题型二 题型三 证明 1 当n 1时 即一个圆把平面分成2个部分 f 1 2 又当n 1时 n2 n 2 2 即命题成立 2 假设当n k k 1 k n 时 命题成立 即k个圆把平面分成f k k2 k 2个部分 若将第 k 1 个圆记作 o 由题意 知它与k个圆中每个圆交于两点 又无三圆交于同一点 于是它与其他k个圆相交于2k个点 把 o分成2k条弧 而每条弧把原区域分成2部分 因此这个平面的区域个数增加了2k个部分 即f k 1 k2 k 2 2k k 1 2 k 1 2 即当n k 1时命题成立 根据 1 和 2 可知命题对任何n n 均成立 题型一 题型二 题型三 反思1 用数学归纳法证明几何问题 关键在于分析由n k到n k 1的变化情况 即分点 或顶点 增加了多少 直线的条数 或划分区域 增加了多少 或几部分 等 2 几何问题的证明 一要注意数形结合 二要注意有必要的文字说明 题型一 题型二 题型三 变式训练3 平面上有n条抛物线 其中每两条都相交于两点 并且任意三条都不相交于同一点 求证 这n条抛物线把平面分成f n n2 1部分 题型一 题型二 题型三 证明 1 当n 1时 即有一条抛物线 它把平面分成两部分 因为f 1 12 1 2 所以当n 1时命题成立 2 假设当n k k 1 k n 时 命题成立 即k条抛物线把平面分成 k2 1 部分 则当n k 1时 在k条抛物线的基础上增加了1条 按题目条件 新增加的这条抛物线与原来k条抛物线有2k个交点 2k个交点把新增抛物线分成 2k 1 段 各段把平面一分为二 所以平面增加了 2k 1 部分 故f k 1 f k 2k 1 k 1 2 1 即当n k 1时命题成立 根据 1 和 2 可知命题对任意n n 都成立 12345 1用数学归纳法证明3n n3 n 3 n n 第一步应验证 a 当n 1时不等式成立b 当n 2时不等式成立c 当n 3时不等式成立d 当n 4时不等式成立解析 由题知n的最小值为3 所以第一步验证当n 3时不等式成立 选c 答案 c 6 12345 2用数学归纳法证明时 由n k k 1 k n 时不等式成立 推证n k 1时不等式成立 左边应增加的项数是 a 2k 1b 2k 1c 2kd 2k 1解析 增加的项数为 2k 1 1 2k 1 2k 答案 c 6 12345 3 用数学归纳法证明 当n为正奇数时 xn yn能被x y整除 的第二步是 a 假设n 2k 1 k n 时命题正确 再推n 2k 3时命题正确b 假设n 2k 1 k n 时命题正确 再推n 2k 1时命题正确c 假设n k k n 时命题正确 再推n k 1时命题正确d 假设n k k 1 k n 时命题正确 再推n k 2时命题正确答案 b 6 12345 6 12345 解析 在从n k推证n k 1不等式成立时 必须用到归纳假设 而上述证法没有用归纳假设 答案 没有用归纳假设 6 12345 6 12345 6 6 证明 对一切正整数n 5n 2 3n 1 1能被8整除 证明 1 当n 1时 5n 2 3n 1 1 8 显然能被8整除 即n 1时 结论成立 2 假设当n k k 1 k n 时 结论成立 即5k 2 3k 1 1能被8整除 设5k 2 3k 1 1 8m m n 则当n k 1时 5k 1 2 3k 1 5 5k 2 3k 1 1 4 3k 1 4 5