高中数学 第二章 基本初等函数（Ⅰ）2.2.1.2 对数的运算课件 新人教A版必修1.ppt

第2课时对数的运算 主题1对数的运算性质1 设loga2 m loga3 n 如何求am n 提示 因为loga2 m loga3 n 所以am 2 an 3 故am n am an 2 3 6 2 上题中条件若换为logam m logan n 如何求am n呢 提示 因为logam m logan n 所以am m an n 故am n am an m n 3 在问题2的基础上 怎么用m n表示loga m n 还能得到什么结论 提示 loga m n m n logam logan 结论 对数的运算性质如果a 0 且a 1 m 0 n 0 那么 1 2 3 loga m n logam logan logamn nlogam 微思考 1 运算性质中底数a能等于零或小于零吗 真数m n呢 提示 由对数的定义知底数a 0且a 1 故a不能小于或等于0 m n均为正数 2 对数的运算性质loga m n logam logan能否推广为loga a1 a2 an logaa1 logaa2 logaan a 0且a 1 an 0 n n 提示 能 loga a1a2 an 1 an loga a1 a2 an 1 logaan loga a1 a2 an 2 logaan 1 logaan logaa1 logaa2 logaan 主题2换底公式1 假设 x 则log25 xlog23 即log25 log23x 从而有3x 5 将其化为对数式 进一步可得到什么结论 提示 由3x 5知x log35 即log35 2 同样由 x 你能证明等式log35 吗 提示 由 x 知log65 x log63 即log65 log63x 从而有5 3x 所以x log35 即log35 3 若将问题1 2中的底数2与6换为c c 0且c 1 log35还成立吗 提示 成立 证明如下 设 x 则logc5 xlogc3 即logc5 logc3x 从而有5 3x 即x log35 所以log35 c 0且c 1 结论 对数的换底公式logab a 0且a 1 c 0且c 1 b 0 微思考 1 换底公式中底数c是特定数还是任意数 提示 是大于0 且不等于1的任意数 2 换底公式有哪些作用 提示 利用换底公式可以把不同底数的对数化为同底数的对数 便于应用对数的运算性质进行化简 求值 预习自测 1 若a 0且a 1 x y 0 n n 则下列各式 logax logay loga x y logax logay loga x y loga xy logax logay logax n logaxn logax loga loga loga其中式子成立的个数为 a 3b 4c 5d 6 解析 选a 对于 取x 4 y 2 a 2 则log24 log22 2 1 2 而log2 4 2 log26 2 所以logax logay loga x y 不成立 对于 取x 8 y 4 a 2 则log28 log24 1 log2 8 4 2 所以logax logay loga x y 不成立 对于 取x 4 y 2 a 2 则log2 4 2 log28 3 而log24 log22 2 1 2 3 所以loga xy logax logay不成立 对于 取x 4 y 2 a 2 则 2 log2 1 所以不成立 对于 取x 4 a 2 n 3 则 log24 3 8 log243 6 所以 logax n logaxn不成立 成立 loga logax 1 loga x 1 1 logax 成立 loga loga logax 成立 2 lgx a lgy b 则的值为 a a 2b 2b a 2b 1c a 2b 1d a 2b 2 解析 选d 原式 lgx 2 lgy 1 a 2b 2 3 计算log2781 解析 选a log2781 4 计算log42 log48 解析 log42 log48 log416 2 答案 2 类型一对数运算性质的应用 典例1 2017 烟台高一检测 计算下列各式的值 1 2 log535 2log5 log57 log51 8 3 解题指南 利用对数的运算性质将同底数的对数的和 差 倍合并 直至计算出原式的值 在化简计算的过程中 注意利用结论lg2 lg5 1 解析 1 原式 2 原式 log5 5 7 2 log57 log53 log57 log5 log55 log57 2log57 2log53 log57 2log53 log55 2log55 2 3 原式 lg 2lg lg5 lg lg2 lg5 1 lg lg 1 lg 1 方法总结 底数相同的对数式的化简和求值的原则与方法 1 基本原则 对数的化简求值一般是正用或逆用公式 对真数进行处理 选哪种策略化简 取决于问题的实际情况 一般本着便于真数化简的原则进行 2 两种常用方法 收 将同底的两对数的和 差 收成积 商 的对数 拆 将积 商 的对数拆成同底的两对数的和 差 巩固训练 化简 1 4lg2 3lg5 2 2017 邢台高一检测 2log32 解析 1 4lg2 3lg5 lg lg104 4 2 原式 2log32 log332 log39 3log32 3 5log32 5log32 2log33 3 1 类型二换底公式及应用 典例2 2017 兰州高一检测 已知log37 a 2b 3 试用a b表示log1456 解题指南 解答本题可先用换底公式将log1456化为以3为底的对数 然后结合已知条件及对数的运算性质即可表示出log1456 解析 因为2b 3 所以b log23 即log32 延伸探究 1 本例条件不变 试用a b表示log2898 解析 2 若把本例中条件 2b 3 换为3b 2 其他条件不变 则结论又如何呢 解析 因为3b 2 所以b log32 又因为a log37 所以log1456 方法总结 利用换底公式化简与求值的思路 补偿训练 1 化简 1 2 log43 log83 log32 log92 解析 1 2 原式 2 2017 金华高一检测 已知log189 a 18b 5 用a b表示log3645的值 解析 方法一 因为log189 a 18b 5 所以log185 b 于是log3645 方法二 因为log189 a 18b 5 所以log185 b 于是log3645 方法三 因为log189 a 18b 5 所以lg9 alg18 lg5 blg18 所以log3645 类型三对数的综合应用 典例3 抽气机每次抽出容器内空气的60 要使容器内的空气少于原来的0 1 则至少要抽几次 lg2 0 3010 解题指南 根据题中的已知条件建立不等式 然后利用对数来求解 解析 设至少抽n次可使容器内空气少于原来的0 1 设原先容器中的空气体积为a 则a 1 60 n 7 5 故至少要抽8次才能使容器内的空气少于原来的0 1 方法总结 解对数应用题的步骤 巩固训练 在不考虑空气阻力的情况下 火箭的最大速度v 单位 m s 和燃料的质量m 单位 kg 火箭 除燃料外 的质量m 单位 kg 满足ev e为自然对数的底 1 当燃料质量m为火箭 除燃料外 质量m的两倍时 求火箭的最大速度 单位 m s 2 当燃料质量m为火箭 除燃料外 质量m的多少倍时 火箭的最大速度可以达到8km s 结果精确到个位 数据 e 2 718 e4 54 598 ln3 1 099 解题指南 解答本题的关键是利用最大速度v和燃料的质量m 火箭的质量m满足的关系式求解 解析 1 因为所以v 2000 ln3 2000 1 099 2198 m s 答 当燃料质量m为火箭 除燃料外 质量m的两倍时 火箭的最大速度为2198m s 2 因为所以 e4 1 54 598 1 54 答 当燃料质量m为火箭 除燃料外 质量m的54倍时 火箭的最大速度可以达到8km s 补偿训练 一种放射性物质不断变化为其他物质 每经过一年剩余的质量约是原来的84 估计约经过多少年 该物质的剩余量是原来的一半 结果保留1个有效数字 解题指南 由题目可知经过一年剩余的质量约是原来的84 由此首先找到剩余量与年数的关系 再利用对数计算 解析 设最初的质量是1 经过x年 剩余量是y 则经过1年 剩余量是y 0 84 经过