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空间向量及其运算 平面向量 空间向量 具有大小和方向的量 具有大小和方向的量 几何表示法 几何表示法 字母表示法 字母表示法 向量的大小 向量的大小 长度为零的向量 长度为零的向量 模为1的向量 模为1的向量 长度相等且方向相反的向量 长度相等且方向相反的向量 长度相等且方向相同的向量 长度相等且方向相同的向量 定义 表示法 向量的模 零向量 单位向量 相反向量 相等向量 一 空间向量的基本概念 O A B 结论 空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内 内 成为同一平面内的两个向量 思考 空间任意两个向量是否都可以平移到同一平面内 为什么 O 说明 空间向量的运算就是平面向量运算的推广 2 凡是只涉及空间任意两个向量的问题 平面向量中有关结论仍适用于它们 平面向量 概念 加法减法数乘运算 运算律 定义 表示法 相等向量 减法 三角形法则 加法 三角形法则或平行四边形法则 空间向量及其加减与数乘运算 空间向量 具有大小和方向的量 数乘 ka k为正数 负数 零 加法交换律 加法结合律 数乘分配律 加法 三角形法则或平行四边形法则 减法 三角形法则 数乘 ka k为正数 负数 零 加法结合律 成立吗 例如 三 空间向量的数乘运算 四 空间向量加法与数乘向量运算律 加法交换律 a b b a 加法结合律 a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b b c 3 空间向量的数乘运算满足分配律及结合律 五 共线向量 零向量与任意向量共线 由此可判断空间中两直线平行或三点共线问题 中点公式 若P为AB中点 则 3 A B P三点共线的充要条件 A B P三点共线 六 共面向量 1 共面向量 平行于同一平面的向量 叫做共面向量 注意 空间任意两个向量是共面的 但空间任意三个向量 既可能共面 也可能不共面 3 空间四点P A B C共面 例1 给出以下命题 1 两个空间向量相等 则它们的起点 终点相同 2 若空间向量满足 则 3 在正方体中 必有 4 若空间向量满足 则 5 空间中任意两个单位向量必相等 其中不正确命题的个数是 A 1B 2C 3D 4 C 例2 解 设M是线段CC 的中点 则 解 设G是线段AC 靠近点A的三等分点 则 G 解 例3 已知平行六面体ABCD A1B1C1D1 求满足下列各式的x的值 例3 已知平行六面体ABCD A1B1C1D1 求满足下列各式的x的值 例3 已知平行六面体ABCD A1B1C1D1 求满足下列各式的x的值 解 例3 已知平行六面体ABCD A1B1C1D1 求满足下列各式的x的值 解 题型二向量共线问题 例4 例5 如图 已知平行四边形ABCD 过平面AC外一点O作射线OA OB OC OD 在四条射线上分别取点E F G H 并且使求证 四点E F G H共面 平面EG 平面AC O B A H G F E C D 例5 课本例 已知ABCD 从平面AC外一点O引
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