2012年高考部分数学试题解法集锦.pdf

年高考部分数学试题解法集锦 江苏省苏州市第一中学 蔡玉书 整理 安徽卷理 设 的内角 所对的边的长分别是 则下列命题正确的 是 写出所有正确命题的序号 若 则 若 则 若 则 若 则 则 分析 对于 由余弦定理和基本不等式得 而 在 上单调递减 所以 对于 由余弦定理和基本不等式 得 而 在 上单调递减 所以 对于 显然是 的最大边 所以 得 檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶檶 设 为实数 为正数 记 证明 证明 当 为非负数时成立 槡 槡 这个结果还可以推广到 个非负数的情况 设 且有 证明下列不等式成立 提示 将要证的不等式左边平方 然后利用 与因式分解 用两种不同方法证明几何平均值 调和 平均值不等式 若 则有 以下是有关阶乘 的几个不等式 它们 都可以从平均值不等式得到 证明 当 时 成立 利用 证明 当 时 槡 成立 比较 和 中两个不等式的优劣 并 说明原因 设 为正整数 证明 槡 槡 不 等 式 的 推 广 之 一 设 且同号 证明 参考文献 谢惠民 恽自求 易法槐 钱定边 数学分析习题课 讲义 北京 高等教育出版社 贝肯巴赫 贝尔曼著 文丽译 不等式入门 北 京 北京大学出版社 哈代 李特伍德 波利亚著 越民义译 不等式 北京 人民邮电出版社 中学数学月刊 年第 期 由余弦定理 得 所 以 即 是锐角三角形 对于 由 得 槡 所以 由 得 对于 由 得 也有 由 得 综上 正确的是 本题由安徽省临泉第二中学 郭辉 提供 北京卷理 已知 若同时满足条件 或 则 的取值范围是 分析 根据 可解得 由于 或 成立 导 致 在 时 必须是 的 因此 的开口必须向下 且此时两个根为 为保证条件 成立 需要 烅 烄 烆 又 故结果为 又 得 时 恒成立 因此就需 要在这个范围内 有取正数的可能 即 应 该比 中的小根大 当 时 小根 不 成立 当 时 有两相等根 此时不成 立 当 时 得 综上可知 说明 本题考查学生函数知识的综合能力 涉及到二次函数图象的开口 根的大小 涉及到指 数函数的单调性 更涉及到简易逻辑中的 或 是 典型的 小题大做 福建卷理 数列 的通项公式 前 项和为 则 分析 根据 的周期性 前 项的所 有奇数项为 奇 个偶数项依次为 发现依次相邻两 项的和为 所以 偶 福建卷理 对于实数 定义运算 设 且关于 的方程为 恰有三个互不相等的实数根 则 的取值范围是 分析 当 时 则 当 时 则 画图可知 当 时 恰有三个互不相等的实数根 其中 是方程 的根 是方程 的根 则 槡 所以 槡 显然上式随 的增大而减小 当 时 当 时 槡 所以 当 时 的 取 值 范 围 是 槡 说明 本题新定义一个运算 实际上定义一 个分段函数 作出图象是解决问题的第一步 考虑 单调性是解决问题的关键 图 湖北卷理 如图 在圆心角为直角的扇形 中 分别以 为直径作 两个半圆 在扇形 内随机 取一点 则此点取自阴影部分 的概率是 分析 不妨设 扇形 为对称图 形 围成面积为 含 的阴影部分面积 为 作对称轴 则过 点 即为以 为直径的半圆面积减去三角形 的面积 即 年第 期 中学数学月刊 在扇形 中 为扇形面积减去三角形 面积和 即 故 又扇形 面积 所以所求概率为 湖南卷理 已知两条直线 和 与函数 的 图象 从 左 至 右 相 交 于 点 与 函 数 的图象从左至右相交于 记线段 和 在 轴上的投影长度分别为 当 变化时 的最小值为 分析 在同一坐标系中作出 图象如图 由 得 图 由 得 依照题意得 故 因为 所以 的最小值为 槡 本题由广东佛山三水区华侨中学骆方祥 提供 图 山东卷理 如图 在平面直角坐标系 中 一单位圆的圆心的初始 位置在 此时圆上一 点 的位置在 圆在 轴上沿正向滚动 当圆滚 动 到 圆 心 位 于 时 的坐标为 分析 由题意得圆滚动了 个单位弧长 点 旋转了 弧度 此时点 的坐标为 故 分析 设滚动后圆心 为 与 轴的 切点为 根据题意此时的圆的参数方程为 且 则点 的坐标为 烅 烄 烆 即 本题由陕西省麟游县中学 韩红军 提供 全国课标卷理 数列 满足 则数列 的前 项和为 分析 对于给出递推数列的问题 在没有 更好方法之前 通常可以特值开路 写出前几项 进行归纳 再猜想一般的规律 设 由递推公式 分别令 则有 于是可知 所以 即 每连续四项之和成等差数列 所以 分析 当 为奇数时 当 为偶数时 于是 所以 分析 利用迭代法 由已知 得 中学数学月刊 年第 期 即 同理 两式相加 得 设 为整数 则 于是 说明 本题的解法一般是考虑连续 项的 和 本题由浙江省泰顺中学 林晓挺 提供 上海卷理 在平行四边形 中 边 的长分别为 若 分 别是边 上的点且满足 则 的取值范围是 图 分析 以向量 所 在 直 线 为 轴 过 点 垂 直 于 的直线为 轴建 立 平 面 直 角 坐 标 系 图 因为 所 以 槡 槡 设 槡 则 所以点 的 坐标为 所以 槡 槡 槡 槡 槡 槡 即 所以当 时 取最大值 当 时 取最小值 即 分析 由向量数量积的定义得 因为 分别是边 上的点 记 则 从而 即当 时 取最大值 当 时 取最小值 即 说明 向量处理方法通常有两种 一种是借 助于坐标 另一种是借助于平面向量基本定理 这 里解法 明显优于解法 上海卷理 如图 与 是四面 体 中互相垂直的棱 若 且 其中 为常数 则四面体 的体积的最大值是 分析 注意到 与 是四面体 中 互相垂直的棱 所以过 作 的垂面交 于 图 则 于是 只要求 面积的最大值 图 图 图 年第 期 中学数学月刊 设 则由题设 由 得 由 得 所以 即 是一个等腰三角形 设腰长为 底边长为 这时当腰长 取最 大值时 的面积取得最大值 如图 它是 一个平面图形 因为 常数 所以点 的轨迹 是一个以 为焦点 长轴长为 的椭圆 欲使 椭圆上的动点 到长轴的距离取得最大值 显然 点应在短轴顶点处 此时 点即为椭圆的中心 点 此时 又 所以 的面积 槡 槡 所 以 四 面 体 的体积的最大值是 槡 说明 本题作为上海高考填空题的最后一 题 起着压轴的作用 事实上 确实难倒了众多的 学生 难在何处 一般情况下 空间几何体的体积 的最值问题往往是底面积固定 让其高变化 从而 取得 而本题需要根据已知条件 与 是互 相垂直的棱 过其中一条棱作另一条棱所在直线 的垂面 得到的直截面作为计算体积的底面 其 次 考虑直截面面积的最大值如何取得亦非易事 首先要证明直截面是等腰三角形 故需要一定的 计算 再就是要由条件 联想到椭圆定义 实际上他们处于同一个椭 球之中 如图 以下的路就平坦了 上海文 已知 各项均 为正数的数列 满足 若 则 的值是 解 据 题 设 并 且 得到 再由 得 到 解得 槡 负值舍 去 由此得到 槡 从而 槡 说明 本题 其中 是斐波那 契数列的通项 四川卷理 设函数 是公差为 的等差数列 则 分析 由 的导数恒大于 知 是 上的增函数 又 知 的图象关于点 对称 因为数列 是公差为 的等差数列 且 结合图象知 又 是 上的增函数 且 所以 由于公 差为 所以 代入所求表达式得 出 分析 因数列是公差为 的等差数列 故 槡 令 槡 则 槡 所以 在 上单调递增 而 所以 由于公差为 所以 代入所求表达式得出 中学数学月刊 年第 期 说明 本题难度较大 需要较强的分析能 力 其中解法 要求考生知道函数 的图象关 于点 对称 解法 要求知道 槡 的单调性 本题由北京市丰台二中 甘志国提供 四川卷文 设函数 数列 是公差不为 的等差数列 则 分析 设 则 在 上单调递增 且关于点 中心对 称 由 可得 又数列 是 公差不为 的等差数列 故必有 即 四川卷理 椭圆 的左焦点 为 直 线 与 椭 圆 相 交 于 点 当 的周长最大时 的面积是 分析 直 线 与 椭 圆 相 交 于 点 槡 烄 烆 烌 烎 由椭圆的第二定义得到 所以 的周长为 槡 则 槡 令 得到 在 上单调递增 在 上单调递减 所 以当 时 的周长最大 此时 的面积为 分析 设椭圆的右焦点为 直线 与 轴交于点 则 由椭 圆定义得到 的周长 等号成立时 点 与 重合 即 此时 的面积为 说明 按分析 的方法做 理科学生可设 槡 来做 能节省时间 读者用类 似的方法可以求解文科试题 椭圆 是定值 且 槡 的左焦点为 直线 与 椭圆相交于点 的周长的最大值是 则该椭圆的离心率是 全国课标卷理 设点 在曲线 上 点 在曲线 上 则 的最小 值为 分析 函数 与函数 互 为反函数 图象关于直线 对称 函数 图象上的点 到直线 的距 离为 槡 设函数 得 易得 槡 由图 象关于直线 对称 得 最小值为槡 图 分析 函数 与 函数 互为反函数 图象关于 对称 如图 的最小值为两函数的切线 间的距离 两切线都和 平行 则两切线斜率为 求得 切点 切点 从而得两切线 方程分别为 和 则可求得两平行线间的距离为槡 说明 认识到两个图象关于直线 对称 是解决问题的关键 本题由陕西安康江北高级中学 郝安军 提供 浙江卷理 设 若 时均有 则 分析 显然 否则当 趋向于正无穷 大时 恒小于零 注意到函数 的图象都过定点 考查函数 令 得 考查函数 显然 过点 代入得 注意到 解得 全国课标卷理 已知三棱锥 的所有顶点都在球 的球面上 是边长为 年第 期 中学数学月刊 图 三棱锥的体积为 分 析 由 题 意 得 的边长为 所以 槡 在 中 所以 槡 所以三棱锥 的高 槡 所以三棱锥 的体积为 槡 槡 槡 本题由浙江慈溪三山高级中学 柴其飞 提供 分析 坐标法 以 为原点 为 轴 所 在 平 面 为 平 面 则 槡 设 则 由 得 槡 烅 烄 烆 解得 槡 槡 所以 到平面 的距离为 槡 所以 三棱锥 的体积为 槡 槡 槡 本题由吉林松原实验高中 王恩权 提供 广东卷理 设数列 的前 项和为 满足 且 成等差数列 求 的值 求数列 的通项公式 证明 对一切正整数 有 分析 易得数列 的通项公式是 下面给出