高中数学 第一章 集合与函数 1.3.2 奇偶性 第1课时 奇偶性的概念课件 新人教A版必修1.ppt

第1课时奇偶性的概念 第一章1 3 2奇偶性 学习目标1 理解函数奇偶性的定义 2 掌握函数奇偶性的判断和证明方法 3 会应用奇 偶函数图象的对称性解决简单问题 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 思考 知识点一函数奇偶性的几何特征 下列函数图象中 关于y轴对称的有哪些 关于原点对称的呢 答案 答案 关于y轴对称 关于原点对称 一般地 图象关于y轴对称的函数称为函数 图象关于原点对称的函数称为函数 梳理 奇 偶 思考1 知识点二函数奇偶性的定义 为什么不直接用图象关于y轴 原点 对称来定义函数的奇偶性 答案 答案因为很多函数图象我们不知道 即使画出来 细微之处是否对称也难以精确判断 思考2 利用点对称来刻画图象对称有什么好处 答案 答案好处有两点 1 等价 只要所有点均关于y轴 原点 对称 则图象关于y轴 原点 对称 反之亦然 2 可操作 要判断点是否关于y轴 原点 对称 只要代入解析式验证即可 不知道函数图象也能操作 梳理 函数奇偶性的概念 1 偶函数 如果对于函数f x 的定义域内一个x 都有 那么函数f x 就叫做偶函数 其实质是函数f x 上任一点 x f x 关于y轴的对称点 x f x 也在f x 图象上 2 奇函数 如果对于函数f x 的定义域内一个x 都有 那么函数f x 就叫做奇函数 其实质是函数f x 上任一点 x f x 关于原点的对称点 x f x 也在f x 图象上 f x f x 任意 f x f x 任意 思考 知识点三奇 偶 函数的定义域特征 如果一个函数f x 的定义域是 1 1 那么这个函数f x 还具有奇偶性吗 答案 答案由函数奇偶性定义 对于定义域内任一元素x 其相反数 x必须也在定义域内 才能进一步判断f x 与f x 的关系 而本问题中 1 1 1 1 1 1 f 1 无定义 自然也谈不上是否与f 1 相等了 所以该函数既非奇函数 也非偶函数 一般地 判断函数奇偶性要注意定义域优先原则 即首先要看定义域是否关于对称 原点 梳理 题型探究 命题角度1已知函数解析式 证明奇偶性 证明 类型一证明函数的奇偶性 证明因为它的定义域为 x x r且x 1 所以对于定义域内的 1 其相反数1不在定义域内 2 证明f x x 1 x 1 是偶函数 证明 证明函数的定义域为r 因函数f x x 1 x 1 x2 1 又因f x x 2 1 x2 1 f x 所以函数为偶函数 3 证明f x 既是奇函数又是偶函数 证明 证明定义域为 1 1 因为对定义域内的每一个x 都有f x 0 所以f x f x 即该函数既是奇函数又是偶函数 利用定义法判断函数是否具有奇偶性时 首先应看函数定义域是否关于原点对称 即对于定义域内的任意一个x 则 x也一定属于定义域 反思与感悟 跟踪训练1 1 证明f x x 2 既非奇函数又非偶函数 证明 证明由 0 得定义域为 2 2 关于原点不对称 故f x 为非奇非偶函数 2 证明f x x x 是奇函数 证明 证明函数的定义域为r 因f x x x x x f x 所以函数为奇函数 命题角度2证明分段函数的奇偶性例2判断函数f x 的奇偶性 解答 解由题意可知f x 的定义域为 6 1 1 6 关于原点对称 当x 6 1 时 x 1 6 所以f x x 5 2 4 x 5 2 4 f x 当x 1 6 时 x 6 1 所以f x x 5 2 4 x 5 2 4 f x 综上可知对于任意的x 6 1 1 6 都有f x f x 分段函数也是函数 证明奇偶性也是抓住两点 1 定义域是否关于原点对称 2 对于定义域内的任意x 是否都有f x f x 或 f x 只不过对于不同的x f x 有不同的表达式 要逐段验证是否都有f x f x 或 f x 反思与感悟 跟踪训练2证明f x 是奇函数 证明 证明定义域为 x x 0 若x0 f x x2 f x x2 f x f x 若x 0 则 x 0 f x x 2 x2 f x x2 f x f x 即对任意x 0 都有f x f x f x 为奇函数 命题角度3证明抽象函数的奇偶性例3f x g x 是定义在r上的奇函数 试判断y f x g x y f x g x y f g x 的奇偶性 解答 解 f x g x 是定义在r上的奇函数 f x g x f x g x f x g x y f x g x 是奇函数 f x g x f x g x f x g x y f x g x 是偶函数 f g x f g x f g x y f g x 是奇函数 利用基本的奇 偶 函数 通过加减乘除 复合 可以得到新的函数 判断这些新函数的奇偶性 主要是代入 x 看总的结果 反思与感悟 跟踪训练3设函数f x g x 的定义域都为r 且f x 是奇函数 g x 是偶函数 则下列结论中正确的是a f x g x 是偶函数b f x g x 是奇函数c f x g x 是奇函数d f x g x 是奇函数 答案 解析 解析a 令h x f x g x 则h x f x g x f x g x h x h x 是奇函数 a错 b 令h x f x g x 则h x f x g x f x g x f x g x h x h x 是偶函数 b错 c 令h x f x g x 则h x f x g x f x g x h x h x 是奇函数 c正确 d 令h x f x g x 则h x f x g x f x g x f x g x h x h x 是偶函数 d错 命题角度1奇 偶 函数图象的对称性的应用例4定义在r上的奇函数f x 在 0 上的图象如图所示 类型二奇偶性的应用 解答 1 画出f x 的图象 解先描出 1 1 2 0 关于原点的对称点 1 1 2 0 连线可得f x 的图象如图 2 解不等式xf x 0 解答 解xf x 0即图象上横坐标 纵坐标同号 结合图象可知 xf x 0的解集是 2 0 0 2 引申探究把例4中的 奇函数 改为 偶函数 重做该题 解答 解 1 f x 的图象如图所示 2 xf x 0的解集是 2 0 2 鉴于奇 偶 函数图象关于原点 y轴 对称 可以用这一特性去画图 求值 求解析式 研究单调性 反思与感悟 跟踪训练4已知奇函数f x 的定义域为 5 5 且在区间 0 5 上的图象如图所示 解答 1 画出在区间 5 0 上的图象 解如图 在 0 5 上的图象上选取5个关键点o a b c d 分别描出它们关于原点的对称点o a b c d 再用光滑曲线连接即得 2 写出使f x 0的x的取值集合 解答 解由 1 图可知 当且仅当x 2 0 2 5 时 f x 0 使f x 0的x的取值集合为 2 0 2 5 命题角度2利用函数奇偶性的定义求值例5若函数f x ax2 bx 3a b是偶函数 定义域为 a 1 2a 则a b 答案 解析 解析因为偶函数的定义域关于原点对称 所以a 1 2a 0 又f x 为偶函数 函数奇偶性的定义有两处常用 定义域关于原点对称 对定义域内任意x 恒有f x f x 或 f x 成立 常用这一特点得一个恒成立的等式 或对其中的x进行赋值 反思与感悟 答案 解析 0 当a 1 b 1时 经检验知f x 为奇函数 故a b 0 当堂训练 1 下列函数为偶函数的是a f x x 1b f x x2 xc f x 2x 2 xd f x 2x 2 x 答案 2 3 4 5 1 解析 解析d中 f x 2 x 2x f x f x 为偶函数 2 函数f x x 1 x 1 的奇偶性是a 奇函数b 偶函数c 非奇非偶函数d 既是奇函数又是偶函数 答案 2 3 4 5 1 3 已知函数y f x x是偶函数 且f 2 1 则f 2 等于a 1b 1c 5d 5 答案 2 3 4 5 1 解析 解析函数y f x x是偶函数 x 2时函数值相等 f 2 2 f 2 2 f 2 5 故选d 4 若函数f x m 1 x2 m 2 x m2 7m 12 为偶函数 则m的值是a 1b 2c 3d 4 答案 2 3 4 5 1 5 下列说法错误的个数是 图象关于原点对称的函数是奇函数 图象关于y轴对称的函数是偶函数 奇函数的图象一定过原点 偶函数的图象一定与y轴相交 既是奇函数 又是偶函数的函数一定是f x 0 x r a 4b 3c 2d 0 2 3 4 5 1 答案 规律与方法 1 两个定义 对于f x 定义