高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.4.1 全称量词 1.4.2 存在量词课件 新人教A版选修11.ppt

1 4全称量词与存在量词1 4 1全称量词1 4 2存在量词 主题1全称量词和全称命题1 观察下列语句 它们是命题吗 1 x 6 2 2x是偶数 3 对任意的x r x 6 4 对所有的x z 2x都是偶数 提示 语句 1 2 不是命题 3 4 是命题 2 以上四个语句 1 与 3 2 与 4 之间有什么关系 提示 3 在语句 1 的基础上增加了短语 任意的x r 对变量x进行限制 语句 4 在语句 2 的基础上增加了短语 所有的x z 对变量x进行限制 结论 1 全称量词的定义 短语 所有的 任意一个 在逻辑中通常叫做 并用符号 表示 全称量词 2 全称命题的定义 含有 的命题叫做全称命题 全称命题 对m中任意一个x 有p x 成立 用符号表示为 全称量词 x m p x 微思考 1 在全称命题中 量词是否可以省略 提示 在有些全称命题中 全称量词是可以省略的 如 平行四边形的对角线互相平分 实际应解读为 所有平行四边形的对角线都互相平分 2 一个全称命题的表述是否唯一 提示 不唯一 对于一个全称命题 由于自然语言的不同 可以有不同的表述方法 只要形式正确即可 主题2存在量词和特称命题1 观察下列语句 它们是命题吗 1 x 6 2 2x是偶数 3 至少有一个x0 r 使x0 6 4 存在x0 z 使2x0是偶数 提示 1 2 不是命题 3 4 是命题 2 以上四个语句 1 与 3 2 与 4 之间有什么关系 提示 语句 3 在 1 的基础上 用短语 至少有一个 对变量的取值进行限定 语句 4 在 2 的基础上 用 存在一个 对变量的取值进行限制 结论 1 存在量词的定义 短语 存在一个 至少有一个 在逻辑中叫做 用符号 表示 存在量词 2 特称命题的定义 含有 的命题 叫做特称命题 特称命题 存在m中的元素x0 使p x0 成立 用符号表示为 存在量词 x0 m p x0 微思考 怎样区别全称命题和特称命题 提示 全称命题含有或隐含全称量词 体现了任意 所有的意思 特称命题含有或隐含存在量词 体现了特殊存在性 预习自测 1 下列命题中全称命题的个数为 平行四边形的对角线互相平分 梯形有两边平行 存在一个菱形 它的四条边不相等 a 0个b 1个c 2个d 3个 解析 选c 是全称命题 是特称命题 2 下列语句不是全称命题的是 a 模相等的向量是相等向量b 共线向量所在直线共线c 在平面向量中 有些向量是共线向量d 每一个向量都有大小 解析 选c 选项a b d都是全称命题 选项c中含有量词 有些 是特称命题 3 下列命题中 既是真命题又是特称命题的是 a 存在一个 使tan 90 tan b 存在实数x0 使sinx0 c 对一切 sin 180 sin d sin sin cos cos sin 解析 选a c d是全称命题 a b是特称命题 由于 sinx 1 故sinx0 1不成立 b为假命题 对于a 当 45 时 tan 90 tan 成立 4 对任意x 3 x a恒成立 则实数a的取值范围是 解析 由题意知 3 a 所以a 3 答案 a 3 类型一全称命题与特称命题的判断 典例1 1 下列语句不是特称命题的是 a 有的无理数的平方是有理数b 有的无理数的平方不是有理数c 对于任意x z 2x 1是奇数d 存在x0 r 2x0 1是奇数 2 给出下列几个命题 至少有一个x0 使x02 2x0 1 0成立 对任意的x 都有x2 2x 1 0成立 对任意的x 都有x2 2x 1 0不成立 存在x0 使x02 2x0 1 0成立 其中是全称命题的个数为 a 1b 2c 3d 0 解题指南 先根据命题的概念判断其是否为命题 再看是含全称量词还是含存在量词 然后进行判断 解析 1 选c 因为 有的 存在 为存在量词 任意 为全称量词 所以选项a b d均为特称命题 选项c为全称命题 2 选b 因为 至少有一个 存在 是存在量词 任意的 为全称量词 所以 为特称命题 为全称命题 所以全称命题的个数为2 方法总结 判断一个命题是否为全称命题或特称命题的关注点判断一个命题是否为全称命题或特称命题 就是判断这个命题中是否含有全称量词或存在量词 有些命题的量词可能隐含在命题之中 这时要根据命题含义判断形式 如大多数公理 定理的简述都是一般性结论 它们大多数省略了全称量词 但仍应看作全称命题 巩固训练 下列命题中是全称命题的个数为 凸多边形的外角和为360 有的向量方向不定 对任意角 都有sin2 cos2 1 有一个函数既是奇函数又是偶函数 a 1b 2c 3d 4 解析 选b 是全称命题 是特称命题 类型二全称命题与特称命题真假的判断 典例2 指出下列命题是全称命题还是特称命题 并判断它们的真假 1 x n 2x 1是奇数 2 存在一个x0 r 使 3 对任意向量a a 0 4 有一个角 使sin 1 解题指南 先判断命题的类型 再判断命题的真假 解析 1 是全称命题 因为 x n 2x 1都是奇数 所以该命题是真命题 2 是特称命题 因为不存在x0 r 使成立 所以该命题是假命题 3 是全称命题 因为 0 0 所以 a 0不都成立 因此 该命题是假命题 4 是特称命题 因为 r sin 1 1 所以该命题是假命题 方法总结 全称命题与特称命题真假的判断方法 1 要判定一个全称命题是真命题 必须对限定集合m中的每个元素x证明p x 成立 但要判定全称命题是假命题 只要能举出集合m中的一个x0 使得p x0 不成立即可 这就是通常所说的 举出一个反例 2 要判定一个特称命题是真命题 只要在限定集合m中 能找到一个x0使p x0 成立即可 否则 这个特称命题就是假命题 巩固训练 判断下列命题的真假 1 p 所有的单位向量都相等 2 p 任一等比数列 an 的公比q 0 3 p x0 r x02 2x0 3 0 解析 1 p是全称命题 是假命题 若两个单位向量e1 e2方向不相同 虽然有 e1 e2 1 但e1 e2 2 p是全称命题 是真命题 根据等比数列的定义知 任一等比数列中 其每一项an 0 所以其公比q 0 n 1 2 3 3 p是特称命题 是假命题 因为对于 p x r x2 2x 3 0是真命题 这是因为x2 2x 3 x 1 2 2 2 0恒成立 补偿训练 判断下列命题的真假 1 若a 0 且a 1 则对任意实数x ax 0 2 对任意实数x1 x2 若x1 x2 则tanx1 tanx2 3 t0 r 使 sin x t0 sinx 4 x0 r 2x02 7 0 解析 命题 1 为全称命题 根据指数函数的性质可知 该命题为真命题 命题 2 是全称命题 存在x1 0 x2 虽然x1 x2 但是tanx1 tanx2 故该命题为假命题 命题 3 是特称命题 存在t0 使 sin x t0 sinx 故该命题为真命题 命题 4 是特称命题 因为对任意的x r 都有2x2 7 0 故该命题为假命题 类型三根据全称命题与特称命题真假求参数的范围 典例3 命题p x r sinxcosx m 若命题p是真命题 求实数m的取值范围 解题指南 设函数f x sinxcosx 只需令f x 的最小值大于或等于m 解析 设函数f x sinxcosx x r 则f x sin2x 所以函数f x 的值域是由于命题p是真命题 即对任意x r 恒有sinxcosx m成立 所以对任意x r 恒有f x m成立 又函数f x 的最小值为 所以只需m 所以实数m的取值范围是 延伸探究 1 将命题p改为 x0 r sinx0cosx0 m 若命题p是真命题 如何求m的取值范围 解析 由于命题p是真命题 即存在一个实数x0 满足sinx0cosx0 m成立 所以存在一个实数x0 满足f x0 m成立 由于函数f x 的最大值为 所以m的值不可能大于 即m 所以实数m的取值范围是 2 将命题p改为 x r 9x 3x m 0 若命题 p是假命题 求实数m的取值范围 解析 由于 p是假命题 所以p是真命题 即对任意实数x 9x 3x m 0恒成立 设3x t 由于x r 则t 0 则9x 3x m 0 m 3x 2 3x m t2 t t 0 设f t t2 t t 0 则f t 当t 时 f t min 则函数f t 的值域是所以实数m的取值范围是 方法总结 应用全称命题与特称命题求参数范围的两类题型解决策略 1 全称命题的常见题型是 恒成立 问题 全称命题为真时 意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质 所以利用代入可以体现集合中相应元素的具体性质 也可以根据函数等数学知识来解决 2 特称命题的常见题型是以适合某种条件的结论 存在 不存在 是否存在 等语句表述 解答这类问题 一般要先对结论作出肯定存在的假设 然后从肯定的假设出发 结合已知条件进行推理证明 若推出合理的结论 则存在性随之解决 若导致矛盾 则否定了假设 补偿训练 已知函数f x x2 2x 5 1 是否存在实数m 使不等式m f x 0对于任意x r恒成立 并说明理由 2 若存在一个实数x0 使不等式m f x0 0成立 求实数m的取值范围 解题指南 可考虑用分离参数法 转化为m f x 恒成立和存在一个x0 使m f x0 成立 解析 1 不等式m f x 0可化为m f x 即