高中数学 第二章 变化率与导数 2.4 导数的四则运算法则课件 北师大版选修22.ppt

2 4导数的四则运算法则 导数的运算法则 1 函数的和差的导数 f x g x f x g x 2 函数的乘积的导数 f x g x f x g x f x g x 特别地 当g x k时 有 kf x kf x 名师点拨1 导数运算法则的特点 对于积与商的导数运算法则 应避免出现 积的导数就是导数的积 商的导数就是导数的商 这类想当然的错误 应特别注意积与商中符号的异同 积的导数法则中是 商的导数法则中分子上是 2 应用运算法则时的注意点 解决函数求导的问题 应先分析所给函数的结构特点 选择正确的公式和法则 对较为复杂的求导运算 在求导之前应先将函数化简 再求导 以减少运算量 3 运算法则的推广 导数的和 差 运算法则对三个或三个以上的函数求导仍然成立 两个函数和 差 的导数运算法则可以推广到有限个函数的情况 即 f1 x f2 x f3 x fn x f 1 x f 2 x f 3 x f n x 做一做1 函数f x sinx x的导数是 a f x cosx 1b f x cosx 1c f x cosx 1d f x cosx x解析 f x sinx x sinx x cosx 1 答案 a 思考辨析判断下列说法是否正确 正确的在后面的括号内画 错误的画 1 在导数的运算法则中 f x g x 不能是常数函数 2 f x g x f x g x 在任何情况下都不成立 3 商的导数在一定情况下可以转化为乘积的导数 4 c f x c f x 探究一 探究二 思维辨析 利用导数的四则运算法则求导 例1 求下列函数的导数 分析 仔细观察和分析各函数的结构特征 紧扣求导运算法则 联系基本函数求导公式 不具备求导法则条件的要进行适当变形 探究一 探究二 思维辨析 解 1 y xtanx x tanx x tanx 2 y x4 3x2 5x 6 x4 3x2 5x 6 4x3 6x 5 探究一 探究二 思维辨析 反思感悟应用导数的运算法则求函数导数的技巧 1 解决函数的求导问题 应先分析所给函数的结构特点 选择正确的公式和法则 2 对三角函数在求导之前可先利用三角恒等变换进行化简 再进行求导 3 在函数中有两个以上的因式相乘时 要注意多次使用积的求导法则 能展开的先展开成多项式 再求导 探究一 探究二 思维辨析 变式训练1函数y sinx cosx的导数是 a sin2xb cos2xc sin2xd cos2x解析 y sinx cosx sinx cosx sinx cosx cos2x sin2x cos2x 答案 d 探究一 探究二 思维辨析 变式训练2求下列函数的导数 1 y 2x lgx y 1 cosx sinx 探究一 探究二 思维辨析 导数计算的综合应用 例2 设函数f x ax x 0 曲线y f x 在点 2 f 2 处的切线方程为7x 4y 12 0 1 求f x 的解析式 2 证明 曲线y f x 上任意一点处的切线与y轴和直线y x所围成的三角形面积为定值 并求此定值 分析 1 利用求导公式求得切线的斜率 建立关于a b的方程组求解 2 由导数的几何意义表示出切线方程 根据题意表示出三角形的面积 探究一 探究二 思维辨析 探究一 探究二 思维辨析 将y x与曲线y f x 在点p x0 y0 处的切线方程联立 即曲线y f x 在点p x0 y0 处的切线与直线y x的交点坐标为 2x0 2x0 所以 曲线y f x 在点p x0 y0 处的切线与y轴和直线y x所围成的三角形面积为 即曲线y f x 上任意一点处的切线与y轴和直线y x所围成的三角形的面积为定值 此定值为6 探究一 探究二 思维辨析 反思感悟涉及导数几何意义的问题 可根据导数公式和运算法则 快速求得函数的导数 代入曲线切点处横坐标即可求得曲线在该点处的切线斜率 这样比利用导数定义要快捷得多 探究一 探究二 思维辨析 变式训练3曲线y xex 2x 1在点 0 1 处的切线方程为 解析 因为y ex xex 2 所以曲线在点 0 1 处切线的斜率k e0 0 2 3 所以所求切线方程为y 1 3x 即y 3x 1 答案 y 3x 1 探究一 探究二 思维辨析 因运算法则应用不恰当而造成失误 典例 求下列函数的导数 1 y x2 1 2 2 y cos2 易错分析 求导数一定要弄清楚函数的结构特征 分清是否能够直接求导 若不能直接求导 则可先对函数解析式进行合理的恒等变换 转化为易于求导的结构形式 再求导 如本例题 1 先展开 后求导 例题 2 进行三角恒等变换后求导 解 1 y x2 1 2 x4 2x2 1 y x4 2x2 1 x4 2x2 1 4x3 4x 探究一 探究二 思维辨析 纠错心得1 应用基本初等函数求导公式和法则 一定要熟记公式 透彻理解函数结构特点 恰当选择公式 挖掘内在联系和规律 2 对较复杂函数求导时一般先进行恒等变形 常见形式有把乘积式展开 分式形式变为和或差的形式 根式化为分数指数幂 三角形式多为三角恒等变换 探究一 探究二 思维辨析 变式训练求下列函数的导数 y x2 x3 x4 x2 x3 x4 2x 3x2 4x3 1234 答案 a 1234 2 已知直线y 3x 1与曲线y ax3 3相切 则a的值为 a 1b 1c 1d 2 由 可得x0 1 a 1 答案 a 1234 3 已知抛物线y ax2 bx 5 a 0 在点 2 1 处的切线方程为y 3x