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文档简介

第三节二重积分的应用 一 立体的体积二 曲面的面积三 平面薄片的重心四 平面薄片对质点的引力五 小结 一 立体的体积 二重积分的几何意义 当被积函数大于零时 二重积分是柱体的体积 例1计算由曲面 及xoy面所围的立体 体积 解 设立体在 第一卦限上的体积为V1 由立体的对称性 所求立体体积V 4V1 立体在第一卦限部分可以看成是一个曲顶柱体 它的曲顶为 立体在第一卦限部分可以看成是一个曲顶柱体 它的曲顶为 它的底为 于是 例2求两个圆柱面 所围 的立体在第一卦限部分的体积 解 所求立体可以看成是一个曲顶柱体 它的曲顶为 它的底为 于是 立体体积为 例3求球体 被圆柱面 所截得的 含在圆柱面内的部分 立体的体积 解 显然 所求立体应在第一 第四 第五 第八卦限 而且 四个卦限部分的体积是对称相等的 因此 若设第一卦限部分的体积为V1 则所求立体的体积为 V1可以看成是一个曲顶柱体 它的曲顶为 它的底D由半圆周 及x轴围成 用极坐标系表示 于是 所求立体体积 二 曲面的面积 设曲面的方程为 如图 曲面S的面积元素 曲面面积公式为 设曲面的方程为 曲面面积公式为 设曲面的方程为 曲面面积公式为 同理可得 解 设第一卦限部分的面积为A1 则由对称性 所求的面积为 极坐标系下表示 三 平面薄片的重心 当薄片是均匀的 重心称为形心 由元素法 闭区域D的面积 解 薄片对z轴上单位质点的引力 G为引力常数 四 平面薄片对质点的引力 解 由积分区域的对称性知 所求引力为 几何应用 立体的体积 曲面的面积
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