2008年全国高中数学联赛(A卷)一试试题解答集锦.pdf

垒国 裔曦 蝴 卷 谶 陕西 省 数学 竞赛 委 员会 刘康 宁 陕西师范大学数学与信息科学学院 李三平 今年的全国高中数学联赛 由中国数学会 主办 重 庆市数学竞赛委员会协办 试卷仍分为一试和加试两 部分 与往年不同的是 考虑到各省市教育发展的不 均衡 试题分为 A卷和 B卷两种类型 下面给出 A卷 一 试试题 的解答 本文称之为基本解法或改进解法 和一些巧思妙解 仅供参考 一 选择题 本 题 满分 3 6分 每 小题 6分 1 函数 z 一 在 一 2 上的最小 厶 值是 A 0 B 1 C 2 D 3 基本 解法 z 0 f x 一 一 2 当且仅 当 一2 一z 即 一1时 上式取等号 故函数 厂 z 的最小值为 2 选 C 巧 思 妙 解 一 兰 塾 等 x 1 x 3 一 一 二 z z 当x l 时 厂 z o 当 l x 0 即 厂 z 在 一 1 上是减 函数 在 1 2 上是增 函数 故E f x i 厂 1 一2 选 C 2 设 A一 一2 4 B z l z 一n z 一4 0 若 B A 则实数 a的取值范围为 A 一1 2 B 一1 2 C E o 3 3 D E o 3 改进解 法 A a 1 6 0 B 0 设 厂 z 一lz 一以 z 一4 则由 B A 得 f厂 4 2一 1 2 2 a 4 0 解得 口 3 1 所 以 6 9 若 一 6 则 z 6 一 5 8 由b z 妻 一 2 9 得 6 6 而 6 c 一6 所 以 6 6 此 时 a 一2 2 无 解 若 f 一7 则 口 6 4 5 有唯一解 以 一3 6 6 若 c 一8 则 口 6 一3 0 无正整数解 若 c 一9 则 a 6 一1 3 有唯一解 a 一2 6 3 故 V1 3 6 7 一5 8 6或 V2 2 3 9 一 7 6 4 选 A f z y 2 0 5 方程组 x y z 一0 z j z O 的有理数解 z y 的个数为 A 1 B 2 C 3 D 4 改进解法 由 得 一0或 z 一一1 若 一0 则由 得 三 解 得 或 若 0 一一1 则 由 消去 得 一1 一 一 1 一 0 当 一1时 z一一1 则 由 得 一0 矛盾 当Y 一 一1 0 不妨设 Y 一 口 6 一1 n b N 则 b 一n n 6 因为 口 6 一1 所 以 b l 口 6 从 而 b 1 n 矛盾 故 方程 Y 一Y一1 0无 有理 数解 综上所述 原方程组仅有两个有理数解 0 0 0 和 一1 1 O 应选 B 6 设AAB C的 内角 A B C所对 的边 a b C成 等 比 数 列 则 s i n A c o t C干 c o s A 的 取 值 范 围 是 A O B 71 c q rff 2 1 D 改进 解 法 设 等 比数列 日 b r的公 比为 口 则 b aq c a q 由三角形三边不等关系 得 q 或 0 q q 口 解得 1 g 或 q 1 掣 q 掣 s i n Ac o t C C O S A s i n Bc o t C上 C OS B s i n AC OS C C OS A s i n C 一 s i n BC OS C C OS B s i n C s i n A C s i n s i n B C s i n B 6 一 q 故 所 求 取 值 范 围 是 4 ff 2 1 选 c 二 填 空题 本题 满分 5 4分 每 小题 9分 7 设 厂 z a T b 其 中 a b为实 数 厂 l z 一 z z 一 z 一1 2 3 若 z 一 1 2 8 x 3 8 1 则 口 6 一 基本解法 显然 n 1 由题设得 z 一 z n l 一 口 1 6 6 f 7 一1 2 8 x 3 8 1 墨2 1 6 381 解 得 6 3 故 n 6一 8 设 厂 z C O S 2 x 2 a 1 c o 的最小值为 一 寺 则 口 基本解 法 厂 一2 c o s z一 1 2 a 1 C O S z 一 2 c s z 一 号 一 一 2 n 当 一1 即 口 l 即 a 2 则 当 c o s z 一1时 厂 z 取得最 小值为 1 4 口 由 1 4 n 一一 1 得 n 一 詈 0 有且仅有三个公共点 交点的横坐标 的 图 A G 求 如 体 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 一 最大值为 求证 五 C O S G 改 进 解 法 易 知 f z 一 I s i n zl 是 最 小 正 周 期 为 丌 的周期 函数 直线 Y k x与 函数 厂 z 一1 s i n zl 在一个周 期内最多有两个公共点 1 d 0 4a 幽 3 轴上方 其 坐 标 为 2 t 2 t t 0 过 点 P 作 圆 x 1 一1的切线交 y轴于点M O m 则切线 I 方 程 为 P M 一 2 t m z 即 2 t m z一 2 2 t 一 0 由圆心 1 0 到切线 P M 的距离等于半径 1 得 直线 y k x与 厂 z 的图象有且仅有三个公共 点 直线 y k x与 z 在 7 c 2 兀 内相切 其切点 T 的坐标为 T a 一s i n a a 7 c 2 丌 f z 一一C O S a 惫 一 C O S n 又点 T a 一s i n 在直线 一 X C O S 0 上 一 s i n口 一 O C O S 且 口a t a n 故 一 一 一 COS COS 口 一 一 一 s i n a s i n 3 a 1 4 解 不等式 l o g 2 z 3 x 5 x 3 x 1 1 l o g 2 z 1 基本解法 1 原不等式等价于 z 3 z 5 3 z 1 2 z 1 即 3 z 5 z 3 Lz 一 2 x 一 I 0 将上式左边分解因式 得 z z 一1 z 2 x 4 x 1 O z z z I 0 解得 z z 故 原 不 等 式 的 解 集 为 j 基本解法 2 原不等式等价于 z 3 z 5 z 3 z 1 z 3 x 3 x l 2 x 2 一 z 1 2 z 1 亦 即 2 3C 2 1 2 X 2 1 令 厂 一 2 t 则 厂 厂 z 1 易知 厂 一 2 t 在 R上是增函数 则有 i z 1 即 z z 一 1 0 下同基本解法 1 注意 本题原标准答案有误 1 5 如图 4 P是抛物线 Y 一 2 z上的动点 点 B C在 Y轴上 圆 X一 1 y 一 1 内 切 于 P B C 求 PB C 面 积 的 最 小值 改 进解 法 不 妨 设 点 P 在 z 一 D C 图 4 l 2 2 t mI 2 t 一 4 整理 得 1 f 一1 m 一O 当 一1时 切线 P M 与 Y轴平行 不合题意 当 0 l时 由 得 m一 或 m一 B 0 南 c o 故 S A e B C 一 1 I B cI 2 2 t 一 1 1 1 t 2 t 4 一 1南一 l 2 一 一 一几 V 7 即 一 时 S A P B C 取得最小值为 8 巧 思妙解 设 P z Y O B O 6 C o c 6 0 c 0 则直线 P B的方程为 一 Yo b z 6 即 b x x y b x 一O 由圆心 1 0 到直线 P B的距离等于半径 1 得 l 二垒 一 整理 得 一2 b 2 y b x O 同理 可得 z o 2 c 2 y o C T o 0 易知 z o 2 b和 一c是方 程 z o 一2 2 y 0 T t z 一 的两个根 则 6 一c 一 2 y o 一 一 6 c H4 一 4 4 X二o X o 2